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두 통화 시장에서 보험사의 최적 투자: 확률적 제어 분석

확률적 환율 하에서 국내 및 해외 시장에서 보험사의 최적 투자 전략을 HJB 방정식과 지수 효용 함수를 사용하여 분석합니다.
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목차

1. 서론

본 논문은 보험수리학 및 금융수학의 중요한 공백을 다룹니다: 다중 통화 시장에서 운영되는 보험사의 최적 투자 전략. Browne (1995)와 Schmidli (2002)의 모형과 같은 기존 모형들은 주로 단일 통화 환경에 초점을 맞춥니다. 그러나 점점 더 글로벌화되는 경제에서 보험사는 서로 다른 통화로 표시된 자산과 부채를 관리해야 하며, 이는 외환 위험에 노출됩니다. 본 연구는 고전적인 Cramér-Lundberg 잉여금 모형을 두 통화 환경으로 확장하며, Ornstein-Uhlenbeck (OU) 과정으로 모델링된 확률적 환율을 통합합니다. 목표는 종기 부채의 기대 지수 효용을 극대화하는 것으로, 보험 금융에서 흔히 사용되는 위험 회피적 기준입니다.

2. 모형 구축

2.1 잉여금 과정

보험사의 잉여금 과정 $R(t)$는 고전적인 Cramér-Lundberg 모형의 확산 근사를 사용하여 모델링됩니다: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ 여기서 $c$는 보험료율, $\lambda$는 보험금 청구 도착 강도, $\mu_Y$는 평균 보험금 규모, $W_R(t)$는 표준 브라운 운동입니다. 이 근사는 해석적 용이성을 위해 복합 포아송 과정을 단순화한 것으로, 문헌에서 흔히 사용되는 기법입니다 (예: Grandell, 1991 참조).

2.2 금융 시장

보험사는 다음에 투자할 수 있습니다:

  1. 국내 무위험 자산: $dB(t) = r_d B(t) dt$, 이자율 $r_d$.
  2. 해외 위험 자산: 기하 브라운 운동으로 모델링: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.
핵심 혁신은 해외 자산에 대한 투자를 허용하는 것으로, 이는 환율 모델링을 필요로 합니다.

2.3 환율 동역학

환율 $Q(t)$ (단위 외국 통화당 국내 통화 단위)와 그 드리프트는 다음과 같이 모델링됩니다: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ 여기서 $\theta(t)$는 OU 과정을 따르는 순간 평균 성장률로, 인플레이션 차이 및 이자율 평가와 같은 거시경제적 요인의 영향을 받는 환율의 전형적인 평균 회귀 특성을 포착합니다 (Fama, 1984). $W_Q(t)$와 $W_\theta(t)$는 상관된 브라운 운동입니다.

3. 최적화 문제

3.1 목적 함수

$X(t)$를 국내 통화 기준 총 부채라고 합시다. 보험사는 해외 위험 자산에 투자된 금액 $\pi(t)$를 제어합니다. 목표는 시점 $T$에서의 종기 부채 기대 지수 효용을 극대화하는 것입니다: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ 여기서 $\gamma > 0$는 상수 절대 위험 회피 계수입니다. 지수 효용 함수는 특정 조건 하에서 최적 전략의 부채 의존성을 제거하여 HJB 방정식을 단순화합니다.

3.2 해밀턴-야코비-벨만 방정식

$V(t, x, \theta)$를 가치 함수라고 합시다. 관련된 HJB 방정식은 다음과 같습니다: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ 종료 조건은 $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$입니다. 미분 연산자 $\mathcal{L}^{\pi}$는 $X(t)$, $\theta(t)$의 동역학 및 이들의 상관관계를 포함합니다. 이 편미분방정식을 푸는 것이 핵심 해석적 과제입니다.

4. 해석적 해

4.1 최적 투자 전략

본 논문은 해외 위험 자산에 대한 최적 투자를 다음과 같이 도출합니다: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \theta(t)\text{를 포함하는 조정 항들}$$ 이 공식은 직관적인 해석을 가집니다: 첫 번째 항은 고전적인 머튼형 해 (Merton, 1969)로, 투자가 초과 수익률($\mu_f + \theta(t) - r_d$)에 비례하고 위험($\gamma$ 및 총 분산)에 반비례합니다. 조정 항들은 환율 드리프트 $\theta(t)$의 확률적 성질 및 다른 과정들과의 상관관계를 설명합니다.

