جدول المحتويات
1. المقدمة
يتناول هذا البحث فجوة حرجة في علم الاكتواريات والرياضيات المالية: استراتيجية الاستثمار المثلى لشركة تأمين تعمل عبر أسواق عملات متعددة. تركز النماذج التقليدية، مثل نماذج براون (1995) وشميدلي (2002)، بشكل أساسي على بيئات العملة الواحدة. ومع ذلك، في اقتصاد عالمي متزايد العولمة، يجب على شركات التأمين إدارة الأصول والالتزامات المقومة بعملات مختلفة، مما يعرضها لمخاطر صرف العملات الأجنبية. يمتد هذا البحث لنموذج فائض كرامر-لوندبرج الكلاسيكي إلى إطار عملتين، متضمناً سعر صرف عشوائيًا تم تصميمه بواسطة عملية أورنشتاين-أوهلينبيك. الهدف هو تعظيم المنفعة الأسية المتوقعة للثروة النهائية، وهو معيار شائع لتجنب المخاطر في التمويل التأميني.
2. صياغة النموذج
2.1 عملية الفائض
يتم نمذجة عملية الفائض $R(t)$ لشركة التأمين باستخدام التقريب الانتشاري لنموذج كرامر-لوندبرج الكلاسيكي: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ حيث $c$ هو معدل قسط التأمين، $\lambda$ هو كثافة وصول المطالبات، $\mu_Y$ هو متوسط حجم المطالبة، و $W_R(t)$ هو حركة براونية قياسية. يبسط هذا التقريب عملية بويسون المركبة لتحقيق قابلية تحليلية، وهي تقنية شائعة في الأدبيات (انظر، على سبيل المثال، جرانديل، 1991).
2.2 السوق المالي
يمكن لشركة التأمين الاستثمار في:
- الأصول المحالية الخالية من المخاطر: $dB(t) = r_d B(t) dt$، بمعدل فائدة $r_d$.
- الأصول الأجنبية المحفوفة بالمخاطر: يتم نمذجتها بحركة براونية هندسية: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.
2.3 ديناميكيات سعر الصرف
يتم نمذجة سعر الصرف $Q(t)$ (وحدات العملة المحلية لكل وحدة من العملة الأجنبية) وانحرافاته على النحو التالي: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ هنا، $\theta(t)$ هو متوسط معدل النمو اللحظي الذي يتبع عملية أورنشتاين-أوهلينبيك، لالتقاط خصائص العودة إلى المتوسط النموذجية لأسعار الصرف المتأثرة بعوامل الاقتصاد الكلي مثل فروق التضخم وتعادل أسعار الفائدة (فاما، 1984). $W_Q(t)$ و $W_\theta(t)$ هما حركتان براونيتان مترابطتان.
3. مشكلة التحسين
3.1 دالة الهدف
ليكن $X(t)$ هو إجمالي الثروة بالعملة المحلية. تتحكم شركة التأمين في المبلغ $\pi(t)$ المستثمر في الأصل الأجنبي المحفوف بالمخاطر. الهدف هو تعظيم المنفعة الأسية المتوقعة للثروة النهائية في الوقت $T$: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ حيث $\gamma > 0$ هو معامل تجنب المخاطر المطلق الثابت. تبسط دالة المنفعة الأسية معادلة هاملتون-جاكوبي-بيلمان لأنها تلغي اعتماد الاستراتيجية المثلى على الثروة تحت ظروف معينة.
3.2 معادلة هاملتون-جاكوبي-بيلمان
لتكن $V(t, x, \theta)$ هي دالة القيمة. معادلة هاملتون-جاكوبي-بيلمان المرتبطة هي: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ بشرط نهائي $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$. يتضمن عامل التفاضل $\mathcal{L}^{\pi}$ ديناميكيات $X(t)$، $\theta(t)$، وارتباطاتهما. حل هذه المعادلة التفاضلية الجزئية هو التحدي التحليلي الأساسي.
