মুভিং এভারেজ এবং স্ব-মড্যুলেশন প্রভাবের মাধ্যমে ইয়েন-ডলার বিনিময় হার মডেলিং

সূচিপত্র

1. ভূমিকা

এই গবেষণাপত্রটি বৈদেশিক মুদ্রা বিনিময় হার মডেলিংয়ের জন্য স্ব-মড্যুলেশন প্রভাব সহ একটি অটোরিগ্রেসিভ-ধরনের মডেল উপস্থাপন করে, যা বিশেষভাবে ইয়েন-ডলার বাজারের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। এই গবেষণা হার পরিবর্তনের সম্ভাব্যতা বণ্টনে "ফ্যাট টেইল" এবং অস্থিরতার দীর্ঘ স্বতঃসম্পর্কের সুপ্রতিষ্ঠিত ঘটনাগুলো মোকাবেলা করে, যা আদর্শ স্বাভাবিক বণ্টন অনুমান থেকে বিচ্যুত। লেখকরা বিনিময় হারকে একটি মুভিং এভারেজ উপাদান এবং একটি অসম্পর্কিত শব্দ অবশিষ্টাংশে পৃথক করার একটি অভিনব কৌশল চালু করেছেন। গবেষণাটি CQG প্রদত্ত ১৯৮৯ থেকে ২০০২ সাল পর্যন্ত ইয়েন-ডলার বিনিময় হারের টিক-বাই-টিক তথ্য ব্যবহার করে।

2. সর্বোত্তম মুভিং এভারেজ

পদ্ধতির মূল অংশটি একটি "সর্বোত্তম" মুভিং এভারেজ হার $P(t)$ সংজ্ঞায়িত করার সাথে জড়িত যা পর্যবেক্ষিত বাজার তথ্য $P(t+1)$ থেকে অসম্পর্কিত শব্দ $\varepsilon(t)$ কার্যকরভাবে পৃথক করে। সম্পর্কটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

$P(t+1) = P(t) + \varepsilon(t)$

যেখানে $P(t) = \sum_{k=1}^{K} w_P(k) \cdot P(t - k + 1)$। ওজন ফ্যাক্টর $w_P(k)$ অবশিষ্ট পদ $\varepsilon(t)$-এর স্বতঃসম্পর্ক কমানোর জন্য টিউন করা হয়। গবেষণায় দেখা গেছে যে সর্বোত্তম ওজন কয়েক মিনিটের একটি বৈশিষ্ট্যগত সময় সহ প্রায় সূচকীয়ভাবে ক্ষয় হয়। তদুপরি, শব্দের পরম মান $|\varepsilon(t)|$ নিজেই দীর্ঘ স্বতঃসম্পর্ক প্রদর্শন করে। এটি মডেল করার জন্য, পরম শব্দের লগারিদমও একটি অটোরিগ্রেসিভ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে বিশ্লেষণ করা হয়:

$\log|\varepsilon(t+1)| = \log|\overline{\varepsilon}(t)| + b(t)$

যেখানে $\log|\overline{\varepsilon}(t)| = \sum_{k=1}^{K'} w_\varepsilon(k) \cdot \log|\varepsilon(t - k + 1)|$। গুরুত্বপূর্ণভাবে, মূল গবেষণাপত্রের চিত্র ১-এ দেখানো হয়েছে, ইয়েন-ডলার হারের জন্য ওজন ফ্যাক্টর $w_\varepsilon(k)$ একটি পাওয়ার ল $w_\varepsilon(k) \propto k^{-1.1}$ অনুসারে ক্ষয় হয়। এটি নির্দেশ করে যে মূল্যের তুলনায় অস্থিরতা নিয়ন্ত্রণকারী একটি ভিন্ন, দীর্ঘ-স্মৃতি প্রক্রিয়া বিদ্যমান।

3. বৈদেশিক মুদ্রা বিনিময় হারের জন্য স্ব-মড্যুলেশন প্রক্রিয়া

আনুভূমিক ফলাফলের ভিত্তিতে, লেখকরা বৈদেশিক মুদ্রা বিনিময় হারের জন্য একটি সম্পূর্ণ স্ব-মড্যুলেশন মডেল প্রস্তাব করেন:

$\begin{cases} P(t+1) = P(t) + \varepsilon(t) \\ \varepsilon(t+1) = \alpha(t) \cdot \overline{\varepsilon}(t) \cdot b(t) + f(t) \end{cases}$

