দুটি মুদ্রা বাজারে একটি বীমাকারীর জন্য সর্বোত্তম বিনিয়োগ: একটি স্টোকাস্টিক নিয়ন্ত্রণ বিশ্লেষণ

সূচিপত্র

1. ভূমিকা

এই গবেষণাপত্রটি অ্যাকচুয়ারিয়াল বিজ্ঞান ও আর্থিক গণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ শূন্যতা পূরণ করে: একাধিক মুদ্রা বাজারে পরিচালিত একটি বীমা কোম্পানির সর্বোত্তম বিনিয়োগ কৌশল। ব্রাউন (১৯৯৫) এবং স্মিডলি (২০০২) এর মতো ঐতিহ্যগত মডেলগুলি প্রাথমিকভাবে একক-মুদ্রার পরিবেশে মনোনিবেশ করে। তবে, ক্রমবর্ধমানভাবে বিশ্বায়িত অর্থনীতিতে, বীমাকারীদেরকে বিভিন্ন মুদ্রায় মূল্যায়িত সম্পদ ও দায় পরিচালনা করতে হয়, যা তাদের বৈদেশিক মুদ্রার ঝুঁকির মুখোমুখি করে। এই গবেষণা ক্লাসিক ক্রেমার-লুন্ডবার্গ উদ্বৃত্ত মডেলটিকে একটি দ্বি-মুদ্রা সেটিংয়ে প্রসারিত করে, অর্নস্টেইন-উলেনবেক (OU) প্রক্রিয়া দ্বারা মডেল করা একটি স্টোকাস্টিক বিনিময় হারকে অন্তর্ভুক্ত করে। লক্ষ্য হল চূড়ান্ত সম্পদের প্রত্যাশিত সূচকীয় উপযোগিতা সর্বাধিক করা, যা বীমা অর্থসংস্থানে একটি সাধারণ ঝুঁকি-বিরোধী মানদণ্ড।

2. মডেল প্রণয়ন

2.1 উদ্বৃত্ত প্রক্রিয়া

বীমাকারীর উদ্বৃত্ত প্রক্রিয়া $R(t)$ ক্লাসিক ক্রেমার-লুন্ডবার্গ মডেলের বিস্তার আনুমানিকতা ব্যবহার করে মডেল করা হয়েছে: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ যেখানে $c$ হল প্রিমিয়াম হার, $\lambda$ হল দাবি আগমনের তীব্রতা, $\mu_Y$ হল গড় দাবির আকার, এবং $W_R(t)$ হল একটি আদর্শ ব্রাউনিয়ান গতি। এই আনুমানিকতা বিশ্লেষণাত্মক সুবিধার জন্য যৌগ পয়সন প্রক্রিয়াকে সরল করে, যা সাহিত্যে একটি সাধারণ কৌশল (দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, গ্রান্ডেল, ১৯৯১)।

2.2 আর্থিক বাজার

বীমাকারী নিম্নলিখিতগুলিতে বিনিয়োগ করতে পারে:

1. দেশীয় ঝুঁকিমুক্ত সম্পদ: $dB(t) = r_d B(t) dt$, সুদের হার $r_d$ সহ।
2. বিদেশী ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদ: একটি জ্যামিতিক ব্রাউনিয়ান গতি দ্বারা মডেল করা হয়েছে: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$।

মূল উদ্ভাবন হল বিদেশী সম্পদে বিনিয়োগের অনুমতি দেওয়া, যা বিনিময় হার মডেলিংয়ের প্রয়োজনীয়তা তৈরি করে।

