Table des matières
1. Introduction
Cet article traite d'une lacune critique en science actuarielle et en mathématiques financières : la stratégie d'investissement optimale pour une compagnie d'assurance opérant sur plusieurs marchés de devises. Les modèles traditionnels, tels que ceux de Browne (1995) et Schmidli (2002), se concentrent principalement sur des environnements à monnaie unique. Cependant, dans une économie de plus en plus mondialisée, les assureurs doivent gérer des actifs et des passifs libellés dans différentes devises, ce qui les expose au risque de change. Cette recherche étend le modèle classique de surplus de Cramér-Lundberg à un cadre à deux devises, en intégrant un taux de change stochastique modélisé par un processus d'Ornstein-Uhlenbeck (OU). L'objectif est de maximiser l'utilité exponentielle espérée de la richesse terminale, un critère d'aversion au risque courant en finance d'assurance.
2. Formulation du modèle
2.1 Processus de surplus
Le processus de surplus de l'assureur $R(t)$ est modélisé en utilisant l'approximation par diffusion du modèle classique de Cramér-Lundberg : $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ où $c$ est le taux de prime, $\lambda$ est l'intensité d'arrivée des sinistres, $\mu_Y$ est la taille moyenne des sinistres, et $W_R(t)$ est un mouvement brownien standard. Cette approximation simplifie le processus de Poisson composé pour une maniabilité analytique, une technique courante dans la littérature (voir, par exemple, Grandell, 1991).
2.2 Marché financier
L'assureur peut investir dans :
- Actif sans risque domestique : $dB(t) = r_d B(t) dt$, avec un taux d'intérêt $r_d$.
- Actif risqué étranger : Modélisé par un mouvement brownien géométrique : $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.
2.3 Dynamique du taux de change
Le taux de change $Q(t)$ (unités de monnaie domestique par unité de monnaie étrangère) et sa dérive sont modélisés comme suit : $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ Ici, $\theta(t)$ est le taux de croissance moyen instantané suivant un processus OU, capturant les caractéristiques de retour à la moyenne typiques des taux de change influencés par des facteurs macroéconomiques comme les différentiels d'inflation et la parité des taux d'intérêt (Fama, 1984). $W_Q(t)$ et $W_\theta(t)$ sont des mouvements browniens corrélés.
3. Problème d'optimisation
3.1 Fonction objectif
Soit $X(t)$ la richesse totale en monnaie domestique. L'assureur contrôle le montant $\pi(t)$ investi dans l'actif risqué étranger. Le but est de maximiser l'utilité exponentielle espérée de la richesse terminale au temps $T$ : $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ où $\gamma > 0$ est le coefficient constant d'aversion absolue au risque. L'utilité exponentielle simplifie l'équation HJB car elle élimine la dépendance à la richesse dans la stratégie optimale sous certaines conditions.
3.2 Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman
Soit $V(t, x, \theta)$ la fonction valeur. L'équation HJB associée est : $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ avec la condition terminale $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$. L'opérateur différentiel $\mathcal{L}^{\pi}$ intègre la dynamique de $X(t)$, $\theta(t)$, et leurs corrélations. Résoudre cette EDP est le principal défi analytique.
4. Solution analytique
4.1 Stratégie d'investissement optimale
L'article dérive l'investissement optimal dans l'actif risqué étranger comme suit : $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{Termes d'ajustement impliquant } \theta(t)$$ Cette formule a une interprétation intuitive : le premier terme est une solution classique de type Merton (Merton, 1969), où l'investissement est proportionnel au rendement excédentaire ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) et inversement proportionnel au risque ($\gamma$ et variance totale). Les termes d'ajustement tiennent compte de la nature stochastique de la dérive du taux de change $\theta(t)$ et de sa corrélation avec les autres processus.
4.2 Fonction valeur
La fonction valeur est trouvée sous la forme : $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ où $A(t)$, $B(t)$, et $C(t)$ sont des fonctions déterministes du temps satisfaisant un système d'équations différentielles ordinaires (équations de Riccati). Cette structure est courante dans les problèmes de contrôle linéaire-quadratique avec utilité exponentielle.