4. الحل التحليلي
4.1 استراتيجية الاستثمار المثلى
يشتق البحث الاستثمار الأمثل في الأصل الأجنبي المحفوف بالمخاطر على النحو التالي: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{عوامل تعديل تتضمن } \theta(t)$$ لهذه الصيغة تفسير بديهي: الحد الأول هو حل كلاسيكي على طراز ميرتون (ميرتون، 1969)، حيث يكون الاستثمار متناسبًا مع العائد الزائد ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) وعكسيًا مع المخاطر ($\gamma$ والتباين الكلي). تأخذ عوامل التعديل في الاعتبار الطبيعة العشوائية لانحراف سعر الصرف $\theta(t)$ وارتباطه بالعمليات الأخرى.
4.2 دالة القيمة
وجد أن دالة القيمة تأخذ الشكل التالي: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ حيث $A(t)$، $B(t)$، و $C(t)$ هي دوال حتمية للزمن تحقق نظامًا من المعادلات التفاضلية العادية (معادلات ريكاتي). هذا الهيكل شائع في مشاكل التحكم الخطي التربيعي مع دالة منفعة أسية.
5. التحليل العددي
يقدم البحث تحليلاً عددياً لتوضيح سلوك الاستراتيجية المثلى. تشمل الملاحظات الرئيسية:
- الحساسية لـ $\theta(t)$: يزداد الاستثمار الأمثل $\pi^*(t)$ عندما يكون ارتفاع سعر الصرف المتوقع $\theta(t)$ مرتفعًا، مما يشجع على الاستثمار في الأصل الأجنبي.
- تأثير تجنب المخاطر ($\gamma$): يؤدي ارتفاع تجنب المخاطر إلى تقليل المركز في الأصل الأجنبي المحفوف بالمخاطر بشكل كبير، كما هو متوقع.
- تأثير الارتباط: يمكن أن يعمل الارتباط السلبي بين عائد الأصل الأجنبي وتغير سعر الصرف ($\rho_{fQ}$) كتحوط طبيعي، مما يسمح بمركز أمثل أكبر.
6. الفكرة الأساسية ومنظور المحلل
الفكرة الأساسية: هذا البحث ليس مجرد تعديل طفيف آخر لنموذج استثمار شركات التأمين. مساهمته الأساسية هي دمج مخاطر العملة العشوائية بشكل رسمي في إطار إدارة الأصول والالتزامات لشركة التأمين. من خلال نمذجة انحراف سعر الصرف كعملية أورنشتاين-أوهلينبيك ذات عودة إلى المتوسط، يتجاوز المؤلفون النماذج المبسطة ذات المعاملات الثابتة ويستوعبون حقيقة رئيسية لشركات التأمين العالمية: مخاطر العملة عامل ديناميكي مستمر يجب إدارته بنشاط، وليس مجرد رسوم تحويل ثابتة.
التدفق المنطقي: المنطق سليم ويتبع النهج الكنسي للتحكم العشوائي: (1) توسيع فائض كرامر-لوندبرج إلى انتشار، (2) إضافة سوق بعملتين مع سعر صرف عشوائي، (3) تعريف هدف دالة المنفعة الأسية، (4) اشتقاق معادلة هاملتون-جاكوبي-بيلمان، (5) استغلال قابلية فصل دالة المنفعة الأسية لتخمين شكل الحل، و (6) حل معادلات ريكاتي الناتجة. هذا مسار معروف ولكنه فعال، مشابه في روحه للعمل التأسيسي لفليمينج وسونر (2006) حول الانتشارات المتحكم بها.
