সময়-পরিবর্তনশীল অস্থিরতা সহ সময় সিরিজে ত্রুটির স্বয়ংক্রিয় কোভ্যারিয়েন্সের বেইজিয়ান ননপ্যারামেট্রিক অনুমান

1. ভূমিকা

এঞ্জেল (১৯৮২) কর্তৃক ARCH মডেল প্রতিষ্ঠার মাধ্যমে, হেটেরোসকেডাস্টিসিটি অনেক অর্থনৈতিক ও আর্থিক সময় সিরিজের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য। ত্রুটির স্বয়ংক্রিয় কোভ্যারিয়েন্স মডেলিংয়ের ঐতিহ্যগত পদ্ধতিগুলো প্রায়শই সীমাবদ্ধ প্যারামেট্রিক কাঠামো আরোপ করে, যার ফলে মডেল ভুল নির্দিষ্টকরণের ঝুঁকি থাকে। এই গবেষণাপত্র ত্রুটির স্বয়ংক্রিয় কোভ্যারিয়েন্স ফাংশনের বর্ণালী ঘনত্ব অনুমান করার জন্য একটি বেইজিয়ান ননপ্যারামেট্রিক পদ্ধতি প্রস্তাব করে, যা সমস্যাটিকে কার্যকরভাবে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে স্থানান্তরিত করে সময়-ডোমেন কার্নেল পদ্ধতিতে ব্যান্ডউইথ নির্বাচনের জটিলতা এড়ায়। এই কাঠামোকে ধ্রুব এবং সময়-পরিবর্তনশীল উভয় ত্রুটি অস্থিরতা পরিচালনার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে, এবং প্রয়োগগুলো দেখায় যে র্যান্ডম ওয়াক মডেলের মতো বেঞ্চমার্কের তুলনায় মুদ্রা বিনিময় হার পূর্বাভাসে এটি উৎকৃষ্ট কর্মক্ষমতা প্রদর্শন করে।

2. পদ্ধতি

মূল পদ্ধতিতে মডেল প্যারামিটার, সময়-পরিবর্তনশীল অস্থিরতা এবং ত্রুটি প্রক্রিয়ার বর্ণালী ঘনত্বের যৌথ অনুমানের জন্য একটি শ্রেণিবদ্ধ বেইজিয়ান কাঠামো জড়িত।

3. পরীক্ষামূলক ফলাফল ও বিশ্লেষণ

4. মূল অন্তর্দৃষ্টি ও বিশ্লেষকের দৃষ্টিভঙ্গি

মূল অন্তর্দৃষ্টি: এই গবেষণাপত্র সময় সিরিজ মডেলিংয়ে একটি গুরুত্বপূর্ণ, কিন্তু প্রায়শই উপেক্ষিত, আপগ্রেড প্রদান করে: ত্রুটি নির্ভরতাকে শেখার জন্য প্রথম শ্রেণির নাগরিক হিসেবে বিবেচনা করা, অনুমান করা নয়। এর বর্ণালী ঘনত্বের মাধ্যমে সম্পূর্ণ স্বয়ংক্রিয় কোভ্যারিয়েন্স কাঠামো ননপ্যারামেট্রিকভাবে অনুমান করে, এটি সরাসরি অনেক মডেলের আচিলিস হিল—ভুল নির্দিষ্টকৃত ত্রুটি গতিবিদ্যা—আক্রমণ করে। সময়-পরিবর্তনশীল অস্থিরতার সংযোজন শুধু একটি অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য নয়; এটি আর্থিক ডেটার জন্য বাস্তবতার একটি প্রয়োজনীয় স্তর, যা মডেলটিকে মুদ্রা বাজারের মতো এমন পরিবেশের জন্য একটি শক্তিশালী হাতিয়ার করে তোলে যেখানে অস্থিরতা গুচ্ছবদ্ধ হয়।

