Reconstruction des Processus Cryptomonétaires via les Chaînes de Markov

Table des Matières

1 Introduction

Depuis l'introduction du Bitcoin par Nakamoto (2008), les cryptomonnaies ont reçu une attention considérable de la part des autorités monétaires, des entreprises et des investisseurs. L'intérêt croissant découle de leur potentiel à réduire la gestion des risques, à améliorer les portefeuilles et à analyser le sentiment des consommateurs. Cette recherche applique les méthodologies des chaînes de Markov pour reconstruire et prévoir les processus du marché des cryptomonnaies, en examinant spécifiquement Bitcoin (BTC), Ethereum (ETH) et Ripple (XRP).

Des études antérieures ont identifié que les cryptomonnaies présentent des faits stylisés similaires aux actifs financiers traditionnels, incluant des distributions à queues épaisses, des clusters de volatilité et une corrélation positive entre le volume et la volatilité. Bariviera (2017) a démontré les propriétés de mémoire longue du Bitcoin, tandis que Cheah et al. (2018) ont identifié des composantes de mémoire longue dans les principales cryptomonnaies.

2 Méthodologie

2.1 Cadre des Chaînes de Markov

L'étude emploie des chaînes de Markov d'ordres un à huit pour modéliser la dynamique des prix des cryptomonnaies. L'approche utilise des données de rendement intrajournalier pour construire des matrices de probabilité de transition qui capturent la nature stochastique des fluctuations du marché. Chaque ordre de chaîne de Markov représente différents niveaux de dépendance historique dans les mouvements de prix.

2.2 Collecte et Traitement des Données

Les données de prix intrajournalières pour Bitcoin, Ethereum et Ripple ont été collectées auprès des principales plateformes d'échange de cryptomonnaies. Les rendements ont été calculés comme des différences logarithmiques, et des états discrets ont été définis sur la base de seuils de rendement pour faciliter la modélisation par chaînes de Markov.

3 Implémentation Technique

3.1 Formulation Mathématique

La chaîne de Markov d'ordre n est définie par la probabilité conditionnelle :

$P(X_t = x_t | X_{t-1} = x_{t-1}, X_{t-2} = x_{t-2}, \\ldots, X_{t-n} = x_{t-n})$

où $X_t$ représente l'état de rendement de la cryptomonnaie au temps t. Les probabilités de transition sont estimées empiriquement à partir des données historiques en utilisant l'estimation du maximum de vraisemblance :

$P_{ij} = \\frac{N_{ij}}{\\sum_k N_{ik}}$

où $N_{ij}$ compte les transitions de l'état i à l'état j.

3.2 Implémentation du Code

import numpy as np
import pandas as pd

class MarkovChainForecaster:
    def __init__(self, order=1):
        self.order = order
        self.transition_matrix = None
        self.states = None
    
    def fit(self, returns, n_states=3):
        # Discrétiser les rendements en états
        quantiles = pd.qcut(returns, n_states, labels=False)
        self.states = quantiles.unique()
        
        # Construire la matrice de transition
        n = len(self.states)**self.order
        self.transition_matrix = np.zeros((n, len(self.states)))
        
        for i in range(self.order, len(quantiles)):
            history = tuple(quantiles[i-self.order:i])
            current = quantiles[i]
            hist_idx = self._state_to_index(history)
            self.transition_matrix[hist_idx, current] += 1
        
        # Normaliser les lignes
        row_sums = self.transition_matrix.sum(axis=1)
        self.transition_matrix = self.transition_matrix / row_sums[:, np.newaxis]
    
    def forecast(self, current_state):
        idx = self._state_to_index(current_state)
        return np.random.choice(
            self.states, 
            p=self.transition_matrix[idx]
        )

4 Résultats Expérimentaux

4.1 Performance de Prévision

Les résultats empiriques démontrent que les prévisions utilisant les probabilités des chaînes de Markov surpassent significativement les choix aléatoires. Les chaînes d'ordre supérieur (ordres 4-8) ont montré une précision améliorée dans la capture des modèles de marché complexes, particulièrement pour le Bitcoin qui a présenté une structure plus prévisible comparée à Ethereum et Ripple.

4.2 Analyse de Mémoire Longue

L'étude a investigué les composantes de mémoire longue en utilisant des calculs d'exposant de Hurst. Les résultats indiquent que tandis que le Bitcoin a exhibé un comportement de marche aléatoire (exposant de Hurst ≈ 0,5) après 2014, Ethereum et Ripple ont montré un comportement persistant avec des exposants de Hurst significativement supérieurs à 0,5, suggérant la présence d'effets de mémoire longue.