এখানে, $\alpha(t)$ একটি এলোমেলো চিহ্ন (+1 বা -1), $b(t)$ পর্যবেক্ষিত বণ্টন থেকে নেওয়া একটি অসম্পর্কিত শব্দ পদ, এবং $f(t)$ বাহ্যিক আঘাত (যেমন, খবর, হস্তক্ষেপ) উপস্থাপন করে। মুভিং এভারেজ $P(t)$ এবং $\overline{\varepsilon}(t)$ পূর্ববর্তী বিভাগের মতো সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। $w_P(k) \propto e^{-0.35k}$ একটি সূচকীয় ওজন ফাংশন এবং একটি গাউসিয়ান বাহ্যিক শব্দ $f(t)$ সহ এই মডেল ব্যবহার করে সিমুলেশন বাজারের মূল স্টাইলাইজড তথ্য, যেমন ফ্যাট-টেইলড বণ্টন এবং অস্থিরতা ক্লাস্টারিং, সফলভাবে পুনরুৎপাদন করে।

4. মূল অন্তর্দৃষ্টি ও বিশ্লেষকের দৃষ্টিভঙ্গি

মূল অন্তর্দৃষ্টি: এই গবেষণাপত্রটি একটি শক্তিশালী, তবুও মার্জিতভাবে সরল, অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে: ইয়েন-ডলার হারের বিশৃঙ্খল নাচকে একটি স্বল্প-স্মৃতির প্রবণতা সংকেত ("সর্বোত্তম" মুভিং এভারেজ) এবং দীর্ঘ স্মৃতি সহ একটি অস্থিরতা প্রক্রিয়ায় বিভক্ত করা যেতে পারে, যা ট্রেডারদের সাম্প্রতিক মূল্য চলাচলের ওজনযুক্ত প্রতিক্রিয়ার উপর সম্মিলিত নির্ভরতা দ্বারা চালিত। প্রকৃত প্রতিভা হল দুটি স্বতন্ত্র সময় স্কেল চিহ্নিত করার মধ্যে নিহিত—মূল্যের জন্য সূচকীয় ক্ষয় (~মিনিট) এবং অস্থিরতার জন্য পাওয়ার-ল ক্ষয়—যা সরাসরি বাজার মাইক্রোস্ট্রাকচার এবং ট্রেডার মনস্তত্ত্বের বিভিন্ন স্তরকে জড়িত করে।

যুক্তিগত প্রবাহ: যুক্তিটি আকর্ষণীয়। আনুভূমিক ধাঁধা (ফ্যাট টেইল, ক্লাস্টার্ড অস্থিরতা) দিয়ে শুরু করুন। জটিল এজেন্ট-ভিত্তিক মডেলের দিকে ঝাঁপ না দিয়ে, তারা একটি পরিষ্কার প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে: কোনটি হল সবচেয়ে সরল মুভিং এভারেজ যা মূল্য রিটার্নকে সাদা করে? উত্তরটি বাজারের কার্যকর সময় দিগন্ত প্রকাশ করে। তারপর, তারা লক্ষ্য করে যে সাদা করা শব্দের মাত্রা সাদা নয়—এটির স্মৃতি আছে। সেই স্মৃতি মডেলিং একটি পাওয়ার-ল কাঠামো প্রকাশ করে। এই দ্বি-ধাপ বিশ্লেষণ যুক্তিগতভাবে একটি স্ব-মড্যুলেটিং সিস্টেমের সিদ্ধান্তে বাধ্য করে যেখানে অতীতের অস্থিরতা ভবিষ্যতের অস্থিরতাকে নিয়ন্ত্রণ করে, পদার্থবিদ্যায় অধ্যয়ন করা অন্যান্য জটিল সিস্টেমের সাথে শক্তিশালী সমান্তরালতা সহ একটি ধারণা।

