مدلسازی نرخ‌های مبادله ین-دلار با میانگین‌های متحرک و اثرات خودتنظیمی

فهرست مطالب

1. مقدمه

این مقاله یک مدل از نوع خودرگرسیون با اثرات خودتنظیمی برای مدل‌سازی نرخ‌های ارز خارجی ارائه می‌دهد که به‌طور خاص بر بازار ین-دلار تمرکز دارد. این پژوهش به پدیده‌های مستند «دم‌های کلفت» در توزیع احتمال تغییرات نرخ و خودهمبستگی بلندمدت نوسان‌پذیری می‌پردازد که از فرضیات توزیع نرمال استاندارد منحرف می‌شوند. نویسندگان یک تکنیک نوین برای جداسازی نرخ ارز به یک مؤلفه میانگین متحرک و یک باقیمانده نویز نامرتبط معرفی می‌کنند. این مطالعه از داده‌های لحظه‌به‌لحظه نرخ مبادله ین-دلار از سال ۱۹۸۹ تا ۲۰۰۲ که توسط CQG ارائه شده است، استفاده می‌کند.

2. بهترین میانگین متحرک

هسته روش‌شناسی شامل تعریف یک نرخ میانگین متحرک «بهترین» $P(t)$ است که به‌طور مؤثر نویز نامرتبط $\varepsilon(t)$ را از داده‌های مشاهده‌شده بازار $P(t+1)$ جدا می‌کند. رابطه به صورت زیر تعریف می‌شود:

$P(t+1) = P(t) + \varepsilon(t)$

که در آن $P(t) = \sum_{k=1}^{K} w_P(k) \cdot P(t - k + 1)$. ضرایب وزنی $w_P(k)$ برای کمینه کردن خودهمبستگی عبارت باقیمانده $\varepsilon(t)$ تنظیم می‌شوند. این مطالعه نشان می‌دهد که وزن‌های بهینه تقریباً به‌صورت نمایی با یک زمان مشخصه چند دقیقه‌ای کاهش می‌یابند. علاوه بر این، قدر مطلق نویز $|\varepsilon(t)|$ خود دارای خودهمبستگی بلندمدت است. برای مدل‌سازی این موضوع، لگاریتم قدر مطلق نویز نیز از طریق یک فرآیند خودرگرسیون تجزیه می‌شود:

$\log|\varepsilon(t+1)| = \log|\overline{\varepsilon}(t)| + b(t)$

که در آن $\log|\overline{\varepsilon}(t)| = \sum_{k=1}^{K'} w_\varepsilon(k) \cdot \log|\varepsilon(t - k + 1)|$. نکته کلیدی این است که ضرایب وزنی $w_\varepsilon(k)$ برای نرخ ین-دلار بر اساس یک قانون توانی $w_\varepsilon(k) \propto k^{-1.1}$ کاهش می‌یابند، همان‌طور که در شکل ۱ مقاله اصلی نشان داده شده است. این نشان‌دهنده یک فرآیند متفاوت با حافظه بلندتر برای حاکمیت بر نوسان‌پذیری در مقایسه با خود قیمت است.

3. فرآیند خودتنظیمی برای نرخ ارز خارجی

بر اساس یافته‌های تجربی، نویسندگان یک مدل خودتنظیمی کامل برای نرخ ارز خارجی پیشنهاد می‌کنند:

$\begin{cases} P(t+1) = P(t) + \varepsilon(t) \\ \varepsilon(t+1) = \alpha(t) \cdot \overline{\varepsilon}(t) \cdot b(t) + f(t) \end{cases}$

در اینجا، $\alpha(t)$ یک علامت تصادفی (+۱ یا -۱) است، $b(t)$ یک عبارت نویز نامرتبط است که از توزیع مشاهده‌شده گرفته می‌شود، و $f(t)$ نشان‌دهنده شوک‌های خارجی (مانند اخبار، مداخلات) است. میانگین‌های متحرک $P(t)$ و $\overline{\varepsilon}(t)$ همانند بخش قبل تعریف می‌شوند. شبیه‌سازی با استفاده از این مدل با تابع وزن نمایی $w_P(k) \propto e^{-0.35k}$ و نویز خارجی گاوسی $f(t)$ با موفقیت حقایق کلیدی سبک‌شده بازار، مانند توزیع‌های دم‌کلفت و خوشه‌بندی نوسان‌پذیری را بازتولید می‌کند.

