이동평균과 자기 변조 효과를 활용한 엔-달러 환율 모델링

1. 서론

본 논문은 특히 엔-달러 시장에 초점을 맞추어, 자기 변조 효과를 포함한 자기회귀형 모델을 제시하여 외환 환율을 모델링한다. 이 연구는 환율 변동의 확률 분포에서 잘 알려진 "팻 테일" 현상과 변동성의 긴 자기상관 현상을 다루며, 이는 표준 정규 분포 가정에서 벗어난다. 저자들은 환율을 이동평균 구성요소와 상관관계가 없는 잡음 잔차로 분리하는 새로운 기법을 소개한다. 본 연구는 CQG에서 제공한 1989년부터 2002년까지의 엔-달러 환율 틱 바이 틱 데이터를 활용한다.

2. 최적 이동평균

본 방법론의 핵심은 관찰된 시장 데이터 $P(t+1)$에서 상관관계가 없는 잡음 $\varepsilon(t)$을 효과적으로 분리하는 "최적" 이동평균 환율 $P(t)$를 정의하는 데 있다. 이 관계는 다음과 같이 정의된다:

$P(t+1) = P(t) + \varepsilon(t)$

여기서 $P(t) = \sum_{k=1}^{K} w_P(k) \cdot P(t - k + 1)$이다. 가중치 계수 $w_P(k)$는 잔차항 $\varepsilon(t)$의 자기상관을 최소화하도록 조정된다. 연구 결과, 최적 가중치는 수 분의 특성 시간을 가진 지수 함수에 가깝게 감쇠하는 것으로 나타났다. 더 나아가, 잡음의 절대값 $|\varepsilon(t)|$ 자체도 긴 자기상관을 보인다. 이를 모델링하기 위해, 절대 잡음의 로그값 또한 자기회귀 과정을 통해 분해된다:

$\log|\varepsilon(t+1)| = \log|\overline{\varepsilon}(t)| + b(t)$

여기서 $\log|\overline{\varepsilon}(t)| = \sum_{k=1}^{K'} w_\varepsilon(k) \cdot \log|\varepsilon(t - k + 1)|$이다. 결정적으로, 엔-달러 환율에 대한 가중치 계수 $w_\varepsilon(k)$는 원 논문의 그림 1에서 보여주듯이 멱법칙 $w_\varepsilon(k) \propto k^{-1.1}$에 따라 감쇠한다. 이는 가격 자체와 비교하여 변동성을 지배하는 다른, 더 긴 기억 과정이 있음을 나타낸다.

3. 외환 환율의 자기 변조 과정

경험적 발견에 기초하여, 저자들은 외환 환율에 대한 완전한 자기 변조 모델을 제안한다:

$\begin{cases} P(t+1) = P(t) + \varepsilon(t) \\ \varepsilon(t+1) = \alpha(t) \cdot \overline{\varepsilon}(t) \cdot b(t) + f(t) \end{cases}$

여기서, $\alpha(t)$는 무작위 부호(+1 또는 -1)이고, $b(t)$는 관찰된 분포에서 추출된 상관관계 없는 잡음항이며, $f(t)$는 외부 충격(예: 뉴스, 개입)을 나타낸다. 이동평균 $P(t)$와 $\overline{\varepsilon}(t)$는 이전 절에서 정의된 바와 같다. 지수 가중치 함수 $w_P(k) \propto e^{-0.35k}$와 가우시안 외부 잡음 $f(t)$를 사용한 이 모델의 시뮬레이션은 팻 테일 분포와 변동성 군집화와 같은 시장의 주요 특징적 사실들을 성공적으로 재현한다.

4. 핵심 통찰 및 분석가 관점

핵심 통찰: 이 논문은 강력하면서도 우아하게 단순한 통찰을 제공한다: 엔-달러 환율의 혼란스러운 움직임은 단기 기억 추세 신호("최적" 이동평균)와 거래자들의 최근 가격 변동에 대한 가중 피드백 의존성에 의해 주도되는 장기 기억 변동성 과정으로 분해될 수 있다. 진정한 천재성은 두 가지 뚜렷한 시간 척도—가격에 대한 지수 감쇠(~분 단위)와 변동성에 대한 멱법칙 감쇠—를 식별하는 데 있으며, 이는 시장 미시구조와 거래자 심리의 서로 다른 층위를 직접적으로 시사한다.