5 Analyse Originale

La recherche d'Araújo et Barbosa apporte des contributions significatives à l'analyse du marché des cryptomonnaies en appliquant systématiquement les méthodologies des chaînes de Markov à travers plusieurs ordres et cryptomonnaies. Leur approche démontre que les chaînes de Markov d'ordre supérieur (jusqu'à l'ordre 8) peuvent capturer efficacement les dépendances complexes dans les rendements des cryptomonnaies, remettant en question l'hypothèse des marchés efficaces qui postule que les prix des actifs suivent des marches aléatoires.

Ce travail s'aligne avec les résultats des marchés financiers traditionnels où les modèles de Markov ont montré du succès dans la capture de la microstructure du marché. Similaire à l'article CycleGAN (Zhu et al., 2017) qui a démontré que la traduction d'image à image non appariée pouvait apprendre des mappings complexes sans appariement explicite, cette recherche montre que les chaînes de Markov peuvent apprendre des dépendances temporelles complexes dans les séries temporelles financières sans hypothèses structurelles explicites.

L'identification de composantes de mémoire longue variables selon les cryptomonnaies a des implications importantes pour la gestion des risques et la construction de portefeuilles. Comme noté dans les études de la Banque des Règlements Internationaux (BRI, 2021), les cryptomonnaies présentent des profils de risque hétérogènes qui nécessitent des approches de modélisation sophistiquées. Le cadre Markovien fournit un outil flexible pour capturer ces différences.

Comparé aux modèles GARCH traditionnels couramment utilisés en économétrie financière, les chaînes de Markov offrent plusieurs avantages : elles nécessitent moins d'hypothèses distributionnelles, peuvent capturer des dépendances non linéaires et fournissent des interprétations probabilistes intuitives. Cependant, elles peuvent avoir des difficultés avec les événements extrêmes non représentés dans les données historiques, similaire aux limitations notées dans les applications du machine learning à la finance (Journal of Financial Economics, 2020).

La recherche contribue à la littérature croissante sur l'efficience du marché des cryptomonnaies. Alors que les actifs traditionnels montrent souvent une prévisibilité diminuant avec l'augmentation des horizons temporels, les résultats suggèrent que les cryptomonnaies peuvent maintenir des composantes prévisibles même à des ordres de Markov plus élevés, possiblement en raison de l'immaturité du marché ou de facteurs comportementaux influençant les décisions des traders.

6 Applications Futures

Le cadre des chaînes de Markov développé dans cette recherche a plusieurs applications prometteuses :

• Trading Algorithmique : Intégration avec les systèmes de trading haute fréquence pour les marchés de cryptomonnaies
• Gestion des Risques : Calculs améliorés de la Value at Risk (VaR) utilisant les probabilités de transition d'état
• Surveillance Réglementaire : Détection des schémas de manipulation de marché via des transitions d'état anormales
• Optimisation de Portefeuille : Allocation dynamique d'actifs basée sur les états de marché prédits
• Analyse Multi-Actifs : Extension pour modéliser les relations entre les cryptomonnaies et les actifs traditionnels

Les directions de recherche futures incluent l'incorporation d'architectures d'apprentissage profond avec les modèles de Markov, le développement de chaînes de Markov multivariées pour les interactions multiples de cryptomonnaies, et l'application du cadre aux protocoles de finance décentralisée (DeFi) et aux jetons non fongibles (NFT).

7 Références

1. Nakamoto, S. (2008). Bitcoin : Un système de paiement électronique pair-à-pair
2. Dyhrberg, A. H. (2016). Capacités de couverture du bitcoin. Financial Research Letters, 16, 139-144
3. Bariviera, A. F. (2017). L'inefficience du Bitcoin revisitée : Une approche dynamique. Economics Letters, 161, 1-4
4. Cheah, E. T., et al. (2018). Interdépendance et inefficience de mémoire longue dans les marchés Bitcoin. Economics Letters, 167, 18-25
5. Urquhart, A. (2017). L'inefficience du Bitcoin. Economics Letters, 148, 80-82
6. Zhu, J. Y., et al. (2017). Traduction d'image à image non appariée utilisant des réseaux antagonistes cohérents par cycle. ICCV
7. Banque des Règlements Internationaux (2021). Rapport Économique Annuel
8. Journal of Financial Economics (2020). Machine Learning en Finance : Fondements et Développements Récents