मूविंग एवरेज और स्व-मॉड्यूलेशन प्रभावों के साथ येन-डॉलर विनिमय दरों का मॉडलिंग

1. परिचय

यह शोध पत्र विदेशी मुद्रा विनिमय दरों के मॉडलिंग के लिए, विशेष रूप से येन-डॉलर बाजार पर ध्यान केंद्रित करते हुए, स्व-मॉड्यूलेशन प्रभावों वाले एक ऑटोरेग्रेसिव-प्रकार के मॉडल को प्रस्तुत करता है। यह शोध दर परिवर्तनों की संभाव्यता वितरण में "फैट टेल्स" और अस्थिरता की लंबी ऑटोकॉरिलेशन की सुप्रलेखित घटनाओं को संबोधित करता है, जो मानक सामान्य वितरण धारणाओं से विचलित होती हैं। लेखक विनिमय दर को एक मूविंग एवरेज घटक और एक असंबद्ध शोर अवशेष में विभाजित करने की एक नवीन तकनीक का परिचय देते हैं। अध्ययन CQG द्वारा प्रदान किए गए 1989 से 2002 तक येन-डॉलर विनिमय दर के टिक-बाय-टिक डेटा का उपयोग करता है।

2. सर्वोत्तम मूविंग एवरेज

विधि का मूल एक "सर्वोत्तम" मूविंग एवरेज दर $P(t)$ को परिभाषित करना है जो प्रेक्षित बाजार डेटा $P(t+1)$ से असंबद्ध शोर $\varepsilon(t)$ को प्रभावी ढंग से अलग करती है। संबंध इस प्रकार परिभाषित है:

$P(t+1) = P(t) + \varepsilon(t)$

जहाँ $P(t) = \sum_{k=1}^{K} w_P(k) \cdot P(t - k + 1)$ है। भार कारक $w_P(k)$ को अवशेष पद $\varepsilon(t)$ की ऑटोकॉरिलेशन को न्यूनतम करने के लिए समायोजित किया जाता है। अध्ययन में पाया गया कि इष्टतम भार कुछ मिनटों के विशेषता समय के साथ लगभग घातीय रूप से क्षय होते हैं। इसके अलावा, शोर का निरपेक्ष मान $|\varepsilon(t)|$ स्वयं लंबी ऑटोकॉरिलेशन प्रदर्शित करता है। इसे मॉडल करने के लिए, निरपेक्ष शोर के लघुगणक को भी एक ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया के माध्यम से विघटित किया जाता है:

$\log|\varepsilon(t+1)| = \log|\overline{\varepsilon}(t)| + b(t)$

जहाँ $\log|\overline{\varepsilon}(t)| = \sum_{k=1}^{K'} w_\varepsilon(k) \cdot \log|\varepsilon(t - k + 1)|$ है। महत्वपूर्ण रूप से, येन-डॉलर दर के लिए भार कारक $w_\varepsilon(k)$ एक पावर लॉ $w_\varepsilon(k) \propto k^{-1.1}$ के अनुसार क्षय होते हैं, जैसा कि मूल पेपर के चित्र.1 में दिखाया गया है। यह दर्शाता है कि मूल्य की तुलना में अस्थिरता को नियंत्रित करने वाली एक भिन्न, लंबी-स्मृति वाली प्रक्रिया है।

3. विदेशी मुद्रा विनिमय दर के लिए स्व-मॉड्यूलेशन प्रक्रिया

अनुभवजन्य निष्कर्षों के आधार पर, लेखक विदेशी मुद्रा विनिमय दर के लिए एक पूर्ण स्व-मॉड्यूलेशन मॉडल प्रस्तावित करते हैं:

$\begin{cases} P(t+1) = P(t) + \varepsilon(t) \\ \varepsilon(t+1) = \alpha(t) \cdot \overline{\varepsilon}(t) \cdot b(t) + f(t) \end{cases}$

यहाँ, $\alpha(t)$ एक यादृच्छिक चिह्न (+1 या -1) है, $b(t)$ प्रेक्षित वितरण से लिया गया एक असंबद्ध शोर पद है, और $f(t)$ बाहरी आघातों (जैसे, समाचार, हस्तक्षेप) का प्रतिनिधित्व करता है। मूविंग एवरेज $P(t)$ और $\overline{\varepsilon}(t)$ पिछले अनुभाग के अनुसार परिभाषित हैं। इस मॉडल का उपयोग करके, एक घातीय भार फलन $w_P(k) \propto e^{-0.35k}$ और एक गाऊसी बाहरी शोर $f(t)$ के साथ सिमुलेशन बाजार के प्रमुख स्टाइलाइज्ड तथ्यों, जैसे फैट-टेल्ड वितरण और अस्थिरता क्लस्टरिंग, का सफलतापूर्वक पुनरुत्पादन करते हैं।