2.3 বিনিময় হার গতিবিদ্যা

বিনিময় হার $Q(t)$ (বিদেশী মুদ্রার প্রতি এককে দেশীয় মুদ্রার একক) এবং এর প্রবণতা নিম্নরূপ মডেল করা হয়েছে: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ এখানে, $\theta(t)$ হল তাত্ক্ষণিক গড় বৃদ্ধির হার যা একটি OU প্রক্রিয়া অনুসরণ করে, যা মুদ্রার বিনিময় হারের সাধারণ গড়-প্রত্যাবর্তন বৈশিষ্ট্যগুলিকে ধারণ করে যা মুদ্রাস্ফীতি পার্থক্য এবং সুদের হার সমতা (ফামা, ১৯৮৪) এর মতো সামষ্টিক অর্থনৈতিক কারণ দ্বারা প্রভাবিত হয়। $W_Q(t)$ এবং $W_\theta(t)$ হল সম্পর্কযুক্ত ব্রাউনিয়ান গতি।

3. অপ্টিমাইজেশন সমস্যা

3.1 উদ্দেশ্য ফাংশন

ধরা যাক $X(t)$ হল দেশীয় মুদ্রায় মোট সম্পদ। বীমাকারী বিদেশী ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদে বিনিয়োগকৃত পরিমাণ $\pi(t)$ নিয়ন্ত্রণ করে। লক্ষ্য হল সময় $T$ এ চূড়ান্ত সম্পদের প্রত্যাশিত সূচকীয় উপযোগিতা সর্বাধিক করা: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ যেখানে $\gamma > 0$ হল ধ্রুবক পরম ঝুঁকি বিরাগ সহগ। সূচকীয় উপযোগিতা HJB সমীকরণকে সরল করে কারণ এটি নির্দিষ্ট শর্তে সর্বোত্তম কৌশলে সম্পদের নির্ভরতা দূর করে।

3.2 হ্যামিল্টন-জ্যাকবি-বেলম্যান সমীকরণ

ধরা যাক $V(t, x, \theta)$ হল মান ফাংশন। সংশ্লিষ্ট HJB সমীকরণ হল: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ চূড়ান্ত শর্ত $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$ সহ। ডিফারেনশিয়াল অপারেটর $\mathcal{L}^{\pi}$ $X(t)$, $\theta(t)$ এবং তাদের পারস্পরিক সম্পর্কের গতিবিদ্যা অন্তর্ভুক্ত করে। এই PDE সমাধান করা মূল বিশ্লেষণাত্মক চ্যালেঞ্জ।

4. বিশ্লেষণাত্মক সমাধান

4.1 সর্বোত্তম বিনিয়োগ কৌশল

গবেষণাপত্রটি বিদেশী ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদে সর্বোত্তম বিনিয়োগ নিম্নরূপ উদ্ভূত করেছে: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{সংশোধন পদ যাতে } \theta(t) \text{ জড়িত}$$ এই সূত্রটির একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা রয়েছে: প্রথম পদটি একটি ক্লাসিক মার্টন-টাইপ সমাধান (মার্টন, ১৯৬৯), যেখানে বিনিয়োগ অতিরিক্ত রিটার্ন ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) এর সমানুপাতিক এবং ঝুঁকি ($\gamma$ এবং মোট প্রকরণ) এর ব্যস্তানুপাতিক। সংশোধন পদগুলি বিনিময় হার প্রবণতা $\theta(t)$ এর স্টোকাস্টিক প্রকৃতি এবং অন্যান্য প্রক্রিয়ার সাথে এর পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য হিসাব করে।

4.2 মান ফাংশন

মান ফাংশন নিম্নলিখিত আকারে পাওয়া গেছে: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ যেখানে $A(t)$, $B(t)$, এবং $C(t)$ হল সময়ের নির্ধারক ফাংশন যা সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেম (রিকাটি সমীকরণ) সন্তুষ্ট করে। এই কাঠামোটি সূচকীয় উপযোগিতা সহ রৈখিক-দ্বিঘাত নিয়ন্ত্রণ সমস্যাগুলিতে সাধারণ।