4. بینش کلیدی و دیدگاه تحلیلگر

بینش کلیدی: این مقاله یک بینش قدرتمند، و در عین حال به زیبایی ساده ارائه می‌دهد: رقص آشفته نرخ ین-دلار را می‌توان به یک سیگنال روند با حافظه کوتاه (میانگین متحرک «بهترین») و یک فرآیند نوسان‌پذیری با حافظه بلند تجزیه کرد که توسط اتکای جمعی معامله‌گران به بازخورد وزنی حرکات قیمت اخیر هدایت می‌شود. نبوغ واقعی در شناسایی دو مقیاس زمانی متمایز است—کاهش نمایی برای قیمت (~دقیقه) و کاهش قانون توانی برای نوسان‌پذیری—که مستقیماً لایه‌های مختلف ریزساختار بازار و روانشناسی معامله‌گر را درگیر می‌کند.

جریان منطقی: استدلال قانع‌کننده است. با معمای تجربی (دم‌های کلفت، نوسان‌پذیری خوشه‌ای) شروع می‌کند. به جای پرش به مدل‌های پیچیده مبتنی بر عامل، یک سؤال تمیزتر می‌پرسند: ساده‌ترین میانگین متحرکی که بازده قیمت را سفید می‌کند چیست؟ پاسخ افق زمانی مؤثر بازار را آشکار می‌سازد. سپس متوجه می‌شوند که بزرگی نویز سفیدشده، سفید نیست—حافظه دارد. مدل‌سازی آن حافظه یک ساختار قانون توانی را آشکار می‌سازد. این تجزیه دو مرحله‌ای به طور منطقی نتیجه‌گیری یک سیستم خودتنظیمی را تحمیل می‌کند که در آن نوسان‌پذیری گذشته، نوسان‌پذیری آینده را تنظیم می‌کند، مفهومی که تشابهات قوی در سایر سیستم‌های پیچیده مطالعه‌شده در فیزیک دارد.

نقاط قوت و ضعف: نقطه قوت مدل، پایه تجربی و ایجاز آن است. بیش از حد به «انواع عامل» غیرقابل مشاهده متکی نیست. با این حال، ضعف اصلی آن ماهیت پدیده‌شناختی آن است. «چه چیزی» (وزن‌های قانون توانی) را به زیبایی توصیف می‌کند اما «چرایی» را تا حدودی باز می‌گذارد. چرا معامله‌گران به طور جمعی یک وزن‌دهی $k^{-1.1}$ ایجاد می‌کنند؟ آیا تحت شرایط خاصی بهینه است، یا یک رفتار گلّه‌ای ظهورکننده و احتمالاً زیربهینه است؟ علاوه بر این، برخورد با شوک‌های خارجی $f(t)$ به عنوان نویز ساده گاوسی یک ضعف آشکار است؛ در واقعیت، مداخلات و اخبار تأثیرات پیچیده و نامتقارنی دارند، همان‌طور که در مطالعات بانک تسویه‌های بین‌المللی (BIS) در مورد اثربخشی مداخله بانک مرکزی اشاره شده است.

بینش‌های قابل اجرا: برای کوانت‌ها و مدیران ریسک، این مقاله یک معدن طلا است. اولاً، استفاده از میانگین‌های متحرک بسیار کوتاه‌مدت (مقیاس دقیقه) را برای استخراج سیگنال فرکانس بالا تأیید می‌کند. ثانیاً، و مهم‌تر از آن، نقشه‌ای برای ساخت پیش‌بینی‌های بهتر نوسان‌پذیری ارائه می‌دهد. به جای مدل‌های خانواده GARCH، می‌توان مستقیماً وزن‌دهی قانون توانی $w_\varepsilon(k)$ را روی نوسان‌پذیری برای پیش‌بینی تلاطم آینده بازار تخمین زد. می‌توان استراتژی‌های معاملاتی را بکتست کرد که وقتی فاکتور $\overline{\varepsilon}(t)$ مدل بالا است، روی نوسان‌پذیری موقعیت خرید بگیرند. این مدل همچنین به عنوان یک معیار سنجش قوی عمل می‌کند؛ هر مدل پیچیده‌تر هوش مصنوعی/یادگیری ماشین برای پیش‌بینی ارز خارجی حداقل باید از این تجزیه نسبتاً ساده و الهام‌گرفته از فیزیک بهتر عمل کند تا پیچیدگی خود را توجیه کند.