যুক্তিসঙ্গত প্রবাহ: যুক্তিটি মার্জিত। ধাপ ১: স্বীকার করুন যে প্যারামেট্রিক ত্রুটি মডেলগুলি একটি দায়। ধাপ ২: ননপ্যারামেট্রিক অনুমান সুন্দরভাবে পরিচালনা করার জন্য ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে স্থানান্তর করুন (ব্যান্ডউইথ নির্বাচনের অভিশাপ এড়িয়ে)। ধাপ ৩: লগ-স্পেকট্রামে একটি গাউসিয়ান প্রক্রিয়া প্রায়র ব্যবহার করুন—একটি গাণিতিকভাবে সঠিক ও নমনীয় পছন্দ। ধাপ ৪: এটিকে একটি সময়-পরিবর্তনশীল অস্থিরতা মডেলের সাথে একীভূত করুন, স্বীকার করে নিন যে স্কেল এবং নির্ভরতা প্রকৃত ডেটায় পরস্পর জড়িত। ধাপ ৫: অর্থনীতির কঠিনতম বেঞ্চমার্ককে পরাজিত করে বৈধতা প্রমাণ করুন: মুদ্রা বিনিময় হারের জন্য র্যান্ডম ওয়াক। সমস্যা চিহ্নিতকরণ থেকে প্রযুক্তিগত সমাধান এবং অভিজ্ঞতামূলক প্রমাণের প্রবাহ সুসংগত ও আকর্ষণীয়।

শক্তি ও ত্রুটি: শক্তি হল এর ব্যাপক নমনীয়তা। এটি ডেটাকে একটি ARMA বা GARCH বাক্সে জোর করে না। হুইটল সম্ভাবনা এবং এমসিএমসি ব্যবহার স্ট্যান্ডার্ড কিন্তু কার্যকর। ত্রুটি, অনেক বেইজিয়ান ননপ্যারামেট্রিক পদ্ধতির মতো, হল গণনীয় ব্যয়। গাউসিয়ান প্রক্রিয়া এবং স্প্লাইনগুলোর জন্য এমসিএমসি খুব দীর্ঘ সিরিজের জন্য তুচ্ছ নয়। গবেষণাপত্রটি মুদ্রা বিনিময় হারের উদাহরণের উপরও ব্যাপকভাবে নির্ভর করে; আরও বৈচিত্র্যময় প্রয়োগ (যেমন, ম্যাক্রোইকোনমিক্স, শক্তি) সাধারণীকরণের ক্ষেত্রে যুক্তি শক্তিশালী করবে। তদুপরি, যদিও এটি ডে এট আল. (২০১৮) উদ্ধৃত করে, এর নতুন অবদান—সময়-পরিবর্তনশীল অস্থিরতার সাথে একীকরণ—এর একটি স্পষ্ট পার্থক্য আরও তীক্ষ্ণ হতে পারে।

কার্যকরী অন্তর্দৃষ্টি: কোয়ান্ট এবং ইকোনোমেট্রিশিয়ানদের জন্য: এটি উচ্চ-ঝুঁকিপূর্ণ পূর্বাভাসের জন্য একটি প্রস্তুত কাঠামো যেখানে স্ট্যান্ডার্ড মডেলগুলি ব্যর্থ হয়। কোডটি গিটহাবে থাকা একটি বড় সুবিধা। তাৎক্ষণিক পদক্ষেপ হল এটি মালিকানাধীন ডেটাসেটে পরীক্ষা করা যেখানে ত্রুটি কাঠামো সন্দেহজনক। গবেষকদের জন্য: পদ্ধতিটি একটি টেমপ্লেট। বর্ণালীতে জিপি ধারণাটি অন্যান্য লুকানো চলক মডেলে স্থানান্তরিত করা যেতে পারে। পরবর্তী যৌক্তিক পদক্ষেপ হল উচ্চ-মাত্রিক সেটিংস মোকাবেলা করা বা অন্যান্য ননপ্যারামেট্রিক প্রায়র অন্তর্ভুক্ত করা, যেমন আধুনিক গভীর শিক্ষার সময় সিরিজে দেখা নিউরাল নেটওয়ার্কের উপর ভিত্তি করে (যেমন, টেম্পোরাল ফিউশন ট্রান্সফরমার দ্বারা অনুপ্রাণিত আর্কিটেকচার)। ক্ষেত্রটি হাইব্রিড মডেলের দিকে এগিয়ে চলেছে যা বেইজিয়ান ননপ্যারামেট্রিক্সকে গভীর শিক্ষার সাথে যুক্ত করে, যেমন অ্যালান টুরিং ইনস্টিটিউটের মতো স্থান থেকে পর্যালোচনায় উল্লেখ করা হয়েছে, এবং এই কাজটি একটি ফলপ্রসূ ছেদবিন্দুতে অবস্থান করে।