5. সংখ্যাগত বিশ্লেষণ

গবেষণাপত্রটি সর্বোত্তম কৌশলের আচরণ চিত্রিত করার জন্য একটি সংখ্যাগত বিশ্লেষণ উপস্থাপন করে। মূল পর্যবেক্ষণগুলির মধ্যে রয়েছে:

• $\theta(t)$ এর প্রতি সংবেদনশীলতা: সর্বোত্তম বিনিয়োগ $\pi^*(t)$ বৃদ্ধি পায় যখন প্রত্যাশিত বিনিময় হার প্রশংসা $\theta(t)$ উচ্চ হয়, যা বিদেশী সম্পদে বিনিয়োগকে উৎসাহিত করে।
• ঝুঁকি বিরাগের প্রভাব ($\gamma$): উচ্চতর ঝুঁকি বিরাগ প্রত্যাশিতভাবে বিদেশী ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদে অবস্থানকে উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করে।
• পারস্পরিক সম্পর্কের প্রভাব: বিদেশী সম্পদের রিটার্ন এবং বিনিময় হার পরিবর্তনের মধ্যে নেতিবাচক পারস্পরিক সম্পর্ক ($\rho_{fQ}$) একটি প্রাকৃতিক হেজ হিসাবে কাজ করতে পারে, যা একটি বৃহত্তর সর্বোত্তম অবস্থানের অনুমতি দেয়।

বিশ্লেষণে সম্ভবত $\theta(t)$ এর পথ সিমুলেট করা এবং সময়ের সাথে $\pi^*(t)$ প্লট করা জড়িত, যা এর গতিশীল এবং অবস্থা-নির্ভর প্রকৃতি প্রদর্শন করে।

6. মূল অন্তর্দৃষ্টি ও বিশ্লেষকের দৃষ্টিভঙ্গি

মূল অন্তর্দৃষ্টি: এই গবেষণাপত্রটি কেবল বীমাকারী বিনিয়োগ মডেলে আরেকটি ক্রমবর্ধমান পরিবর্তন নয়। এর মৌলিক অবদান হল বীমাকারীর সম্পদ-দায় ব্যবস্থাপনা কাঠামোতে স্টোকাস্টিক মুদ্রা ঝুঁকি আনুষ্ঠানিকভাবে একীভূত করা। বিনিময় হার প্রবণতাকে একটি গড়-প্রত্যাবর্তন OU প্রক্রিয়া হিসাবে মডেল করে, লেখকরা সরল ধ্রুবক-প্যারামিটার মডেলগুলির বাইরে চলে যান এবং বৈশ্বিক বীমাকারীদের জন্য একটি মূল বাস্তবতা ধারণ করেন: মুদ্রা ঝুঁকি একটি স্থায়ী, গতিশীল কারণ যা সক্রিয়ভাবে পরিচালনা করতে হবে, কেবল একটি স্থির রূপান্তর ফি নয়।

যুক্তিসঙ্গত প্রবাহ: যুক্তিটি শব্দ এবং ক্যানোনিক্যাল স্টোকাস্টিক নিয়ন্ত্রণ পদ্ধতি অনুসরণ করে: (1) ক্রেমার-লুন্ডবার্গ উদ্বৃত্তকে একটি বিস্তারে প্রসারিত করুন, (2) একটি স্টোকাস্টিক বিনিময় হার সহ একটি দ্বি-মুদ্রা বাজারে স্তর যুক্ত করুন, (3) সূচকীয় উপযোগী উদ্দেশ্য সংজ্ঞায়িত করুন, (4) HJB সমীকরণ উদ্ভূত করুন, (5) সূচকীয় উপযোগীতার বিভাজ্যতা ব্যবহার করে একটি সমাধান ফর্ম অনুমান করুন, এবং (6) ফলস্বরূপ রিকাটি সমীকরণগুলি সমাধান করুন। এটি একটি সুপরিচিত কিন্তু কার্যকর পথ, নিয়ন্ত্রিত বিস্তারের উপর ফ্লেমিং এবং সোনার (২০০৬) এর মৌলিক কাজের অনুরূপ।

