Optimale Investition für einen Versicherer in zwei Währungsmärkten: Eine Analyse der stochastischen Kontrolle

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

Diese Arbeit befasst sich mit einer kritischen Lücke in der Versicherungsmathematik und Finanzmathematik: der optimalen Investitionsstrategie für ein Versicherungsunternehmen, das in mehreren Währungsmärkten tätig ist. Traditionelle Modelle, wie etwa von Browne (1995) und Schmidli (2002), konzentrieren sich hauptsächlich auf Ein-Währungs-Umgebungen. In einer zunehmend globalisierten Wirtschaft müssen Versicherer jedoch Vermögenswerte und Verbindlichkeiten in verschiedenen Währungen verwalten, was sie einem Wechselkursrisiko aussetzt. Diese Forschung erweitert das klassische Cramér-Lundberg-Überschussmodell auf ein Zwei-Währungs-Setting und integriert einen stochastischen Wechselkurs, der durch einen Ornstein-Uhlenbeck (OU)-Prozess modelliert wird. Ziel ist es, den erwarteten exponentiellen Nutzen des Endvermögens zu maximieren, ein gängiges risikoaverses Kriterium in der Versicherungsfinanzierung.

2. Modellformulierung

2.1 Überschussprozess

Der Überschussprozess $R(t)$ des Versicherers wird mithilfe der Diffusionsapproximation des klassischen Cramér-Lundberg-Modells modelliert: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ wobei $c$ die Prämienrate, $\lambda$ die Schadenankunftsintensität, $\mu_Y$ die durchschnittliche Schadenhöhe und $W_R(t)$ eine Standard-Brownsche Bewegung ist. Diese Approximation vereinfacht den zusammengesetzten Poisson-Prozess für analytische Handhabbarkeit, eine gängige Technik in der Literatur (siehe z.B. Grandell, 1991).

2.2 Finanzmarkt

Der Versicherer kann investieren in:

1. Inländisches risikofreies Asset: $dB(t) = r_d B(t) dt$, mit Zinssatz $r_d$.
2. Ausländisches riskantes Asset: Modelliert durch eine geometrische Brownsche Bewegung: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.

Die wesentliche Neuerung besteht darin, Investitionen in ausländische Assets zu ermöglichen, was eine Modellierung des Wechselkurses erforderlich macht.

2.3 Wechselkursdynamik

Der Wechselkurs $Q(t)$ (Einheiten Inlandswährung pro Einheit Fremdwährung) und seine Drift werden wie folgt modelliert: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ Hierbei ist $\theta(t)$ die instantane mittlere Wachstumsrate, die einem OU-Prozess folgt und damit die für Wechselkurse typischen mean-reverting-Eigenschaften einfängt, die von makroökonomischen Faktoren wie Inflationsdifferenzen und Zinsparität beeinflusst werden (Fama, 1984). $W_Q(t)$ und $W_\theta(t)$ sind korrelierte Brownsche Bewegungen.

3. Optimierungsproblem

3.1 Zielfunktion

Sei $X(t)$ das Gesamtvermögen in Inlandswährung. Der Versicherer steuert den Betrag $\pi(t)$, der in das ausländische riskante Asset investiert wird. Das Ziel ist die Maximierung des erwarteten exponentiellen Nutzens des Endvermögens zum Zeitpunkt $T$: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ wobei $\gamma > 0$ der konstante Koeffizient der absoluten Risikoaversion ist. Die exponentielle Nutzenfunktion vereinfacht die HJB-Gleichung, da sie unter bestimmten Bedingungen die Vermögensabhängigkeit in der optimalen Strategie eliminiert.

3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung

Sei $V(t, x, \theta)$ die Wertfunktion. Die zugehörige HJB-Gleichung lautet: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ mit der Endbedingung $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$. Der Differentialoperator $\mathcal{L}^{\pi}$ beinhaltet die Dynamiken von $X(t)$, $\theta(t)$ und deren Korrelationen. Die Lösung dieser partiellen Differentialgleichung ist die zentrale analytische Herausforderung.

4. Analytische Lösung

4.1 Optimale Investitionsstrategie

Die Arbeit leitet die optimale Investition in das ausländische riskante Asset her als: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{Anpassungsterme bezüglich } \theta(t)$$ Diese Formel hat eine intuitive Interpretation: Der erste Term ist eine klassische Merton-Lösung (Merton, 1969), bei der die Investition proportional zur Überrendite ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) und umgekehrt proportional zum Risiko ($\gamma$ und Gesamtvarianz) ist. Die Anpassungsterme berücksichtigen die stochastische Natur der Wechselkursdrift $\theta(t)$ und deren Korrelation mit anderen Prozessen.

4.2 Wertfunktion

Die Wertfunktion hat die Form: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ wobei $A(t)$, $B(t)$ und $C(t)$ deterministische Funktionen der Zeit sind, die ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (Riccati-Gleichungen) erfüllen. Diese Struktur ist typisch für lineare-quadratische Kontrollprobleme mit exponentieller Nutzenfunktion.

