マルコフ連鎖による暗号通貨プロセスの再構築

目次

1 序論

Nakamoto（2008）によるビットコインの登場以来、暗号通貨は金融当局、企業、投資家から大きな注目を集めてきた。この関心の高まりは、リスク管理の低減、ポートフォリオの改善、消費者センチメント分析への可能性に起因している。本研究では、マルコフ連鎖手法を適用して暗号通貨市場プロセスを再構築および予測し、特にビットコイン（BTC）、イーサリアム（ETH）、リップル（XRP）を検証する。

従来の研究では、暗号通貨がファットテール分布、ボラティリティ・クラスタリング、出来高とボラティリティの正の相関など、伝統的な金融資産と同様の様式化された事実を示すことが確認されている。Bariviera（2017）はビットコインの長期記憶特性を実証し、Cheah et al.（2018）は主要な暗号通貨における長期記憶成分を同定した。

2 方法論

2.1 マルコフ連鎖フレームワーク

本研究では、1次から8次までのマルコフ連鎖を用いて暗号通貨価格ダイナミクスをモデル化する。このアプローチでは、日中リターンデータを使用して市場変動の確率的性質を捉える遷移確率行列を構築する。各マルコフ連鎖次数は、価格変動における異なるレベルの履歴依存性を表す。

2.2 データ収集と処理

ビットコイン、イーサリアム、リップルの日中価格データは、主要な暗号通貨取引所から収集した。リターンは対数差分として計算され、マルコフ連鎖モデリングを容易にするためにリターンの閾値に基づいて離散状態が定義された。

3 技術的実装

3.1 数学的定式化

n次マルコフ連鎖は以下の条件付き確率によって定義される：

$P(X_t = x_t | X_{t-1} = x_{t-1}, X_{t-2} = x_{t-2}, \ldots, X_{t-n} = x_{t-n})$

ここで、$X_t$は時刻tにおける暗号通貨リターンの状態を表す。遷移確率は、最尤推定を用いて履歴データから経験的に推定される：

$P_{ij} = \frac{N_{ij}}{\sum_k N_{ik}}$

ここで、$N_{ij}$は状態iから状態jへの遷移回数を数える。

3.2 コード実装

import numpy as np
import pandas as pd

class MarkovChainForecaster:
    def __init__(self, order=1):
        self.order = order
        self.transition_matrix = None
        self.states = None
    
    def fit(self, returns, n_states=3):
        # リターンを状態に離散化
        quantiles = pd.qcut(returns, n_states, labels=False)
        self.states = quantiles.unique()
        
        # 遷移行列を構築
        n = len(self.states)**self.order
        self.transition_matrix = np.zeros((n, len(self.states)))
        
        for i in range(self.order, len(quantiles)):
            history = tuple(quantiles[i-self.order:i])
            current = quantiles[i]
            hist_idx = self._state_to_index(history)
            self.transition_matrix[hist_idx, current] += 1
        
        # 行の正規化
        row_sums = self.transition_matrix.sum(axis=1)
        self.transition_matrix = self.transition_matrix / row_sums[:, np.newaxis]
    
    def forecast(self, current_state):
        idx = self._state_to_index(current_state)
        return np.random.choice(
            self.states, 
            p=self.transition_matrix[idx]
        )

4 実験結果

4.1 予測性能

実証結果は、マルコフ連鎖確率を用いた予測がランダム選択を大幅に上回ることを示している。高次連鎖（4-8次）は、特にビットコインにおいて、イーサリアムやリップルと比較してより予測可能な構造を示し、複雑な市場パターンを捉える精度が向上した。

4.2 長期記憶分析

本研究では、ハースト指数計算を用いて長期記憶成分を調査した。結果は、ビットコインが2014年以降ランダムウォーク行動（ハースト指数≈0.5）を示したのに対し、イーサリアムとリップルはハースト指数が0.5を有意に上回る持続的行動を示し、長期記憶効果の存在を示唆している。

5 独自分析

AraújoとBarbosaによる本研究は、複数の次数と暗号通貨にわたってマルコフ連鎖手法を体系的に適用することにより、暗号通貨市場分析に重要な貢献をしている。彼らのアプローチは、高次マルコフ連鎖（8次まで）が暗号通貨リターンの複雑な依存関係を効果的に捉えることができることを実証し、資産価格がランダムウォークに従うとする効率的市場仮説に挑戦している。

この研究は、マルコフモデルが市場マイクロストラクチャーを捉えることに成功してきた伝統的な金融市場の知見と一致する。CycleGAN論文（Zhu et al., 2017）が、明示的なペアリングなしに複雑なマッピングを学習できる非ペア画像変換を示したのと同様に、この研究はマルコフ連鎖が明示的な構造的仮定なしに金融時系列の複雑な時間的依存関係を学習できることを示している。

暗号通貨間で異なる長期記憶成分の同定は、リスク管理とポートフォリオ構築に重要な示唆を持つ。国際決済銀行（BIS, 2021）の研究で指摘されているように、暗号通貨は高度なモデリングアプローチを必要とする異質なリスクプロファイルを示す。マルコフフレームワークはこれらの差異を捉えるための柔軟なツールを提供する。

金融計量経済学で一般的に使用される伝統的なGARCHモデルと比較して、マルコフ連鎖にはいくつかの利点がある：分布の仮定が少なくて済み、非線形依存関係を捉えることができ、直感的な確率的解釈を提供する。しかし、履歴データに表現されていない極端な事象には対処が困難な場合があり、これは金融への機械学習応用で指摘された制限（Journal of Financial Economics, 2020）と類似している。

この研究は、暗号通貨市場効率性に関する増大する文献に貢献している。伝統的資産では時間経過とともに予測可能性が減少することが多いが、本研究の結果は、暗号通貨が高次マルコフ次数においても予測可能な成分を維持する可能性を示唆しており、これは市場の未成熟性やトレーダーの意思決定に影響を与える行動要因によるものかもしれない。

6 将来の応用

本研究で開発されたマルコフ連鎖フレームワークには、以下のような有望な応用がある：

• アルゴリズム取引：暗号通貨市場向け高頻度取引システムとの統合
• リスク管理：状態遷移確率を用いた改良されたバリュー・アット・リスク（VaR）計算
• 規制監視：異常な状態遷移を通じた市場操作パターンの検出
• ポートフォリオ最適化：予測された市場状態に基づく動的資産配分
• クロスアセット分析：暗号通貨と伝統的資産間の関係をモデル化する拡張

将来の研究方向には、マルコフモデルと深層学習アーキテクチャの統合、複数暗号通貨相互作用のための多変量マルコフ連鎖の開発、分散型金融（DeFi）プロトコルおよび非代替性トークン（NFT）へのフレームワークの適用が含まれる。

7 参考文献

1. Nakamoto, S. (2008). Bitcoin: A peer-to-peer electronic cash system
2. Dyhrberg, A. H. (2016). Hedging capabilities of bitcoin. Financial Research Letters, 16, 139-144
3. Bariviera, A. F. (2017). The inefficiency of Bitcoin revisited: A dynamic approach. Economics Letters, 161, 1-4
4. Cheah, E. T., et al. (2018). Long memory interdependency and inefficiency in Bitcoin markets. Economics Letters, 167, 18-25
5. Urquhart, A. (2017). The inefficiency of Bitcoin. Economics Letters, 148, 80-82
6. Zhu, J. Y., et al. (2017). Unpaired image-to-image translation using cycle-consistent adversarial networks. ICCV
7. Bank for International Settlements (2021). Annual Economic Report
8. Journal of Financial Economics (2020). Machine Learning in Finance: Foundations and Recent Developments