논리적 흐름: 논증은 설득력이 있다. 경험적 퍼즐(팻 테일, 군집화된 변동성)로 시작한다. 복잡한 에이전트 기반 모델로 바로 뛰어들지 않고, 더 깔끔한 질문을 던진다: 가격 수익률을 백색화하는 가장 단순한 이동평균은 무엇인가? 그 답은 시장의 효과적인 시간 지평을 드러낸다. 그런 다음, 그들은 백색화된 잡음의 크기가 백색 잡음이 아니라는 것—기억을 가지고 있다는 것—을 알아차린다. 그 기억을 모델링하면 멱법칙 구조가 드러난다. 이 두 단계 분해는 과거 변동성이 미래 변동성을 변조하는 자기 변조 시스템이라는 결론을 논리적으로 강제하며, 이 개념은 물리학에서 연구되는 다른 복잡 시스템과 강한 유사점을 가진다.

강점과 결점: 이 모델의 강점은 경험적 토대와 간결함에 있다. 관찰 불가능한 "에이전트 유형"에 지나치게 의존하지 않는다. 그러나 주요 결점은 현상학적 성격에 있다. "무엇"(멱법칙 가중치)을 아름답게 기술하지만 "왜"는 다소 열려 있다. 왜 거래자들은 집단적으로 $k^{-1.1}$ 가중치를 생성하는가? 특정 조건 하에서 최적인 것인가, 아니면 창발적이고 아마도 차선의 군중 행동인가? 더 나아가, 외부 충격 $f(t)$를 단순한 가우시안 잡음으로 취급하는 것은 명백한 약점이다; 실제로, 국제결제은행(BIS)의 중앙은행 개입 효과에 관한 연구에서 언급된 바와 같이, 개입과 뉴스는 복잡하고 비대칭적인 영향을 미친다.

실행 가능한 통찰: 퀀트와 리스크 관리자에게 이 논문은 금광이다. 첫째, 고주파 신호 추출을 위해 매우 단기 이동평균(분 단위)의 사용을 검증한다. 둘째, 그리고 더 중요하게는, 더 나은 변동성 예측을 구축하기 위한 청사진을 제공한다. GARCH 계열 모델 대신, 변동성에 대한 멱법칙 가중치 $w_\varepsilon(k)$를 직접 추정하여 미래 시장 변동성을 예측할 수 있다. 모델의 $\overline{\varepsilon}(t)$ 계수가 높을 때 변동성에 롱 포지션을 취하는 거래 전략을 백테스트할 수 있다. 이 모델은 또한 강력한 벤치마크 역할을 한다; 외환 예측을 위한 더 복잡한 AI/ML 모델은 그 복잡성을 정당화하기 위해 적어도 이 비교적 단순하고 물리학에서 영감을 받은 분해를 능가해야 한다.

5. 기술적 세부사항 및 수학적 프레임워크

모델의 수학적 핵심은 이중 분해이다. 주요 가격 분해는 1차 수익률을 백색화하도록 설계된 가격 수준 자체에 대한 자기회귀(AR) 과정이다:

$P(t+1) - P(t) = \varepsilon(t)$, 여기서 $\tau > 0$에 대해 $\text{Corr}(\varepsilon(t), \varepsilon(t+\tau)) \approx 0$.

2차적이고 더 혁신적인 분해는 로그 변동성에 AR 과정을 적용한다:

$\log|\varepsilon(t+1)| = \sum_{k=1}^{K'} w_\varepsilon(k) \cdot \log|\varepsilon(t - k + 1)| + b(t)$.

결정적인 발견은 커널의 함수 형태이다: $w_P(k)$는 지수적으로 감쇠하고(단기 기억), $w_\varepsilon(k)$는 $\beta \approx 1.1$인 멱법칙 $k^{-\beta}$로 감쇠한다(장기 기억). 변동성의 이 멱법칙 자기상관은 많은 복잡한 시계열에서 관찰되는 "허스트 지수" 현상과 유사하게, 금융 시장의 특징이다. 방정식 (5)와 (6)의 완전한 모델은 이를 결합하며, 곱셈 구조 $\alpha(t) \cdot \overline{\varepsilon}(t) \cdot b(t)$는 변동성 척도가 부호가 무작위화된 가격 혁신을 변조하도록 보장한다.

6. 실험 결과 및 차트 분석

본 논문은 엔-달러 틱 데이터(1989-2002)를 기반으로 한 두 가지 핵심 그림을 제시한다.

그림 1: 절대값 $|\varepsilon(t)|$의 가중치 계수 $w_\varepsilon(k)$. 이 차트는 로그 변동성 자기회귀 과정에 사용된 가중치의 멱법칙 감쇠를 시각적으로 보여준다. 그려진 선은 함수 $w_\varepsilon(k) \propto k^{-1.1}$를 보여주며, 이는 경험적으로 추정된 가중치에 밀접하게 부합한다. 이는 가격의 단기 기억과 대조적으로 변동성의 장기 기억에 대한 직접적인 증거이다.