5. প্রযুক্তিগত বিবরণ

মূল গাণিতিক সূত্র:

• মডেল: $y_t = x_t'\beta + \epsilon_t, \quad \epsilon_t = \sigma_{\epsilon, t} e_t$।
• ত্রুটি প্রক্রিয়া: $e_t \sim \text{GP}(0, \gamma)$, যেখানে $\text{Cov}(e_t, e_{t-k}) = \gamma(k)$।
• বর্ণালী ঘনত্ব: $\lambda(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \gamma(k) e^{-i k \omega}, \quad \omega \in [-\pi, \pi]$।
• বর্ণালীর জন্য প্রায়র: $\log \lambda(\omega) \sim \text{GP}(\mu(\omega), C(\omega, \omega'))$, যেখানে $C$ একটি উপযুক্ত কোভ্যারিয়েন্স কার্নেল।
• অস্থিরতা মডেল: $\log(\sigma^2_{\epsilon, t}) = \sum_{j=1}^J \theta_j B_j(t), \quad \theta \sim N(0, \tau^2 I)$।
• সম্ভাবনা (হুইটল আনুমানিক): $p(I(\omega_j) | \lambda(\omega_j)) \approx \frac{1}{\lambda(\omega_j)} \exp\left(-\frac{I(\omega_j)}{\lambda(\omega_j)}\right)$, যেখানে $I(\omega_j)$ হল ফুরিয়ার ফ্রিকোয়েন্সি $\omega_j$ এ পিরিওডোগ্রাম।

6. বিশ্লেষণ কাঠামোর উদাহরণ

পরিস্থিতি: একটি ক্রিপ্টোকারেন্সির (যেমন, বিটকয়েন) দৈনিক রিটার্ন বিশ্লেষণ করে অস্থিরতা ও নির্ভরতা কাঠামো পূর্বাভাস দেওয়া।

কাঠামোর ধাপসমূহ (ধারণাগত):

1. প্রাক-প্রক্রিয়াকরণ: লগ রিটার্ন পাওয়া। ঐচ্ছিকভাবে, যেকোনো খুব নিম্ন-ফ্রিকোয়েন্সি প্রবণতা অপসারণ করুন।
2. মডেল নির্দিষ্টকরণ:
   • গড় সমীকরণ: সম্ভবত একটি সরল ধ্রুবক বা AR(1) পদ: $r_t = \mu + \phi r_{t-1} + \epsilon_t$।
   • ত্রুটি বিভাজন: $\epsilon_t = \sigma_t e_t$।
   • $\log(\sigma^2_t)$ এর জন্য B-স্প্লাইন ভিত্তি নির্দিষ্ট করুন (যেমন, নমুনা সময়ের উপর 20 নট)।
   • $\log \lambda(\omega)$ এর জন্য গাউসিয়ান প্রক্রিয়া প্রায়র নির্দিষ্ট করুন (যেমন, একটি ম্যাটার্ন কোভ্যারিয়েন্স কার্নেল সহ)।
3. প্রায়র আহরণ: জিপি মসৃণতা, স্প্লাইন সহগ ভ্যারিয়েন্স ($\tau^2$), এবং রিগ্রেশন প্যারামিটার ($\beta$) এর জন্য হাইপারপ্যারামিটার সেট করুন। দুর্বলভাবে তথ্যবহুল প্রায়র ব্যবহার করুন।
4. পোস্টেরিয়র গণনা: একটি এমসিএমসি স্যাম্পলার (যেমন, স্ট্যানের মধ্যে হ্যামিলটোনিয়ান মন্টে কার্লো বা কাস্টম গিবস স্যাম্পলার) বাস্তবায়ন করুন যৌথ পোস্টেরিয়র $ (\beta, \theta, \lambda(\cdot))$ থেকে নমুনা আঁকার জন্য।
5. অনুমান ও পূর্বাভাস:
   • অস্থিরতা বিবর্তন দেখতে $\sigma_t$ এর পোস্টেরিয়র গড়/মধ্যমা পরীক্ষা করুন।
   • নির্ভরতার ফ্রিকোয়েন্সি কাঠামো বোঝার জন্য $\lambda(\omega)$ এর পোস্টেরিয়র গড় প্লট করুন।
   • স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশন $\gamma(k)$ এর একটি অনুমান পেতে $\lambda(\omega)$ কে সময় ডোমেনে ফিরিয়ে আনুন।
   • পোস্টেরিয়র নমুনা ব্যবহার করে ভবিষ্যত রিটার্নের জন্য ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন তৈরি করুন।