শক্তি ও ত্রুটি: শক্তি: মডেলের মার্জিততা এর প্রধান শক্তি। সূচকীয় উপযোগিতা এবং $\theta(t)$ এর জন্য অ্যাফাইন গতিবিদ্যার সংমিশ্রণ একটি সুবিধাজনক, বদ্ধ-ফর্ম সমাধান দেয়—স্টোকাস্টিক নিয়ন্ত্রণ সমস্যায় একটি বিরলতা। এটি স্পষ্ট তুলনামূলক স্থিতিবিদ্যা প্রদান করে। সম্পদ এবং মুদ্রার রিটার্নের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের স্পষ্ট অন্তর্ভুক্তিও প্রশংসনীয়, কারণ এটি স্বীকার করে যে এই ঝুঁকিগুলি বিচ্ছিন্ন নয়। ত্রুটি: মডেলের অনুমানগুলি এর Achilles' heel। বীমা উদ্বৃত্তের বিস্তার আনুমানিকতা জাম্প ঝুঁকি (বীমা দাবির সারমর্ম) সরিয়ে দেয়, সম্ভাব্যভাবে লেজ ঝুঁকিকে কম করে দেখায়। $\theta(t)$ এর জন্য OU প্রক্রিয়া, যদিও গড়-প্রত্যাবর্তন, উদীয়মান বাজারে দেখা "পেগড শাসন পরিবর্তন" বা আকস্মিক অবমূল্যায়ন ধারণ করতে পারে না। তদুপরি, মডেলটি লেনদেন খরচ এবং নো-শর্ট-সেলিংয়ের মতো সীমাবদ্ধতাগুলি উপেক্ষা করে, যা ব্যবহারিক বাস্তবায়নের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। পোর্টফোলিও অপ্টিমাইজেশনের জন্য গভীর রিইনফোর্সমেন্ট লার্নিং (থিয়েট এবং আর্নস্ট, ২০২১) এর মতো আরও শক্তিশালী পদ্ধতির তুলনায়, এই মডেলটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে পরিপাটি মনে হয় কিন্তু বাস্তব জগতে সম্ভাব্যভাবে ভঙ্গুর।

কার্যকরী অন্তর্দৃষ্টি: বৈশ্বিক বীমাকারীদের প্রধান বিনিয়োগ কর্মকর্তাদের জন্য, এই গবেষণা জোর দেয় যে মুদ্রা হেজিং একটি পরবর্তী চিন্তা হতে পারে না। সর্বোত্তম কৌশলটি গতিশীল এবং বিনিময় হার প্রবণতার ($\theta(t)$) বর্তমান অবস্থার উপর নির্ভর করে, যা অবিচ্ছিন্নভাবে অনুমান করতে হবে। অনুশীলনকারীদের উচিত: 1. অনুমান ইঞ্জিন তৈরি করুন: লুকানো অবস্থা $\theta(t)$ এবং এর প্যারামিটারগুলি ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) রিয়েল-টাইমে অনুমান করার জন্য শক্তিশালী কালম্যান ফিল্টার বা MLE পদ্ধতি বিকাশ করুন। 2. OU এর বাইরে স্ট্রেস-টেস্ট: মডেলের কাঠামো ব্যবহার করুন কিন্তু দৃশ্যকল্প বিশ্লেষণে আরও জটিল মডেল (যেমন, শাসন-স্যুইচিং) দিয়ে OU প্রক্রিয়াটি প্রতিস্থাপন করুন কৌশলের স্থিতিস্থাপকতা মূল্যায়ন করতে। 3. পারস্পরিক সম্পর্কে ফোকাস করুন: বিদেশী সম্পদের রিটার্ন এবং মুদ্রার চলাচলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক ($\rho_{fQ}$) সক্রিয়ভাবে নিরীক্ষণ করুন এবং মডেল করুন, কারণ এটি হেজ অনুপাত এবং সর্বোত্তম এক্সপোজারের একটি মূল নির্ধারক।