그림 2: $|\varepsilon(t)|$와 $b(t)$의 자기상관. 이 그림은 검증 플롯 역할을 한다. 원시 절대 수익률 $|\varepsilon(t)|$는 천천히 감쇠하는 양의 자기상관(변동성 군집화)을 가짐을 보여준다. 대조적으로, 멱법칙 가중치를 사용한 AR 과정을 적용한 후 추출된 잔차항 $b(t)$는 유의미한 자기상관을 보이지 않으며, 이는 모델이 변동성의 기억 구조를 성공적으로 포착했음을 확인시켜 준다.

7. 분석 프레임워크: 실제 사례

사례: 암호화폐 페어 분석 (예: BTC-USD). 원 논문은 외환을 연구하지만, 이 프레임워크는 극심한 변동성으로 알려진 암호화폐 시장에 매우 적용 가능하다. 분석가는 다음과 같이 연구를 재현할 수 있다:

데이터 준비: Coinbase와 같은 거래소에서 고주파(예: 1분) BTC-USD 가격 데이터를 획득한다.
단계 1 - $w_P(k)$ 찾기: $w_P(k)$에 대해 서로 다른 지수 감쇠 매개변수를 반복적으로 테스트하여 결과적인 $\varepsilon(t)$의 자기상관을 최소화하는 집합을 찾는다. 예상 결과는 암호화폐의 경우 5-30분 범위의 특성 시간일 가능성이 높다.
단계 2 - $|\varepsilon(t)|$ 분석: $\log|\varepsilon(t)|$에 AR 과정을 적합시킨다. 가중치 $w_\varepsilon(k)$를 추정한다. 핵심 질문은: 이들이 멱법칙 $k^{-\beta}$를 따르는가? 지수 $\beta$는 1.1과 다를 수 있으며, 이는 암호화폐에서 더 지속적인 변동성 기억을 나타낼 수 있다.
통찰: 멱법칙이 성립한다면, 이는 암호화폐 거래자들이 외환 거래자들처럼 과거 변동성에 대한 장기 기억 피드백을 가진 전략을 사용함을 시사한다. 이러한 구조적 유사성은 암호화폐를 완전히 새로운 자산군으로 취급하는 경우가 많은 암호화폐의 리스크 모델링과 파생상품 가격 결정에 깊은 함의를 가진다.

8. 향후 응용 및 연구 방향

이 모델은 몇 가지 유망한 방향을 열어준다:

크로스 자산 검증: 동일한 방법론을 주식, 상품, 채권에 적용하여 $\beta \approx 1.1$ 지수가 보편적인 상수인지 시장 특이적인지 확인.
머신러닝과의 통합: 분해된 구성요소 $P(t)$와 $\overline{\varepsilon}(t)$를 딥러닝 가격 예측 모델을 위한 더 깨끗하고 정상적인 특징으로 사용하여 원시 가격 데이터 대비 성능 향상 가능.
에이전트 기반 모델(ABM) 기초: 경험적 가중치 함수 $w_P(k)$와 $w_\varepsilon(k)$는 ABM에 대한 중요한 보정 목표를 제공한다. 연구자들은 집단적으로 이러한 정확한 피드백 커널을 생성하는 에이전트 규칙을 설계할 수 있다.
정책 및 규제: 거래자 반응의 특성 시간 척도(분 단위)를 이해하는 것은 더 효과적인 서킷 브레이커 설계나 고빈도 거래(HFT)의 영향 평가에 도움을 줄 수 있다. 이 모델은 피드백 구조에 대한 규제 변화의 시장 영향을 시뮬레이션할 수 있다.
외부 충격 예측: 주요한 다음 단계는 $f(t)$를 단순한 잡음으로 모델링하는 것을 넘어서는 것이다. 향후 연구는 뉴스 피드에 자연어 처리(NLP)를 사용하여 $f(t)$를 매개변수화하여, 드물지만 영향력 있는 사건에 대한 하이브리드 물리학-AI 모델을 생성할 수 있다.

9. 참고문헌

Mantegna, R. N., & Stanley, H. E. (2000). An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. Cambridge University Press. (금융의 팻 테일과 스케일링에 대한 맥락).
Mizuno, T., Takayasu, M., & Takayasu, H. (2003). Modeling a foreign exchange rate using moving average of Yen-Dollar market data. (분석된 논문).
Bank for International Settlements (BIS). (2019). Triennial Central Bank Survey of foreign exchange and OTC derivatives markets. (시장 구조 및 개입에 대한 데이터).
Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223-236. (금융 특징적 사실에 대한 포괄적 목록).
Lux, T., & Marchesi, M. (2000). Volatility clustering in financial markets: a microsimulation of interacting agents. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 3(04), 675-702. (변동성 군집화에 대한 에이전트 기반 모델링 관점).

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