Ricostruzione dei Processi delle Criptovalute tramite Catene di Markov

Indice dei Contenuti

1 Introduzione

Dall'introduzione di Bitcoin da parte di Nakamoto (2008), le criptovalute hanno ricevuto notevole attenzione da parte delle autorità monetarie, delle aziende e degli investitori. Il crescente interesse deriva dal loro potenziale nel ridurre la gestione del rischio, migliorare i portafogli e analizzare il sentiment dei consumatori. Questa ricerca applica le metodologie delle catene di Markov per ricostruire e prevedere i processi di mercato delle criptovalute, esaminando in particolare Bitcoin (BTC), Ethereum (ETH) e Ripple (XRP).

Studi precedenti hanno identificato che le criptovalute presentano fatti stilizzati simili alle attività finanziarie tradizionali, incluse distribuzioni a code grasse, clustering della volatilità e correlazione positiva tra volume e volatilità. Bariviera (2017) ha dimostrato le proprietà di memoria lunga di Bitcoin, mentre Cheah et al. (2018) hanno identificato componenti di memoria lunga nelle principali criptovalute.

2 Metodologia

2.1 Framework delle Catene di Markov

Lo studio utilizza catene di Markov di ordine da uno a otto per modellare le dinamiche dei prezzi delle criptovalute. L'approccio utilizza dati di rendimento intraday per costruire matrici di probabilità di transizione che catturano la natura stocastica delle fluttuazioni di mercato. Ogni ordine della catena di Markov rappresenta diversi livelli di dipendenza storica nei movimenti dei prezzi.

2.2 Raccolta ed Elaborazione dei Dati

I dati dei prezzi intraday per Bitcoin, Ethereum e Ripple sono stati raccolti dai principali exchange di criptovalute. I rendimenti sono stati calcolati come differenze logaritmiche e sono stati definiti stati discreti basati su soglie di rendimento per facilitare la modellazione delle catene di Markov.

3 Implementazione Tecnica

3.1 Formalizzazione Matematica

La catena di Markov di ordine n è definita dalla probabilità condizionata:

$P(X_t = x_t | X_{t-1} = x_{t-1}, X_{t-2} = x_{t-2}, \ldots, X_{t-n} = x_{t-n})$

dove $X_t$ rappresenta lo stato del rendimento della criptovaluta al tempo t. Le probabilità di transizione sono stimate empiricamente dai dati storici utilizzando la stima di massima verosimiglianza:

$P_{ij} = \frac{N_{ij}}{\sum_k N_{ik}}$

dove $N_{ij}$ conta le transizioni dallo stato i allo stato j.

3.2 Implementazione del Codice

import numpy as np
import pandas as pd

class MarkovChainForecaster:
    def __init__(self, order=1):
        self.order = order
        self.transition_matrix = None
        self.states = None
    
    def fit(self, returns, n_states=3):
        # Discretizzazione dei rendimenti in stati
        quantiles = pd.qcut(returns, n_states, labels=False)
        self.states = quantiles.unique()
        
        # Costruzione della matrice di transizione
        n = len(self.states)**self.order
        self.transition_matrix = np.zeros((n, len(self.states)))
        
        for i in range(self.order, len(quantiles)):
            history = tuple(quantiles[i-self.order:i])
            current = quantiles[i]
            hist_idx = self._state_to_index(history)
            self.transition_matrix[hist_idx, current] += 1
        
        # Normalizzazione delle righe
        row_sums = self.transition_matrix.sum(axis=1)
        self.transition_matrix = self.transition_matrix / row_sums[:, np.newaxis]
    
    def forecast(self, current_state):
        idx = self._state_to_index(current_state)
        return np.random.choice(
            self.states, 
            p=self.transition_matrix[idx]
        )

4 Risultati Sperimentali

4.1 Prestazioni di Previsione

I risultati empirici dimostrano che le previsioni che utilizzano le probabilità delle catene di Markov superano significativamente le scelte casuali. Le catene di ordine superiore (ordini 4-8) hanno mostrato una precisione migliorata nel catturare modelli di mercato complessi, in particolare per Bitcoin che ha mostrato una struttura più prevedibile rispetto a Ethereum e Ripple.

4.2 Analisi della Memoria Lunga

Lo studio ha investigato le componenti di memoria lunga utilizzando calcoli dell'esponente di Hurst. I risultati indicano che mentre Bitcoin ha mostrato un comportamento di cammino casuale (esponente di Hurst ≈ 0,5) dopo il 2014, Ethereum e Ripple hanno mostrato un comportamento persistente con esponenti di Hurst significativamente maggiori di 0,5, suggerendo la presenza di effetti di memoria lunga.