7. প্রযুক্তিগত বিবরণ ও গাণিতিক কাঠামো

মূল গাণিতিক যন্ত্রপাতি হল স্টোকাস্টিক অপ্টিমাল কন্ট্রোল থিওরি থেকে হ্যামিল্টন-জ্যাকবি-বেলম্যান (HJB) সমীকরণ। বিদেশী সম্পদে বিনিয়োগ $\pi(t)$ বিবেচনা করে দেশীয় মুদ্রায় সম্পদ গতিবিদ্যা হল: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ মান ফাংশন $V(t,x,\theta)$ এর জন্য HJB সমীকরণ হল: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ সূচকীয় উপযোগিতা অনুমান $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ এটি $\phi(t,\theta)$ এর জন্য একটি PDE তে সরল করে, যা একটি দ্বিঘাত অনুমান $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ এর সাথে $A(t), B(t), C(t)$ এর জন্য রিকাটি সমীকরণ দেয়।

8. বিশ্লেষণ কাঠামো: একটি ব্যবহারিক কেস

দৃশ্যকল্প: একটি জাপানি নন-লাইফ বীমাকারী (দেশীয় মুদ্রা: JPY) তার দেশীয় অপারেশন থেকে উদ্বৃত্ত ধারণ করে। এটি তার সম্পদের একটি অংশ মার্কিন প্রযুক্তি স্টক (বিদেশী সম্পদ, USD) এ বিনিয়োগ করার কথা বিবেচনা করছে। লক্ষ্য হল ৫-বছরের দিগন্তে এই বিদেশী সম্পদে সর্বোত্তম গতিশীল বরাদ্দ নির্ধারণ করা।

কাঠামো প্রয়োগ:

1. প্যারামিটার ক্রমাঙ্কন:
   • উদ্বৃত্ত (JPY): ঐতিহাসিক দাবি ডেটা থেকে $c$, $\lambda$, $\mu_Y$ অনুমান করুন প্রবণতা $(c-\lambda\mu_Y)$ এবং অস্থিরতা $\sigma_R$ পেতে।
   • মার্কিন প্রযুক্তি স্টক (USD): একটি বেঞ্চমার্ক সূচক (যেমন, ন্যাসড্যাক-১০০) থেকে প্রত্যাশিত রিটার্ন $\mu_f$ এবং অস্থিরতা $\sigma_f$ অনুমান করুন।
   • USD/JPY বিনিময় হার: $\theta(t)$ এর জন্য OU প্রক্রিয়া প্যারামিটারগুলি ক্রমাঙ্কন করতে ঐতিহাসিক ডেটা ব্যবহার করুন: দীর্ঘমেয়াদী গড় $\bar{\theta}$, গড়-প্রত্যাবর্তন গতি $\kappa$, এবং অস্থিরতা $\sigma_\theta$। পারস্পরিক সম্পর্ক ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ ইত্যাদি) অনুমান করুন।
   • ঝুঁকিমুক্ত হার: $r_d$ এর জন্য জাপানি সরকারি বন্ড (JGB) ফলন এবং মার্কিন ট্রেজারি ফলন (মডেলের কাঠামোতে রূপান্তরিত) ব্যবহার করুন।
   • ঝুঁকি বিরাগ: কোম্পানির মূলধন পর্যাপ্ততা এবং ঝুঁকি সহনশীলতার ভিত্তিতে $\gamma$ সেট করুন।
2. কৌশল গণনা: ক্রমাঙ্কিত প্যারামিটারগুলি $\pi^*(t)$ এর সূত্রে প্লাগ ইন করুন। এর জন্য লুকানো অবস্থা $\theta(t)$ এর বর্তমান অনুমানকৃত মানের প্রয়োজন, যা সাম্প্রতিক বিনিময় হার চলাচল থেকে ফিল্টার করা যেতে পারে।
3. আউটপুট ও নিরীক্ষণ: মডেলটি সময়-পরিবর্তনশীল লক্ষ্য বরাদ্দ শতাংশ আউটপুট করে। বীমাকারীর ট্রেজারি তার FX হেজিং অনুপাত এবং ইক্যুইটি বরাদ্দ সেই অনুযায়ী সামঞ্জস্য করবে। $\theta(t)$ অনুমান পর্যায়ক্রমে (যেমন, মাসিক) আপডেট করতে হবে, যা গতিশীল পুনঃভারসাম্যকরণের দিকে নিয়ে যায়।