দ্রষ্টব্য: লেখকদের গিটহাব কোড রিপোজিটরি বাস্তবায়নের জন্য একটি ব্যবহারিক সূচনা বিন্দু প্রদান করে।

7. ভবিষ্যতের প্রয়োগ ও দিকনির্দেশনা

• উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি অর্থসংস্থান: মাইক্রোস্ট্রাকচার নয়েজ এবং আল্ট্রা-হাই-ডাইমেনশনাল বর্ণালী অনুমান সহ ইন্ট্রাডে ডেটা পরিচালনা করার জন্য মডেলটি অভিযোজন করা।
• বহুচলকীয় সম্প্রসারণ: একটি ভেক্টর ত্রুটি প্রক্রিয়ার ক্রস-বর্ণালী ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি বেইজিয়ান ননপ্যারামেট্রিক মডেল বিকাশ করা, যা পোর্টফোলিও বিশ্লেষণ এবং স্পিলওভার গবেষণার জন্য গুরুত্বপূর্ণ।
• গভীর শিক্ষার সাথে একীকরণ: অত্যন্ত জটিল, অ-স্থির নির্ভরতা প্যাটার্ন ক্যাপচার করার জন্য জিপি প্রায়রকে একটি গভীর জেনারেটিভ মডেল (যেমন, বর্ণালী ডোমেনে একটি ভ্যারিয়েশনাল অটোএনকোডার) দিয়ে প্রতিস্থাপন করা, "CycleGAN" এর মতো গবেষণাপত্রে উদ্ভাবনের চেতনা অনুসরণ করে কিন্তু সময় সিরিজ বর্ণালীতে প্রয়োগ করা।
• রিয়েল-টাইম পূর্বাভাস সিস্টেম: রিয়েল-টাইম ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা এবং অ্যালগরিদমিক ট্রেডিং প্ল্যাটফর্মের জন্য স্কেলযোগ্য, আনুমানিক অনুমান সংস্করণ (যেমন, স্টোকাস্টিক ভ্যারিয়েশনাল ইনফারেন্স ব্যবহার করে) তৈরি করা।
• ম্যাক্রো-অর্থসংস্থান: কেন্দ্রীয় ব্যাংক এবং নীতি প্রতিষ্ঠান দ্বারা ব্যবহৃত বৃহৎ বেইজিয়ান VAR-এ ত্রুটি কাঠামো মডেল করার জন্য কাঠামোটি প্রয়োগ করা, যেখানে ভুল নির্দিষ্টকৃত শক গতিবিদ্যা ত্রুটিপূর্ণ নীতি সিদ্ধান্তের দিকে নিয়ে যেতে পারে।

8. তথ্যসূত্র

1. Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50(4), 987-1007.
2. Kim, K., & Kim, K. (2016). Time-varying volatility and macroeconomic uncertainty. Economics Letters, 149, 24-28.
3. Dey, D., Kim, K., & Roy, A. (2018). Bayesian nonparametric spectral density estimation for irregularly spaced time series. Journal of the American Statistical Association, 113(524), 1551-1564.
4. Kim, K. (2011). Hierarchical Bayesian analysis of structural instability in macroeconomic time series. Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics, 15(4).
5. Whittle, P. (1953). Estimation and information in stationary time series. Arkiv för Matematik, 2(5), 423-434.
6. Zhu, J. Y., Park, T., Isola, P., & Efros, A. A. (2017). Unpaired image-to-image translation using cycle-consistent adversarial networks. Proceedings of the IEEE international conference on computer vision (CycleGAN paper as an example of advanced, flexible generative modeling).
7. Alan Turing Institute. (2023). Research Themes: Data-Centric Engineering and AI for Science. (For context on hybrid AI/statistics methods).