5. Analyse numérique
L'article présente une analyse numérique pour illustrer le comportement de la stratégie optimale. Les observations clés incluent :
- Sensibilité à $\theta(t)$ : L'investissement optimal $\pi^*(t)$ augmente lorsque l'appréciation attendue du taux de change $\theta(t)$ est élevée, encourageant l'investissement dans l'actif étranger.
- Impact de l'aversion au risque ($\gamma$) : Une aversion au risque plus élevée réduit significativement la position dans l'actif risqué étranger, comme attendu.
- Effet de la corrélation : Une corrélation négative entre le rendement de l'actif étranger et le changement du taux de change ($\rho_{fQ}$) peut agir comme une couverture naturelle, permettant une position optimale plus importante.
6. Idée centrale & Perspective de l'analyste
Idée centrale : Cet article n'est pas simplement un autre ajustement incrémental du modèle d'investissement des assureurs. Sa contribution fondamentale est d'intégrer formellement le risque de change stochastique dans le cadre de gestion actif-passif de l'assureur. En modélisant la dérive du taux de change comme un processus OU à retour à la moyenne, les auteurs vont au-delà des modèles simplistes à paramètres constants et capturent une réalité clé pour les assureurs mondiaux : le risque de change est un facteur persistant et dynamique qui doit être activement géré, et non pas simplement une commission de conversion statique.
Flux logique : La logique est solide et suit le canevas canonique du contrôle stochastique : (1) Étendre le surplus de Cramér-Lundberg à une diffusion, (2) Superposer un marché à deux devises avec un taux de change stochastique, (3) Définir l'objectif d'utilité exponentielle, (4) Dériver l'équation HJB, (5) Exploiter la séparabilité de l'utilité exponentielle pour deviner une forme de solution, et (6) Résoudre les équations de Riccati qui en résultent. C'est un chemin bien balisé mais efficace, similaire dans l'esprit aux travaux fondateurs de Fleming et Soner (2006) sur les diffusions contrôlées.
Points forts & Faiblesses : Points forts : L'élégance du modèle est son principal atout. La combinaison de l'utilité exponentielle et de la dynamique affine pour $\theta(t)$ donne une solution traitable et sous forme fermée—une rareté dans les problèmes de contrôle stochastique. Cela fournit des statiques comparatives claires. L'incorporation explicite de la corrélation entre les rendements des actifs et des devises est également louable, car elle reconnaît que ces risques ne sont pas isolés. Faiblesses : Les hypothèses du modèle sont son talon d'Achille. L'approximation par diffusion du surplus d'assurance supprime le risque de saut (l'essence même des sinistres d'assurance), sous-estimant potentiellement le risque de queue. Le processus OU pour $\theta(t)$, bien qu'à retour à la moyenne, peut ne pas capturer les "changements de régime de parité" ou les dévaluations soudaines observées sur les marchés émergents. De plus, le modèle ignore les coûts de transaction et les contraintes comme l'interdiction de vente à découvert, qui sont critiques pour une mise en œuvre pratique. Comparé à des approches plus robustes comme l'apprentissage par renforcement profond pour l'optimisation de portefeuille (Theate & Ernst, 2021), ce modèle semble analytiquement soigné mais potentiellement fragile dans le monde réel.
Perspectives actionnables : Pour les directeurs des investissements des assureurs mondiaux, cette recherche souligne que la couverture de change ne peut pas être une réflexion après coup. La stratégie optimale est dynamique et dépend de l'état actuel de la dérive du taux de change ($\theta(t)$), qui doit être estimée en continu. Les praticiens devraient : 1. Construire des moteurs d'estimation : Développer des filtres de Kalman robustes ou des méthodes du maximum de vraisemblance pour estimer l'état latent $\theta(t)$ et ses paramètres ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) en temps réel. 2. Tester la résistance au-delà de OU : Utiliser le cadre du modèle mais remplacer le processus OU par des modèles plus complexes (par exemple, à changement de régime) dans l'analyse de scénarios pour évaluer la résilience de la stratégie. 3. Se concentrer sur la corrélation : Surveiller et modéliser activement la corrélation ($\rho_{fQ}$) entre les rendements des actifs étrangers et les mouvements de devises, car c'est un déterminant clé du ratio de couverture et de l'exposition optimale.