শক্তি ও ত্রুটি: মডেলটির শক্তি হল এর আনুভূমিক ভিত্তি এবং সংযম। এটি অদৃশ্য "এজেন্ট প্রকার"-এর উপর অত্যধিক নির্ভর করে না। যাইহোক, এর প্রধান ত্রুটি হল এর ঘটনাবিজ্ঞান প্রকৃতি। এটি "কি" (পাওয়ার-ল ওজন) সুন্দরভাবে বর্ণনা করে কিন্তু "কেন" কিছুটা খোলা রাখে। কেন ট্রেডাররা সম্মিলিতভাবে একটি $k^{-1.1}$ ওজন তৈরি করে? এটি কি নির্দিষ্ট শর্তে সর্বোত্তম, নাকি একটি উদীয়মান, সম্ভবত উপ-সর্বোত্তম, পালের আচরণ? তদুপরি, বাহ্যিক আঘাত $f(t)$-কে সরল গাউসিয়ান শব্দ হিসেবে বিবেচনা করা একটি স্পষ্ট দুর্বলতা; বাস্তবে, আন্তর্জাতিক নিষ্পত্তি ব্যাংক (BIS)-এর কেন্দ্রীয় ব্যাংক হস্তক্ষেপ কার্যকারিতা সম্পর্কিত গবেষণায় উল্লিখিত হিসাবে, হস্তক্ষেপ এবং খবরের জটিল, অসমমিত প্রভাব রয়েছে।

কার্যকরী অন্তর্দৃষ্টি: কোয়ান্ট এবং ঝুঁকি ব্যবস্থাপকদের জন্য, এই গবেষণাপত্রটি একটি স্বর্ণখনি। প্রথমত, এটি উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি সংকেত নিষ্কাশনের জন্য খুব স্বল্পমেয়াদী মুভিং এভারেজ (মিনিট-স্কেল) ব্যবহারের বৈধতা দেয়। দ্বিতীয়ত, এবং আরও গুরুত্বপূর্ণভাবে, এটি ভাল অস্থিরতা পূর্বাভাস তৈরি করার জন্য একটি নীলনকশা প্রদান করে। GARCH-পরিবারের মডেলের পরিবর্তে, কেউ ভবিষ্যতের বাজার অশান্তি পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য অস্থিরতার উপর সরাসরি পাওয়ার-ল ওজন $w_\varepsilon(k)$ অনুমান করতে পারে। ট্রেডিং কৌশলগুলি ব্যাকটেস্ট করা যেতে পারে যা মডেলের $\overline{\varepsilon}(t)$ ফ্যাক্টর বেশি হলে অস্থিরতায় লং যায়। মডেলটি একটি শক্তিশালী বেঞ্চমার্ক হিসেবেও কাজ করে; FX পূর্বাভাসের জন্য যেকোনো আরও জটিল AI/ML মডেলকে অবশ্যই এর জটিলতা ন্যায্যতা দেওয়ার জন্য এই অপেক্ষাকৃত সরল, পদার্থবিদ্যা-অনুপ্রাণিত বিশ্লেষণকে ছাড়িয়ে যেতে হবে।

5. প্রযুক্তিগত বিবরণ ও গাণিতিক কাঠামো

মডেলের গাণিতিক কেন্দ্র হল দ্বৈত বিশ্লেষণ। প্রাথমিক মূল্য বিশ্লেষণ হল মূল্য স্তরের উপর একটি অটোরিগ্রেসিভ (AR) প্রক্রিয়া, যা প্রথম-ক্রম রিটার্নকে সাদা করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে:

$P(t+1) - P(t) = \varepsilon(t)$, যেখানে $\tau > 0$ এর জন্য $\text{Corr}(\varepsilon(t), \varepsilon(t+\tau)) \approx 0$।

দ্বিতীয়, এবং আরও উদ্ভাবনী, বিশ্লেষণ লগ-অস্থিরতার উপর একটি AR প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে:

$\log|\varepsilon(t+1)| = \sum_{k=1}^{K'} w_\varepsilon(k) \cdot \log|\varepsilon(t - k + 1)| + b(t)$।

সমালোচনামূলক অনুসন্ধান হল কার্নেলগুলির কার্যকরী রূপ: $w_P(k)$ সূচকীয়ভাবে ক্ষয় হয় (স্বল্প স্মৃতি), যখন $w_\varepsilon(k)$ একটি পাওয়ার ল $k^{-\beta}$ হিসাবে ক্ষয় হয় যেখানে $\beta \approx 1.1$ (দীর্ঘ স্মৃতি)। অস্থিরতার এই পাওয়ার-ল স্বতঃসম্পর্ক আর্থিক বাজারের একটি বৈশিষ্ট্য, অনেক জটিল সময় সিরিজে পর্যবেক্ষিত "হার্স্ট এক্সপোনেন্ট" ঘটনার অনুরূপ। সমীকরণ (5) এবং (6)-এ সম্পূর্ণ মডেল এগুলিকে একত্রিত করে, গুণন কাঠামো $\alpha(t) \cdot \overline{\varepsilon}(t) \cdot b(t)$ নিশ্চিত করে যে অস্থিরতার স্কেল চিহ্ন-এলোমেলো মূল্য উদ্ভাবনকে নিয়ন্ত্রণ করে।