5. Numerische Analyse

Die Arbeit präsentiert eine numerische Analyse, um das Verhalten der optimalen Strategie zu veranschaulichen. Wichtige Beobachtungen umfassen:

• Sensitivität gegenüber $\theta(t)$: Die optimale Investition $\pi^*(t)$ steigt, wenn die erwartete Wechselkursaufwertung $\theta(t)$ hoch ist, was Investitionen in das ausländische Asset begünstigt.
• Einfluss der Risikoaversion ($\gamma$): Höhere Risikoaversion reduziert, wie erwartet, die Position im ausländischen riskanten Asset deutlich.
• Effekt der Korrelation: Eine negative Korrelation zwischen der Rendite des ausländischen Assets und der Wechselkursänderung ($\rho_{fQ}$) kann als natürliche Absicherung wirken und eine größere optimale Position ermöglichen.

Die Analyse beinhaltet wahrscheinlich die Simulation von Pfaden für $\theta(t)$ und die Darstellung von $\pi^*(t)$ über die Zeit, um deren dynamische und zustandsabhängige Natur zu demonstrieren.

6. Kernaussage & Analystenperspektive

Kernaussage: Diese Arbeit ist nicht nur eine weitere inkrementelle Anpassung des Versicherer-Investitionsmodells. Ihr grundlegender Beitrag ist die formale Integration des stochastischen Währungsrisikos in den Asset-Liability-Management-Rahmen des Versicherers. Indem die Wechselkursdrift als mean-reverting OU-Prozess modelliert wird, gehen die Autoren über vereinfachende Modelle mit konstanten Parametern hinaus und erfassen eine Schlüsselrealität für globale Versicherer: Währungsrisiko ist ein persistenter, dynamischer Faktor, der aktiv gemanagt werden muss, nicht nur eine statische Umrechnungsgebühr.

Logischer Ablauf: Die Logik ist schlüssig und folgt dem kanonischen Ablauf der stochastischen Kontrolle: (1) Erweiterung des Cramér-Lundberg-Überschusses auf eine Diffusion, (2) Hinzufügen eines Zwei-Währungs-Marktes mit stochastischem Wechselkurs, (3) Definition der exponentiellen Nutzenzielfunktion, (4) Herleitung der HJB-Gleichung, (5) Ausnutzung der Separierbarkeit der exponentiellen Nutzenfunktion, um eine Lösungsform zu erraten, und (6) Lösung der resultierenden Riccati-Gleichungen. Dies ist ein bewährter und effektiver Weg, ähnlich dem grundlegenden Werk von Fleming und Soner (2006) zu kontrollierten Diffusionen.

Stärken & Schwächen: Stärken: Die Eleganz des Modells ist seine Hauptstärke. Die Kombination aus exponentieller Nutzenfunktion und affiner Dynamik für $\theta(t)$ ergibt eine handhabbare, geschlossene Lösung – eine Seltenheit bei stochastischen Kontrollproblemen. Dies ermöglicht klare komparative Statik. Die explizite Einbeziehung der Korrelation zwischen Asset- und Währungsrenditen ist ebenfalls lobenswert, da sie anerkennt, dass diese Risiken nicht isoliert sind. Schwächen: Die Annahmen des Modells sind seine Achillesferse. Die Diffusionsapproximation des Versicherungsüberschusses entfernt das Sprungrisiko (das Wesen von Versicherungsschäden) und unterschätzt möglicherweise das Tail-Risiko. Der OU-Prozess für $\theta(t)$ kann, obwohl mean-reverting, möglicherweise "Peg-Regime-Shifts" oder plötzliche Abwertungen in Schwellenländern nicht erfassen. Darüber hinaus ignoriert das Modell Transaktionskosten und Beschränkungen wie Leerverkaufsverbote, die für die praktische Umsetzung entscheidend sind. Im Vergleich zu robusteren Ansätzen wie Deep Reinforcement Learning für Portfoliooptimierung (Theate & Ernst, 2021) wirkt dieses Modell analytisch elegant, aber in der realen Welt potenziell fragil.

Umsetzbare Erkenntnisse: Für Chief Investment Officers globaler Versicherer unterstreicht diese Forschung, dass Währungsabsicherung kein nachträglicher Gedanke sein kann. Die optimale Strategie ist dynamisch und hängt vom aktuellen Zustand der Wechselkursdrift ($\theta(t)$) ab, der kontinuierlich geschätzt werden muss. Praktiker sollten: 1. Schätzungs-Engines aufbauen: Robuste Kalman-Filter oder Maximum-Likelihood-Methoden entwickeln, um den latenten Zustand $\theta(t)$ und seine Parameter ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) in Echtzeit zu schätzen. 2. Stresstests jenseits von OU durchführen: Das Framework des Modells nutzen, aber den OU-Prozess in Szenarioanalysen durch komplexere Modelle (z.B. Regime-Switching) ersetzen, um die Widerstandsfähigkeit der Strategie zu bewerten. 3. Fokus auf Korrelation legen: Die Korrelation ($\rho_{fQ}$) zwischen ausländischen Assetrenditen und Währungsbewegungen aktiv überwachen und modellieren, da sie ein Schlüsselfaktor für das Hedge-Verhältnis und die optimale Exposure ist.