نقاط القوة والضعف: نقاط القوة: أناقة النموذج هي قوته الرئيسية. مزيج دالة المنفعة الأسية والديناميكيات الخطية لـ $\theta(t)$ ينتج حلاً مغلق الشكل يمكن التعامل معه - وهو أمر نادر في مشاكل التحكم العشوائي. هذا يوفر مقارنات إحصائية واضحة. كما أن الدمج الصريح للارتباط بين عوائد الأصول والعملات جدير بالثناء أيضًا، لأنه يقر بأن هذه المخاطر ليست معزولة. نقاط الضعف: افتراضات النموذج هي نقطة ضعفه. يزيل تقريب الانتشار لفائض التأمين مخاطر القفز (جوهر مطالبات التأمين نفسها)، مما قد يقلل من تقدير مخاطر الذيل. عملية أورنشتاين-أوهلينبيك لـ $\theta(t)$، رغم عودتها إلى المتوسط، قد لا تلتقط "تحولات النظام المرتبط" أو التخفيضات المفاجئة في القيمة كما تُرى في الأسواق الناشئة. علاوة على ذلك، يتجاهل النموذج تكاليف المعاملات والقيود مثل عدم البيع على المكشوف، وهي أمور حاسمة للتنفيذ العملي. مقارنة بمناهج أكثر قوة مثل التعلم المعزز العميق لتحسين المحفظة (ثييت وإرنست، 2021)، يبدو هذا النموذج أنيقًا تحليليًا ولكنه هش محتملًا في العالم الحقيقي.
رؤى قابلة للتنفيذ: لمديري الاستثمار الرئيسيين في شركات التأمين العالمية، يؤكد هذا البحث أن التحوط من مخاطر العملة لا يمكن أن يكون فكرة لاحقة. الاستراتيجية المثلى ديناميكية وتعتمد على الحالة الحالية لانحراف سعر الصرف ($\theta(t)$)، والتي يجب تقديرها باستمرار. يجب على الممارسين: 1. بناء محركات تقدير: تطوير مرشحات كالمان قوية أو طرق تقدير الاحتمالية القصوى لتقدير الحالة الكامنة $\theta(t)$ ومعلماتها ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) في الوقت الفعلي. 2. اختبار الضغط بما يتجاوز عملية أورنشتاين-أوهلينبيك: استخدام إطار عمل النموذج ولكن استبدال عملية أورنشتاين-أوهلينبيك بنماذج أكثر تعقيدًا (مثل التحول بين الأنظمة) في تحليل السيناريوهات لتقييم مرونة الاستراتيجية. 3. التركيز على الارتباط: مراقبة ونمذجة الارتباط ($\rho_{fQ}$) بين عوائد الأصول الأجنبية وحركات العملة بنشاط، لأنه محدد رئيسي لنسبة التحوط والتعرض الأمثل.
7. التفاصيل التقنية والإطار الرياضي
الآلية الرياضية الأساسية هي معادلة هاملتون-جاكوبي-بيلمان من نظرية التحكم الأمثل العشوائي. ديناميكيات الثروة بالعملة المحلية، مع الأخذ في الاعتبار الاستثمار $\pi(t)$ في الأصل الأجنبي، هي: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ معادلة هاملتون-جاكوبي-بيلمان لدالة القيمة $V(t,x,\theta)$ هي: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ يفسر تخمين دالة المنفعة الأسية $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ هذا إلى معادلة تفاضلية جزئية لـ $\phi(t,\theta)$، والتي مع تخمين تربيعي $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ تنتج معادلات ريكاتي لـ $A(t), B(t), C(t)$.
8. إطار التحليل: حالة عملية
السيناريو: شركة تأمين يابانية غير حياتية (العملة المحلية: الين الياباني) تحتفظ بفائض من عملياتها المحلية. وهي تفكر في استثمار جزء من أصولها في أسهم التكنولوجيا الأمريكية (أصل أجنبي، الدولار الأمريكي). الهدف هو تحديد التخصيص الديناميكي الأمثل لهذا الأصل الأجنبي على مدى أفق 5 سنوات.