5 Analisi Originale

La ricerca di Araújo e Barbosa apporta contributi significativi all'analisi del mercato delle criptovalute applicando sistematicamente le metodologie delle catene di Markov su più ordini e criptovalute. Il loro approccio dimostra che le catene di Markov di ordine superiore (fino all'ordine 8) possono catturare efficacemente dipendenze complesse nei rendimenti delle criptovalute, sfidando l'ipotesi del mercato efficiente che postula che i prezzi delle attività seguano cammini casuali.

Questo lavoro si allinea con i risultati dei mercati finanziari tradizionali dove i modelli di Markov hanno mostrato successo nel catturare la microstruttura del mercato. Similmente al paper CycleGAN (Zhu et al., 2017) che ha dimostrato che la traduzione immagine-immagine non accoppiata può apprendere mappature complesse senza accoppiamento esplicito, questa ricerca mostra che le catene di Markov possono apprendere dipendenze temporali complesse nelle serie temporali finanziarie senza assunzioni strutturali esplicite.

L'identificazione di varie componenti di memoria lunga tra le criptovalute ha importanti implicazioni per la gestione del rischio e la costruzione del portafoglio. Come notato negli studi della Banca dei Regolamenti Internazionali (BRI, 2021), le criptovalute presentano profili di rischio eterogenei che richiedono approcci di modellazione sofisticati. Il framework Markoviano fornisce uno strumento flessibile per catturare queste differenze.

Rispetto ai tradizionali modelli GARCH comunemente utilizzati nell'econometria finanziaria, le catene di Markov offrono diversi vantaggi: richiedono meno assunzioni distributive, possono catturare dipendenze non lineari e forniscono interpretazioni probabilistiche intuitive. Tuttavia, possono avere difficoltà con eventi estremi non rappresentati nei dati storici, similmente alle limitazioni notate nelle applicazioni di machine learning alla finanza (Journal of Financial Economics, 2020).

La ricerca contribuisce alla crescente letteratura sull'efficienza del mercato delle criptovalute. Mentre le attività tradizionali spesso mostrano una prevedibilità decrescente con orizzonti temporali crescenti, i risultati suggeriscono che le criptovalute possono mantenere componenti prevedibili anche a ordini di Markov più elevati, possibilmente a causa dell'immaturità del mercato o di fattori comportamentali che influenzano le decisioni dei trader.

6 Applicazioni Future

Il framework delle catene di Markov sviluppato in questa ricerca ha diverse applicazioni promettenti:

• Trading Algoritmico: Integrazione con sistemi di trading ad alta frequenza per i mercati delle criptovalute
• Gestione del Rischio: Calcoli migliorati del Value at Risk (VaR) utilizzando le probabilità di transizione di stato
• Monitoraggio Regolatorio: Rilevamento di pattern di manipolazione del mercato attraverso transizioni di stato anomale
• Ottimizzazione del Portafoglio: Asset allocation dinamica basata sugli stati di mercato previsti
• Analisi Cross-Asset: Estensione per modellare le relazioni tra criptovalute e attività tradizionali

Le direzioni di ricerca future includono l'incorporazione di architetture di deep learning con modelli di Markov, lo sviluppo di catene di Markov multivariate per le interazioni di più criptovalute e l'applicazione del framework ai protocolli di finanza decentralizzata (DeFi) e ai token non fungibili (NFT).

7 Riferimenti

1. Nakamoto, S. (2008). Bitcoin: A peer-to-peer electronic cash system
2. Dyhrberg, A. H. (2016). Hedging capabilities of bitcoin. Financial Research Letters, 16, 139-144
3. Bariviera, A. F. (2017). The inefficiency of Bitcoin revisited: A dynamic approach. Economics Letters, 161, 1-4
4. Cheah, E. T., et al. (2018). Long memory interdependency and inefficiency in Bitcoin markets. Economics Letters, 167, 18-25
5. Urquhart, A. (2017). The inefficiency of Bitcoin. Economics Letters, 148, 80-82
6. Zhu, J. Y., et al. (2017). Unpaired image-to-image translation using cycle-consistent adversarial networks. ICCV
7. Bank for International Settlements (2021). Annual Economic Report
8. Journal of Financial Economics (2020). Machine Learning in Finance: Foundations and Recent Developments