7. Technische Details & Mathematischer Rahmen

Die zentrale mathematische Methode ist die Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)-Gleichung aus der Theorie der stochastischen optimalen Kontrolle. Die Vermögensdynamik in Inlandswährung unter Berücksichtigung der Investition $\pi(t)$ in das ausländische Asset lautet: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ Die HJB-Gleichung für die Wertfunktion $V(t,x,\theta)$ lautet: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ Der exponentielle Nutzen-Ansatz $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ vereinfacht dies zu einer partiellen Differentialgleichung für $\phi(t,\theta)$, die mit einem quadratischen Ansatz $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ zu den Riccati-Gleichungen für $A(t), B(t), C(t)$ führt.

8. Analyseframework: Ein praktischer Fall

Szenario: Ein japanischer Nichtlebensversicherer (Inlandswährung: JPY) erzielt Überschüsse aus seinem Inlandsgeschäft. Er erwägt, einen Teil seiner Vermögenswerte in US-Technologieaktien (ausländisches Asset, USD) zu investieren. Ziel ist es, die optimale dynamische Allokation in dieses ausländische Asset über einen 5-Jahres-Zeitraum zu bestimmen.

Framework-Anwendung:

1. Parameterkalibrierung:
   • Überschuss (JPY): Schätzung von $c$, $\lambda$, $\mu_Y$ aus historischen Schadendaten, um Drift $(c-\lambda\mu_Y)$ und Volatilität $\sigma_R$ zu erhalten.
   • US-Tech-Aktien (USD): Schätzung der erwarteten Rendite $\mu_f$ und Volatilität $\sigma_f$ anhand eines Benchmark-Index (z.B. Nasdaq-100).
   • USD/JPY-Wechselkurs: Nutzung historischer Daten zur Kalibrierung der OU-Prozessparameter für $\theta(t)$: langfristiger Mittelwert $\bar{\theta}$, Mean-Reversion-Geschwindigkeit $\kappa$ und Volatilität $\sigma_\theta$. Schätzung der Korrelationen ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ etc.).
   • Risikofreie Zinssätze: Verwendung der Rendite japanischer Staatsanleihen (JGB) für $r_d$ und der Rendite US-Staatsanleihen (umgewandelt in die Modellstruktur).
   • Risikoaversion: Festlegung von $\gamma$ basierend auf der Kapitalausstattung und Risikotoleranz des Unternehmens.
2. Strategieberechnung: Einsetzen der kalibrierten Parameter in die Formel für $\pi^*(t)$. Dies erfordert den aktuell geschätzten Wert des latenten Zustands $\theta(t)$, der aus jüngsten Wechselkursbewegungen gefiltert werden kann.
3. Output & Monitoring: Das Modell liefert einen zeitvariablen Zielallokationsprozentsatz. Das Treasury des Versicherers würde seine FX-Hedge-Ratio und Aktienallokation entsprechend anpassen. Die Schätzung von $\theta(t)$ muss regelmäßig (z.B. monatlich) aktualisiert werden, was zu dynamischem Rebalancing führt.

Dieses Framework bietet einen systematischen, modellgestützten Ansatz für ein komplexes Multi-Währungs-Allokationsproblem.

9. Zukünftige Anwendungen & Forschungsrichtungen

Das Modell eröffnet mehrere Wege für Erweiterungen und praktische Anwendungen:

• Multi-Währungs-Portfolios: Erweiterung des Modells auf mehr als eine Fremdwährung und Asset, Management eines Netzwerks von Kreuzwährungskorrelationen. Dies entspricht den Bedürfnissen multinationaler Versicherer.
• Einbeziehung von Sprungrisiken: Ersetzen der Diffusionsapproximation durch einen realistischeren Sprungdiffusions- oder Lévy-Prozess für den Versicherungsüberschuss, um Katastrophenschäden besser zu modellieren, unter Verwendung von Techniken von Surya (2022) zur optimalen Kontrolle unter Sprungprozessen.
• Regime-Switching-Modelle: Modellierung von $\theta(t)$ oder Marktparametern mit einem Markov-Regime-Switching-Prozess, um verschiedene geldpolitische oder konjunkturelle Zyklen zu erfassen, wie in den Arbeiten von Elliott et al.
• Integration von Maschinellem Lernen: Nutzung von LSTM-Netzwerken oder Reinforcement-Learning-Agenten zur Schätzung des latenten Zustands $\theta(t)$ und seiner Dynamik aus Hochfrequenzmarktdaten, über die parametrische OU-Annahme hinaus.
• ALM-Integration: Einbettung dieses Investitionsmodells in einen breiteren Asset-Liability-Management (ALM)-Rahmen, der auch die Optimierung der Versicherungsproduktpreise und Rückversicherungsstrategien umfasst.
• Dezentralisierte Finanzen (DeFi): Anwendung des Modells zur Verwaltung des Treasury eines dezentralen Versicherungsprotokolls (z.B. Nexus Mutual), das Krypto-Assets in mehreren nativen Blockchain-Währungen hält, wo die Wechselkursvolatilität extrem ist.

10. Literaturverzeichnis

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.