6. পরীক্ষামূলক ফলাফল ও চার্ট বিশ্লেষণ

গবেষণাপত্রটি ইয়েন-ডলার টিক তথ্য (১৯৮৯-২০০২) এর ভিত্তিতে দুটি মূল চিত্র উপস্থাপন করে।

চিত্র ১: পরম মান $|\varepsilon(t)|$-এর ওজন ফ্যাক্টর $w_\varepsilon(k)$। এই চার্টটি লগ-অস্থিরতা অটোরিগ্রেসিভ প্রক্রিয়ায় ব্যবহৃত ওজনের পাওয়ার-ল ক্ষয়কে দৃশ্যত প্রদর্শন করে। প্লট করা লাইনটি ফাংশন $w_\varepsilon(k) \propto k^{-1.1}$ দেখায়, যা আনুভূমিকভাবে অনুমান করা ওজনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে মিলে যায়। এটি মূল্যের স্বল্প স্মৃতির বিপরীতে অস্থিরতায় দীর্ঘ-স্মৃতির প্রত্যক্ষ প্রমাণ।

চিত্র ২: $|\varepsilon(t)|$ এবং $b(t)$-এর স্বতঃসম্পর্ক। এই চিত্রটি একটি বৈধতা প্লট হিসেবে কাজ করে। এটি দেখায় যে কাঁচা পরম রিটার্ন $|\varepsilon(t)|$-এর ধীরে ক্ষয় হওয়া, ধনাত্মক স্বতঃসম্পর্ক (অস্থিরতা ক্লাস্টারিং) রয়েছে। বিপরীতে, পাওয়ার-ল ওজন সহ AR প্রক্রিয়া প্রয়োগ করার পরে নিষ্কাশিত অবশিষ্ট পদ $b(t)$ কোন উল্লেখযোগ্য স্বতঃসম্পর্ক দেখায় না, যা নিশ্চিত করে যে মডেলটি অস্থিরতার স্মৃতি কাঠামো সফলভাবে ক্যাপচার করেছে।

7. বিশ্লেষণ কাঠামো: একটি ব্যবহারিক কেস

কেস: একটি ক্রিপ্টোকারেন্সি জোড়া বিশ্লেষণ (যেমন, BTC-USD)। মূল গবেষণাপত্রটি ফরেক্স অধ্যয়ন করলেও, এই কাঠামোটি ক্রিপ্টো বাজারের জন্য অত্যন্ত প্রযোজ্য, যা চরম অস্থিরতার জন্য পরিচিত। একজন বিশ্লেষক নিম্নরূপ গবেষণাটি প্রতিলিপি করতে পারেন:

1. তথ্য প্রস্তুতি: Coinbase-এর মতো একটি এক্সচেঞ্জ থেকে উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি (যেমন, ১-মিনিট) BTC-USD মূল্য তথ্য সংগ্রহ করুন।
2. ধাপ ১ - $w_P(k)$ খুঁজুন: $w_P(k)$-এর জন্য বিভিন্ন সূচকীয় ক্ষয় প্যারামিটার পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে পরীক্ষা করুন যাতে ফলস্বরূপ $\varepsilon(t)$-এর স্বতঃসম্পর্ক কমানো হয়। প্রত্যাশিত ফলাফল হল ক্রিপ্টোর জন্য সম্ভবত ৫-৩০ মিনিটের পরিসরে একটি বৈশিষ্ট্যগত সময়।
3. ধাপ ২ - $|\varepsilon(t)|$ বিশ্লেষণ করুন: $\log|\varepsilon(t)|$-এ একটি AR প্রক্রিয়া ফিট করুন। ওজন $w_\varepsilon(k)$ অনুমান করুন। মূল প্রশ্ন হল: সেগুলি কি একটি পাওয়ার ল $k^{-\beta}$ অনুসরণ করে? সূচক $\beta$ ১.১ থেকে ভিন্ন হতে পারে, যা ক্রিপ্টোতে আরও স্থায়ী অস্থিরতা স্মৃতি নির্দেশ করতে পারে।
4. অন্তর্দৃষ্টি: যদি একটি পাওয়ার ল ধরে রাখে, তবে এটি ইঙ্গিত দেয় যে ক্রিপ্টো ট্রেডাররা, ফরেক্স ট্রেডারদের মতো, অতীত অস্থিরতার উপর দীর্ঘ-স্মৃতি প্রতিক্রিয়া সহ কৌশল ব্যবহার করে। এই কাঠামোগত সাদৃশ্যের ক্রিপ্টোতে ঝুঁকি মডেলিং এবং ডেরিভেটিভ মূল্য নির্ধারণের জন্য গভীর প্রভাব রয়েছে, যা প্রায়শই এটিকে সম্পূর্ণ নতুন সম্পদ শ্রেণী হিসেবে বিবেচনা করে।