4. मूल अंतर्दृष्टि और विश्लेषक का परिप्रेक्ष्य

मूल अंतर्दृष्टि: यह पेपर एक शक्तिशाली, फिर भी सुरुचिपूर्ण रूप से सरल, अंतर्दृष्टि प्रदान करता है: येन-डॉलर दर का अराजक नृत्य एक छोटी-स्मृति वाले प्रवृत्ति संकेत ("सर्वोत्तम" मूविंग एवरेज) और एक लंबी स्मृति वाली अस्थिरता प्रक्रिया में विघटित किया जा सकता है, जो व्यापारियों की हाल के मूल्य आंदोलनों के भारित प्रतिक्रिया पर सामूहिक निर्भरता से संचालित होती है। वास्तविक प्रतिभा दो अलग-अलग लौकिक पैमानों—मूल्य के लिए घातीय क्षय (~मिनट) और अस्थिरता के लिए पावर-लॉ क्षय—की पहचान में है, जो सीधे बाजार सूक्ष्मसंरचना और व्यापारी मनोविज्ञान की विभिन्न परतों को इंगित करते हैं।

तार्किक प्रवाह: तर्क प्रभावशाली है। अनुभवजन्य पहेली (फैट टेल्स, क्लस्टर्ड अस्थिरता) से शुरू करें। जटिल एजेंट-आधारित मॉडलों की ओर कूदने के बजाय, वे एक स्पष्ट प्रश्न पूछते हैं: सबसे सरल मूविंग एवरेज क्या है जो मूल्य रिटर्न को श्वेत (व्हाइटन) करता है? उत्तर बाजार के प्रभावी समय क्षितिज को प्रकट करता है। फिर, वे देखते हैं कि श्वेत किए गए शोर का परिमाण श्वेत नहीं है—इसमें स्मृति है। उस स्मृति को मॉडल करने से एक पावर-लॉ संरचना प्रकट होती है। यह दो-चरणीय विघटन तार्किक रूप से एक स्व-मॉड्यूलेटिंग सिस्टम के निष्कर्ष पर बल देता है जहां पिछली अस्थिरता भविष्य की अस्थिरता को नियंत्रित करती है, एक अवधारणा जो भौतिकी में अध्ययन किए गए अन्य जटिल प्रणालियों में मजबूत समानताएं रखती है।

शक्तियाँ और दोष: मॉडल की शक्ति इसका अनुभवजनिक आधार और मितव्ययिता है। यह अप्रेक्षणीय "एजेंट प्रकारों" पर अत्यधिक निर्भर नहीं करता है। हालाँकि, इसका प्रमुख दोष इसकी घटनात्मक प्रकृति है। यह "क्या" (पावर-लॉ भार) का सुंदर वर्णन करता है लेकिन "क्यों" को कुछ हद तक खुला छोड़ देता है। व्यापारी सामूहिक रूप से $k^{-1.1}$ भारित क्यों उत्पन्न करते हैं? क्या यह कुछ शर्तों के तहत इष्टतम है, या एक उभरती हुई, संभवतः उप-इष्टतम, झुंड व्यवहार है? इसके अलावा, बाहरी आघातों $f(t)$ को साधारण गाऊसी शोर के रूप में मानना एक स्पष्ट कमजोरी है; वास्तव में, हस्तक्षेप और समाचारों का जटिल, असममित प्रभाव होता है, जैसा कि बैंक फॉर इंटरनेशनल सेटलमेंट्स (BIS) के केंद्रीय बैंक हस्तक्षेप प्रभावशीलता पर अध्ययनों में उल्लेख किया गया है।

कार्रवाई योग्य अंतर्दृष्टि: क्वांट्स और जोखिम प्रबंधकों के लिए, यह पेपर एक स्वर्ण खान है। पहला, यह उच्च-आवृत्ति संकेत निष्कर्षण के लिए अल्पकालिक मूविंग एवरेज (मिनट-पैमाने) के उपयोग को मान्य करता है। दूसरा, और अधिक महत्वपूर्ण रूप से, यह बेहतर अस्थिरता पूर्वानुमान बनाने के लिए एक खाका प्रदान करता है। GARCH-परिवार के मॉडलों के बजाय, भविष्य के बाजार उथल-पुथल की भविष्यवाणी करने के लिए कोई अस्थिरता पर पावर-लॉ भारित $w_\varepsilon(k)$ का सीधे अनुमान लगा सकता है। ट्रेडिंग रणनीतियों का बैकटेस्ट किया जा सकता है जो अस्थिरता में लॉन्ग जाती हैं जब मॉडल का $\overline{\varepsilon}(t)$ कारक उच्च होता है। मॉडल एक मजबूत बेंचमार्क के रूप भी कार्य करता है; FX पूर्वानुमान के लिए किसी भी अधिक जटिल AI/ML मॉडल को अपनी जटिलता को उचित ठहराने के लिए कम से कम इस अपेक्षाकृत सरल, भौतिकी-प्रेरित विघटन से बेहतर प्रदर्शन करना चाहिए।