এই কাঠামোটি একটি জটিল বহু-মুদ্রা বরাদ্দ সমস্যার জন্য একটি পদ্ধতিগত, মডেল-চালিত পদ্ধতি প্রদান করে।

9. ভবিষ্যত প্রয়োগ ও গবেষণা দিকনির্দেশ

মডেলটি প্রসার এবং ব্যবহারিক প্রয়োগের জন্য বেশ কয়েকটি পথ খোলে:

• বহু-মুদ্রা পোর্টফোলিও: একাধিক বিদেশী মুদ্রা এবং সম্পদে মডেলটি প্রসারিত করা, ক্রস-কারেন্সি পারস্পরিক সম্পর্কের একটি নেটওয়ার্ক পরিচালনা করা। এটি বহুজাতিক বীমাকারীদের প্রয়োজনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
• জাম্প ঝুঁকি অন্তর্ভুক্ত করা: বিস্তার আনুমানিকতাকে বীমা উদ্বৃত্তের জন্য আরও বাস্তবসম্মত জাম্প-ডিফিউশন বা লেভি প্রক্রিয়া দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যাতে বিপর্যয়কর দাবিগুলি আরও ভালভাবে মডেল করা যায়, জাম্প প্রক্রিয়ার অধীনে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের উপর সূর্য (২০২২) এর কৌশলগুলি ব্যবহার করে।
• শাসন-স্যুইচিং মডেল: $\theta(t)$ বা বাজার প্যারামিটারগুলিকে একটি মার্কভ শাসন-স্যুইচিং প্রক্রিয়া দিয়ে মডেল করা যাতে বিভিন্ন মুদ্রানীতি বা অর্থনৈতিক চক্র ধারণ করা যায়, যেমন এলিয়ট et al. এর কাজে দেখা যায়।
• মেশিন লার্নিং ইন্টিগ্রেশন: উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি মার্কেট ডেটা থেকে লুকানো অবস্থা $\theta(t)$ এবং এর গতিবিদ্যা অনুমান করতে LSTM নেটওয়ার্ক বা রিইনফোর্সমেন্ট লার্নিং এজেন্ট ব্যবহার করা, প্যারামেট্রিক OU অনুমানের বাইরে যাওয়া।
• ALM ইন্টিগ্রেশন: এই বিনিয়োগ মডেলটিকে একটি বৃহত্তর সম্পদ-দায় ব্যবস্থাপনা (ALM) কাঠামোতে এম্বেড করা যা বীমা পণ্য মূল্য নির্ধারণ এবং পুনর্বীমা কৌশলগুলির উপরেও অপ্টিমাইজ করে।
• বিকেন্দ্রীভূত অর্থসংস্থান (DeFi): মডেলটি একটি বিকেন্দ্রীভূত বীমা প্রোটোকলের (যেমন, নেক্সাস মিউচুয়াল) ট্রেজারি পরিচালনা করতে প্রয়োগ করা যা একাধিক ব্লকচেইন নেটিভ মুদ্রায় ক্রিপ্টো-অ্যাসেট ধারণ করে, যেখানে বিনিময় হারের অস্থিরতা চরম।

10. তথ্যসূত্র

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.