7. Détails techniques & Cadre mathématique
La machinerie mathématique centrale est l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) de la théorie du contrôle optimal stochastique. La dynamique de la richesse en monnaie domestique, compte tenu de l'investissement $\pi(t)$ dans l'actif étranger, est : $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ L'équation HJB pour la fonction valeur $V(t,x,\theta)$ est : $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ L'ansatz d'utilité exponentielle $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ simplifie ceci en une EDP pour $\phi(t,\theta)$, qui avec une supposition quadratique $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ donne les équations de Riccati pour $A(t), B(t), C(t)$.
8. Cadre d'analyse : un cas pratique
Scénario : Un assureur japonais non-vie (monnaie domestique : JPY) détient un surplus de ses opérations domestiques. Il envisage d'investir une partie de ses actifs dans des actions technologiques américaines (actif étranger, USD). L'objectif est de déterminer l'allocation dynamique optimale à cet actif étranger sur un horizon de 5 ans.
Application du cadre :
- Calibration des paramètres :
- Surplus (JPY) : Estimer $c$, $\lambda$, $\mu_Y$ à partir des données historiques de sinistres pour obtenir la dérive $(c-\lambda\mu_Y)$ et la volatilité $\sigma_R$.
- Actions technologiques US (USD) : Estimer le rendement attendu $\mu_f$ et la volatilité $\sigma_f$ à partir d'un indice de référence (par exemple, Nasdaq-100).
- Taux de change USD/JPY : Utiliser les données historiques pour calibrer les paramètres du processus OU pour $\theta(t)$ : moyenne à long terme $\bar{\theta}$, vitesse de retour à la moyenne $\kappa$, et volatilité $\sigma_\theta$. Estimer les corrélations ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ etc.).
- Taux sans risque : Utiliser le rendement des obligations d'État japonaises (JGB) pour $r_d$ et le rendement des bons du Trésor américain (converti dans la structure du modèle).
- Aversion au risque : Définir $\gamma$ en fonction de la solvabilité et de la tolérance au risque de l'entreprise.
- Calcul de la stratégie : Insérer les paramètres calibrés dans la formule pour $\pi^*(t)$. Cela nécessite la valeur estimée actuelle de l'état latent $\theta(t)$, qui peut être filtrée à partir des mouvements récents du taux de change.
- Résultat & Surveillance : Le modèle produit un pourcentage d'allocation cible variant dans le temps. La trésorerie de l'assureur ajusterait son ratio de couverture de change et son allocation en actions en conséquence. L'estimation de $\theta(t)$ doit être mise à jour périodiquement (par exemple, mensuellement), conduisant à un rééquilibrage dynamique.
9. Applications futures & Directions de recherche
Le modèle ouvre plusieurs voies d'extension et d'application pratique :
- Portefeuilles multi-devises : Étendre le modèle à plus d'une devise et d'un actif étranger, en gérant un réseau de corrélations inter-devises. Cela correspond aux besoins des assureurs multinationaux.
- Incorporation des risques de saut : Remplacer l'approximation par diffusion par un processus de saut-diffusion ou de Lévy plus réaliste pour le surplus d'assurance afin de mieux modéliser les sinistres catastrophiques, en utilisant les techniques de Surya (2022) sur le contrôle optimal sous processus de saut.
- Modèles à changement de régime : Modéliser $\theta(t)$ ou les paramètres de marché avec un processus à changement de régime de Markov pour capturer différents cycles de politique monétaire ou économiques, comme on le voit dans les travaux d'Elliott et al.
- Intégration du Machine Learning : Utiliser des réseaux LSTM ou des agents d'apprentissage par renforcement pour estimer l'état latent $\theta(t)$ et sa dynamique à partir de données de marché haute fréquence, dépassant l'hypothèse paramétrique OU.
- Intégration ALM : Intégrer ce modèle d'investissement dans un cadre plus large de Gestion Actif-Passif (ALM) qui optimise également la tarification des produits d'assurance et les stratégies de réassurance.
- Finance Décentralisée (DeFi) : Appliquer le modèle pour gérer la trésorerie d'un protocole d'assurance décentralisé (par exemple, Nexus Mutual) qui détient des crypto-actifs dans plusieurs devises natives de blockchain, où la volatilité des taux de change est extrême.
10. Références
- Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
- Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
- Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
- Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
- Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
- Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
- Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
- Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
- Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.