5. तकनीकी विवरण और गणितीय ढांचा

मॉडल का गणितीय मूल दोहरा विघटन है। प्राथमिक मूल्य विघटन स्वयं मूल्य स्तर पर एक ऑटोरेग्रेसिव (AR) प्रक्रिया है, जिसे प्रथम-क्रम रिटर्न को श्वेत करने के लिए डिज़ाइन किया गया है:

$P(t+1) - P(t) = \varepsilon(t)$, जहाँ $\tau > 0$ के लिए $\text{Corr}(\varepsilon(t), \varepsilon(t+\tau)) \approx 0$ है।

द्वितीयक, और अधिक नवीन, विघटन लॉग-अस्थिरता पर एक AR प्रक्रिया लागू करता है:

$\log|\varepsilon(t+1)| = \sum_{k=1}^{K'} w_\varepsilon(k) \cdot \log|\varepsilon(t - k + 1)| + b(t)$.

महत्वपूर्ण खोज कर्नेल के कार्यात्मक रूप है: $w_P(k)$ घातीय रूप से क्षय होता है (छोटी स्मृति), जबकि $w_\varepsilon(k)$ $\beta \approx 1.1$ के साथ एक पावर लॉ $k^{-\beta}$ के रूप में क्षय होता है (लंबी स्मृति)। अस्थिरता में यह पावर-लॉ ऑटोकॉरिलेशन वित्तीय बाजारों की एक पहचान है, जो कई जटिल समय श्रृंखलाओं में प्रेक्षित "हर्स्ट एक्सपोनेंट" घटनाओं के समान है। समीकरण (5) और (6) में पूर्ण मॉडल इन्हें जोड़ता है, गुणनात्मक संरचना $\alpha(t) \cdot \overline{\varepsilon}(t) \cdot b(t)$ के साथ यह सुनिश्चित करते हुए कि अस्थिरता पैमाना चिह्न-यादृच्छिक मूल्य नवाचार को नियंत्रित करता है।

6. प्रायोगिक परिणाम और चार्ट विश्लेषण

पेपर येन-डॉलर टिक डेटा (1989-2002) के आधार पर दो प्रमुख आंकड़े प्रस्तुत करता है।

चित्र.1: निरपेक्ष मान $|\varepsilon(t)|$ के भार कारक $w_\varepsilon(k)$। यह चार्ट लॉग-अस्थिरता ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया में उपयोग किए गए भारों के पावर-लॉ क्षय को दृश्य रूप से प्रदर्शित करता है। आलेखित रेखा फलन $w_\varepsilon(k) \propto k^{-1.1}$ दिखाती है, जो अनुभवजनिक रूप से अनुमानित भारों के निकट फिट बैठती है। यह अस्थिरता में लंबी-स्मृति का प्रत्यक्ष प्रमाण है, जो मूल्य में छोटी स्मृति के विपरीत है।

चित्र.2: $|\varepsilon(t)|$ और $b(t)$ की ऑटोकॉरिलेशन। यह आंकड़ा एक सत्यापन प्लॉट के रूप में कार्य करता है। यह दर्शाता है कि कच्चे निरपेक्ष रिटर्न $|\varepsilon(t)|$ में धीरे-धीरे क्षय होने वाली, सकारात्मक ऑटोकॉरिलेशन (अस्थिरता क्लस्टरिंग) होती है। इसके विपरीत, पावर-लॉ भार के साथ AR प्रक्रिया लागू करने के बाद निकाले गए अवशेष पद $b(t)$ कोई महत्वपूर्ण ऑटोकॉरिलेशन नहीं दिखाते हैं, यह पुष्टि करते हुए कि मॉडल ने अस्थिरता में स्मृति संरचना को सफलतापूर्वक कैप्चर कर लिया है।

7. विश्लेषण ढांचा: एक व्यावहारिक मामला

मामला: एक क्रिप्टोकरेंसी जोड़ी का विश्लेषण (जैसे, BTC-USD)। जबकि मूल पेपर Forex का अध्ययन करता है, यह ढांचा क्रिप्टो बाजारों के लिए अत्यधिक लागू है, जो चरम अस्थिरता के लिए जाने जाते हैं। एक विश्लेषक अध्ययन की निम्नानुसार नकल कर सकता है:

1. डेटा तैयारी: Coinbase जैसे एक्सचेंज से उच्च-आवृत्ति (जैसे, 1-मिनट) BTC-USD मूल्य डेटा प्राप्त करें।
2. चरण 1 - $w_P(k)$ खोजें: परिणामी $\varepsilon(t)$ की ऑटोकॉरिलेशन को न्यूनतम करने वाले सेट को खोजने के लिए $w_P(k)$ के लिए विभिन्न घातीय क्षय मापदंडों का पुनरावृत्त रूप से परीक्षण करें। अपेक्षित परिणाम क्रिप्टो के लिए संभवतः 5-30 मिनट की सीमा में एक विशेषता समय है।
3. चरण 2 - $|\varepsilon(t)|$ का विश्लेषण करें: $\log|\varepsilon(t)|$ के लिए एक AR प्रक्रिया फिट करें। भार $w_\varepsilon(k)$ का अनुमान लगाएं। मुख्य प्रश्न है: क्या वे एक पावर लॉ $k^{-\beta}$ का अनुसरण करते हैं? घातांक $\beta$ 1.1 से भिन्न हो सकता है, संभावित रूप से क्रिप्टो में और अधिक लगातार अस्थिरता स्मृति का संकेत देता है।
4. अंतर्दृष्टि: यदि एक पावर लॉ मान्य है, तो यह सुझाव देता है कि क्रिप्टो व्यापारी, Forex व्यापारियों की तरह, पिछली अस्थिरता पर लंबी-स्मृति प्रतिक्रिया वाली रणनीतियों का उपयोग करते हैं। इस संरचनात्मक समानता का क्रिप्टो में जोखिम मॉडलिंग और व्युत्पन्न मूल्य निर्धारण पर गहरा प्रभाव है, जिसे अक्सर एक पूरी तरह से नए परिसंपत्ति वर्ग के रूप में माना जाता है।

8. भविष्य के अनुप्रयोग और शोध दिशाएँ

मॉडल कई आशाजनक राहें खोलता है:

• क्रॉस-एसेट सत्यापन: यह देखने के लिए कि क्या $\beta \approx 1.1$ घातांक एक सार्वभौमिक स्थिरांक है या बाजार-विशिष्ट है, इक्विटी, कमोडिटी और बॉन्ड पर समान पद्धति लागू करना।
• मशीन लर्निंग के साथ एकीकरण: गहन शिक्षण मूल्य पूर्वानुमान मॉडल के लिए साफ़, अधिक स्थिर विशेषताओं के रूप में विघटित घटकों $P(t)$ और $\overline{\varepsilon}(t)$ का उपयोग करना, संभावित रूप से कच्चे मूल्य डेटा पर प्रदर्शन में सुधार करना।
• एजेंट-आधारित मॉडल (ABM) आधार: अनुभवजनिक भार फलन $w_P(k)$ और $w_\varepsilon(k)$ ABM के लिए महत्वपूर्ण अंशांकन लक्ष्य प्रदान करते हैं। शोधकर्ता एजेंट नियम डिजाइन कर सकते हैं जो सामूहिक रूप से इन सटीक प्रतिक्रिया कर्नेल उत्पन्न करते हैं।
• नीति और विनियमन: व्यापारी प्रतिक्रिया के विशेषता समय पैमानों (मिनट) को समझने से अधिक प्रभावी सर्किट ब्रेकर डिजाइन करने या उच्च-आवृत्ति व्यापार (HFT) के प्रभाव का आकलन करने में मदद मिल सकती है। मॉडल प्रतिक्रिया संरचना पर नियामक परिवर्तनों के बाजार प्रभाव का अनुकरण कर सकता है।
• बाहरी आघातों का पूर्वानुमान: एक प्रमुख अगला कदम $f(t)$ को साधारण शोर के रूप में मॉडल करने से आगे बढ़ना है। भविष्य का कार्य दुर्लभ लेकिन प्रभावशाली घटनाओं के लिए एक हाइब्रिड भौतिकी-AI मॉडल बनाते हुए, समाचार फीड पर प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण (NLP) का उपयोग करके $f(t)$ को पैरामीटराइज़ कर सकता है।

9. संदर्भ

1. Mantegna, R. N., & Stanley, H. E. (2000). An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. Cambridge University Press. (वित्त में फैट टेल्स और स्केलिंग के संदर्भ में)।
2. Mizuno, T., Takayasu, M., & Takayasu, H. (2003). Modeling a foreign exchange rate using moving average of Yen-Dollar market data. (विश्लेषित पेपर)।
3. Bank for International Settlements (BIS). (2019). Triennial Central Bank Survey of foreign exchange and OTC derivatives markets. (बाजार संरचना और हस्तक्षेप पर डेटा के लिए)।
4. Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223-236. (वित्तीय स्टाइलाइज्ड तथ्यों की एक व्यापक सूची के लिए)।
5. Lux, T., & Marchesi, M. (2000). Volatility clustering in financial markets: a microsimulation of interacting agents. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 3(04), 675-702. (अस्थिरता क्लस्टरिंग पर एजेंट-आधारित मॉडलिंग परिप्रेक्ष्य के लिए)।