8. ভবিষ্যতের প্রয়োগ ও গবেষণার দিকনির্দেশ

মডেলটি বেশ কয়েকটি প্রতিশ্রুতিশীল পথ খোলে:

• ক্রস-অ্যাসেট বৈধতা: $\beta \approx 1.1$ সূচকটি একটি সর্বজনীন ধ্রুবক নাকি বাজার-নির্দিষ্ট তা দেখতে ইক্যুইটি, পণ্য এবং বন্ডে একই পদ্ধতি প্রয়োগ করা।
• মেশিন লার্নিংয়ের সাথে একীকরণ: বিশ্লেষিত উপাদান $P(t)$ এবং $\overline{\varepsilon}(t)$ কে গভীর শিক্ষা মূল্য পূর্বাভাস মডেলের জন্য পরিষ্কার, আরও স্থির বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহার করা, কাঁচা মূল্য তথ্যের তুলনায় সম্ভাব্যভাবে কর্মক্ষমতা উন্নত করা।
• এজেন্ট-ভিত্তিক মডেল (ABM) ভিত্তি: আনুভূমিক ওজন ফাংশন $w_P(k)$ এবং $w_\varepsilon(k)$ ABM-এর জন্য সমালোচনামূলক ক্যালিব্রেশন লক্ষ্য প্রদান করে। গবেষকরা এমন এজেন্ট নিয়ম ডিজাইন করতে পারেন যা সম্মিলিতভাবে এই সঠিক প্রতিক্রিয়া কার্নেল তৈরি করে।
• নীতি ও নিয়ন্ত্রণ: ট্রেডার প্রতিক্রিয়ার বৈশিষ্ট্যগত সময় স্কেল (মিনিট) বোঝা আরও কার্যকর সার্কিট ব্রেকার ডিজাইন করতে বা উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি ট্রেডিং (HFT)-এর প্রভাব মূল্যায়ন করতে সাহায্য করতে পারে। মডেলটি প্রতিক্রিয়া কাঠামোর উপর নিয়ন্ত্রক পরিবর্তনের বাজার প্রভাব সিমুলেট করতে পারে।
• বাহ্যিক আঘাত পূর্বাভাস: একটি প্রধান পরবর্তী ধাপ হল $f(t)$-কে সরল শব্দ হিসেবে মডেলিংয়ের বাইরে যাওয়া। ভবিষ্যতের কাজ খবরের ফিডে প্রাকৃতিক ভাষা প্রক্রিয়াকরণ (NLP) ব্যবহার করে $f(t)$-কে প্যারামিটারাইজ করতে পারে, বিরল কিন্তু প্রভাবশালী ঘটনার জন্য একটি হাইব্রিড পদার্থবিদ্যা-AI মডেল তৈরি করতে।

9. তথ্যসূত্র

1. Mantegna, R. N., & Stanley, H. E. (2000). An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. Cambridge University Press. (অর্থনীতিতে ফ্যাট টেইল এবং স্কেলিং-এর প্রসঙ্গে)।
2. Mizuno, T., Takayasu, M., & Takayasu, H. (2003). Modeling a foreign exchange rate using moving average of Yen-Dollar market data. (বিশ্লেষিত গবেষণাপত্র)।
3. Bank for International Settlements (BIS). (2019). Triennial Central Bank Survey of foreign exchange and OTC derivatives markets. (বাজার কাঠামো এবং হস্তক্ষেপ সম্পর্কিত তথ্যের জন্য)।
4. Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223-236. (আর্থিক স্টাইলাইজড তথ্যের একটি ব্যাপক তালিকার জন্য)।
5. Lux, T., & Marchesi, M. (2000). Volatility clustering in financial markets: a microsimulation of interacting agents. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 3(04), 675-702. (অস্থিরতা ক্লাস্টারিং-এর উপর এজেন্ট-ভিত্তিক মডেলিং দৃষ্টিভঙ্গির জন্য)।