تطبيق الإطار:
- معايرة المعلمات:
- الفائض (الين الياباني): تقدير $c$، $\lambda$، $\mu_Y$ من بيانات المطالبات التاريخية للحصول على الانحراف $(c-\lambda\mu_Y)$ والتقلب $\sigma_R$.
- أسهم التكنولوجيا الأمريكية (الدولار الأمريكي): تقدير العائد المتوقع $\mu_f$ والتقلب $\sigma_f$ من مؤشر قياسي (مثل ناسداك-100).
- سعر صرف الدولار الأمريكي/الين الياباني: استخدام البيانات التاريخية لمعايرة معلمات عملية أورنشتاين-أوهلينبيك لـ $\theta(t)$: المتوسط طويل الأجل $\bar{\theta}$، وسرعة العودة إلى المتوسط $\kappa$، والتقلب $\sigma_\theta$. تقدير الارتباطات ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ إلخ).
- أسعار الفائدة الخالية من المخاطر: استخدام عائد السندات الحكومية اليابانية لـ $r_d$ وعائد الخزانة الأمريكية (محولة إلى هيكل النموذج).
- تجنب المخاطر: تعيين $\gamma$ بناءً على كفاية رأس مال الشركة وتحملها للمخاطر.
- حساب الاستراتيجية: إدخال المعلمات المعايرة في صيغة $\pi^*(t)$. يتطلب ذلك القيمة المقدرة الحالية للحالة الكامنة $\theta(t)$، والتي يمكن تصفيتها من تحركات سعر الصرف الأخيرة.
- المخرجات والمراقبة: ينتج النموذج نسبة تخصيص مستهدفة متغيرة مع الزمن. سيقوم خزانة شركة التأمين بتعديل نسبة التحوط من مخاطر العملة وتخصيص الأسهم وفقًا لذلك. يجب تحديث تقدير $\theta(t)$ بشكل دوري (مثلاً شهريًا)، مما يؤدي إلى إعادة موازنة ديناميكية.
9. التطبيقات المستقبلية واتجاهات البحث
يفتح النموذج عدة مسارات للتوسع والتطبيق العملي:
- المحافظ متعددة العملات: توسيع النموذج لأكثر من عملة وأصل أجنبي واحد، وإدارة شبكة من الارتباطات عبر العملات. يتوافق هذا مع احتياجات شركات التأمين متعددة الجنسيات.
- دمج مخاطر القفز: استبدال تقريب الانتشار بعملية قفز-انتشار أو عملية ليفي أكثر واقعية لفائض التأمين لنمذجة أفضل للمطالبات الكارثية، باستخدام تقنيات من سوريا (2022) حول التحكم الأمثل تحت عمليات القفز.
- نماذج التحول بين الأنظمة: نمذجة $\theta(t)$ أو معلمات السوق بعملية تحول ماركوف بين الأنظمة لالتقاط دورات السياسة النقدية أو الاقتصادية المختلفة، كما يُرى في أعمال إليوت وآخرون.
- دمج التعلم الآلي: استخدام شبكات الذاكرة طويلة المدى قصيرة المدى أو وكلاء التعلم المعزز لتقدير الحالة الكامنة $\theta(t)$ وديناميكياتها من بيانات السوق عالية التردد، والانتقال إلى ما بعد افتراض عملية أورنشتاين-أوهلينبيك المعيارية.
- دمج إدارة الأصول والالتزامات: تضمين نموذج الاستثمار هذا في إطار أوسع لإدارة الأصول والالتزامات الذي يحسن أيضًا تسعير منتجات التأمين واستراتيجيات إعادة التأمين.
- التمويل اللامركزي: تطبيق النموذج لإدارة خزانة بروتوكول تأمين لامركزي (مثل نيكساس ميوتشوال) الذي يحمل أصولًا مشفرة بعملات أصلية متعددة للبلوك تشين، حيث يكون تقلب سعر الصرف شديدًا.
10. المراجع
- Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
- Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
- Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
- Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
- Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
- Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
- Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
- Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
- Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.