5. جزئیات فنی و چارچوب ریاضی

هسته ریاضی مدل، تجزیه دوگانه است. تجزیه اولیه قیمت یک فرآیند خودرگرسیون (AR) روی سطح قیمت است که برای سفید کردن بازده‌های مرتبه اول طراحی شده است:

$P(t+1) - P(t) = \varepsilon(t)$، با $\text{Corr}(\varepsilon(t), \varepsilon(t+\tau)) \approx 0$ برای $\tau > 0$.

تجزیه ثانویه و نوآورانه‌تر، یک فرآیند AR را روی لگاریتم نوسان‌پذیری اعمال می‌کند:

$\log|\varepsilon(t+1)| = \sum_{k=1}^{K'} w_\varepsilon(k) \cdot \log|\varepsilon(t - k + 1)| + b(t)$.

یافته بحرانی، شکل تابعی هسته‌ها است: $w_P(k)$ به صورت نمایی کاهش می‌یابد (حافظه کوتاه)، در حالی که $w_\varepsilon(k)$ به صورت یک قانون توانی $k^{-\beta}$ با $\beta \approx 1.1$ کاهش می‌یابد (حافظه بلند). این خودهمبستگی قانون توانی در نوسان‌پذیری، نشانه‌ای از بازارهای مالی است، مشابه پدیده‌های «نمای هورست» مشاهده‌شده در بسیاری از سری‌های زمانی پیچیده. مدل کامل در معادلات (۵) و (۶) این‌ها را ترکیب می‌کند، که ساختار ضربی $\alpha(t) \cdot \overline{\varepsilon}(t) \cdot b(t)$ اطمینان می‌دهد که مقیاس نوسان‌پذیری، نوآوری قیمت علامت‌تصادفی‌شده را تنظیم می‌کند.

6. نتایج تجربی و تحلیل نمودار

مقاله دو شکل کلیدی بر اساس داده‌های لحظه‌ای ین-دلار (۲۰۰۲-۱۹۸۹) ارائه می‌دهد.

شکل ۱: ضرایب وزنی $w_\varepsilon(k)$ قدر مطلق $|\varepsilon(t)|$. این نمودار به صورت بصری کاهش قانون توانی وزن‌های استفاده‌شده در فرآیند خودرگرسیون لگاریتم نوسان‌پذیری را نشان می‌دهد. خط رسم‌شده تابع $w_\varepsilon(k) \propto k^{-1.1}$ را نشان می‌دهد که به وزن‌های تخمین‌زده‌شده تجربی نزدیک است. این شواهد مستقیمی از حافظه بلندمدت در نوسان‌پذیری است که با حافظه کوتاه در قیمت تضاد دارد.

شکل ۲: خودهمبستگی‌های $|\varepsilon(t)|$ و $b(t)$. این شکل به عنوان یک نمودار اعتبارسنجی عمل می‌کند. نشان می‌دهد که بازده‌های قدر مطلق خام $|\varepsilon(t)|$ دارای یک خودهمبستگی مثبت با کاهش آهسته (خوشه‌بندی نوسان‌پذیری) هستند. در مقابل، عبارت باقیمانده $b(t)$ استخراج‌شده پس از اعمال فرآیند AR با وزن‌های قانون توانی، هیچ خودهمبستگی معناداری نشان نمی‌دهد که تأیید می‌کند مدل با موفقیت ساختار حافظه در نوسان‌پذیری را ثبت کرده است.

7. چارچوب تحلیل: یک مورد عملی

مورد: تحلیل یک جفت ارز دیجیتال (مثلاً BTC-USD). در حالی که مقاله اصلی بازار فارکس را مطالعه می‌کند، این چارچوب برای بازارهای ارز دیجیتال که به نوسان‌پذیری شدید معروف هستند، بسیار قابل اجرا است. یک تحلیلگر می‌تواند مطالعه را به صورت زیر تکرار کند:

1. آماده‌سازی داده: داده‌های قیمت فرکانس بالا (مثلاً ۱ دقیقه‌ای) BTC-USD را از یک صرافی مانند کوین‌بیس به دست آورید.
2. مرحله ۱ - یافتن $w_P(k)$: پارامترهای مختلف کاهش نمایی برای $w_P(k)$ را به صورت تکراری آزمایش کنید تا مجموعه‌ای را بیابید که خودهمبستگی $\varepsilon(t)$ حاصل را کمینه می‌کند. نتیجه مورد انتظار یک زمان مشخصه احتمالاً در محدوده ۵ تا ۳۰ دقیقه برای ارز دیجیتال است.
3. مرحله ۲ - تحلیل $|\varepsilon(t)|$: یک فرآیند AR را به $\log|\varepsilon(t)|$ برازش دهید. وزن‌های $w_\varepsilon(k)$ را تخمین بزنید. سؤال کلیدی این است: آیا آن‌ها از یک قانون توانی $k^{-\beta}$ پیروی می‌کنند؟ نمای $\beta$ ممکن است با ۱.۱ متفاوت باشد که احتمالاً نشان‌دهنده حافظه نوسان‌پذیری پایدارتر در ارز دیجیتال است.
4. بینش: اگر یک قانون توانی برقرار باشد، نشان می‌دهد که معامله‌گران ارز دیجیتال، مانند معامله‌گران فارکس، از استراتژی‌هایی با بازخورد حافظه بلند بر نوسان‌پذیری گذشته استفاده می‌کنند. این شباهت ساختاری پیامدهای عمیقی برای مدل‌سازی ریسک و قیمت‌گذاری مشتقات در ارز دیجیتال دارد که اغلب آن را به عنوان یک دسته دارایی کاملاً نوین در نظر می‌گیرد.

8. کاربردهای آتی و جهت‌های پژوهشی

این مدل چندین مسیر امیدوارکننده را باز می‌کند:

• اعتبارسنجی بین‌دارایی: اعمال همان روش‌شناسی به سهام، کالاها و اوراق قرضه برای دیدن اینکه آیا نمای $\beta \approx 1.1$ یک ثابت جهانی است یا خاص بازار.
• ادغام با یادگیری ماشین: استفاده از مؤلفه‌های تجزیه‌شده $P(t)$ و $\overline{\varepsilon}(t)$ به عنوان ویژگی‌های تمیزتر و ایستاتر برای مدل‌های پیش‌بینی قیمت یادگیری عمیق، که به طور بالقوه عملکرد را نسبت به داده‌های قیمت خام بهبود می‌بخشد.
• بنیان مدل مبتنی بر عامل (ABM): توابع وزن تجربی $w_P(k)$ و $w_\varepsilon(k)$ اهداف کالیبراسیون بحرانی برای ABMها ارائه می‌دهند. پژوهشگران می‌توانند قواعد عاملی طراحی کنند که به طور جمعی این هسته‌های بازخورد دقیق را ایجاد کنند.
• سیاست و مقررات: درک مقیاس‌های زمانی مشخصه واکنش معامله‌گر (دقیقه) می‌تواند به طراحی قطع‌کننده‌های مدار مؤثرتر یا ارزیابی تأثیر معاملات فرکانس بالا (HFT) کمک کند. این مدل می‌تواند تأثیر تغییرات مقرراتی بر ساختار بازخورد بازار را شبیه‌سازی کند.
• پیش‌بینی شوک‌های خارجی: یک گام اصلی بعدی، فراتر رفتن از مدل‌سازی $f(t)$ به عنوان نویز ساده است. کار آینده می‌تواند از پردازش زبان طبیعی (NLP) روی فیدهای خبری برای پارامترسازی $f(t)$ استفاده کند و یک مدل ترکیبی فیزیک-هوش مصنوعی برای رویدادهای نادر اما تأثیرگذار ایجاد کند.

9. منابع

1. Mantegna, R. N., & Stanley, H. E. (2000). An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. Cambridge University Press. (برای زمینه دم‌های کلفت و مقیاس‌بندی در امور مالی).
2. Mizuno, T., Takayasu, M., & Takayasu, H. (2003). Modeling a foreign exchange rate using moving average of Yen-Dollar market data. (مقاله تحلیل‌شده).
3. Bank for International Settlements (BIS). (2019). Triennial Central Bank Survey of foreign exchange and OTC derivatives markets. (برای داده‌های ساختار بازار و مداخله).
4. Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223-236. (برای فهرست جامعی از حقایق سبک‌شده مالی).
5. Lux, T., & Marchesi, M. (2000). Volatility clustering in financial markets: a microsimulation of interacting agents. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 3(04), 675-702. (برای دیدگاه‌های مدل‌سازی مبتنی بر عامل در مورد خوشه‌بندی نوسان‌پذیری).