4.2 가치 함수

가치 함수는 다음과 같은 형태로 발견됩니다: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ 여기서 $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$는 상미분방정식 (리카티 방정식) 시스템을 만족하는 시간의 결정론적 함수들입니다. 이 구조는 지수 효용 함수를 가진 선형-이차 제어 문제에서 흔히 나타납니다.

5. 수치 분석

본 논문은 최적 전략의 거동을 설명하기 위한 수치 분석을 제시합니다. 주요 관찰 사항은 다음과 같습니다:

분석에는 $\theta(t)$의 경로를 시뮬레이션하고 시간에 따른 $\pi^*(t)$를 도시하여 그 동적이고 상태 의존적인 성질을 입증하는 작업이 포함될 것입니다.

6. 핵심 통찰 및 분석가 관점

핵심 통찰: 이 논문은 단순히 보험사 투자 모형에 대한 또 다른 점진적인 수정이 아닙니다. 그 근본적인 기여는 확률적 통화 위험을 보험사의 자산-부채 관리 프레임워크에 공식적으로 통합한 데 있습니다. 저자들은 환율 드리프트를 평균 회귀적 OU 과정으로 모델링함으로써 단순한 상수 매개변수 모형을 넘어서 글로벌 보험사에게 중요한 현실, 즉 통화 위험이 정적인 전환 비용이 아닌 지속적이고 동적인 요소로서 적극적으로 관리되어야 한다는 점을 포착했습니다.

논리적 흐름: 논리는 건전하며 표준적인 확률적 제어 방식을 따릅니다: (1) Cramér-Lundberg 잉여금을 확산 과정으로 확장, (2) 확률적 환율을 가진 두 통화 시장을 추가, (3) 지수 효용 목적 함수 정의, (4) HJB 방정식 도출, (5) 지수 효용의 분리 가능성을 이용해 해 형태 추측, (6) 결과적인 리카티 방정식 풀이. 이는 잘 알려졌지만 효과적인 접근법으로, 제어된 확산 과정에 대한 Fleming과 Soner (2006)의 기초 작업과 정신적으로 유사합니다.

강점과 약점: 강점: 모형의 우아함이 주요 강점입니다. 지수 효용 함수와 $\theta(t)$에 대한 아핀 동역학의 결합은 다루기 쉬운 폐쇄형 해를 제공합니다. 이는 확률적 제어 문제에서는 드문 일로, 명확한 비교 정태 분석을 가능하게 합니다. 자산 수익률과 통화 수익률 간 상관관계의 명시적 통합 또한 이 위험들이 고립되어 있지 않음을 인정한다는 점에서 칭찬할 만합니다. 약점: 모형의 가정이 아킬레스건입니다. 보험 잉여금의 확산 근사는 점프 위험(보험금 청구의 본질)을 제거하여 꼬리 위험을 과소평가할 가능성이 있습니다. $\theta(t)$에 대한 OU 과정은 평균 회귀적이지만, 신흥 시장에서 볼 수 있는 "페그 제도 변화"나 급격한 평가 절하를 포착하지 못할 수 있습니다. 더욱이, 모형은 실무적 구현에 중요한 거래 비용과 공매도 금지와 같은 제약 조건을 무시합니다. 포트폴리오 최적화를 위한 심층 강화 학습 (Theate & Ernst, 2021)과 같은 더 강건한 접근법과 비교할 때, 이 모형은 해석적으로 깔끔하지만 현실 세계에서는 취약할 수 있습니다.

실행 가능한 통찰: 글로벌 보험사의 최고투자책임자(CIO)들에게 이 연구는 통화 헤징이 사후 고려사항이 될 수 없음을 강조합니다. 최적 전략은 동적이며 현재 환율 드리프트($\theta(t)$)의 상태에 의존하는데, 이는 지속적으로 추정되어야 합니다. 실무자들은 다음을 수행해야 합니다: 1. 추정 엔진 구축: 잠재 상태 $\theta(t)$와 그 매개변수들($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$)을 실시간으로 추정하기 위한 강건한 칼만 필터나 최대우도추정법을 개발하십시오. 2. OU 과정을 넘어선 스트레스 테스트: 모형의 프레임워크를 사용하되, 시나리오 분석에서 OU 과정을 더 복잡한 모형(예: 체제 전환 모형)으로 대체하여 전략의 회복 탄력성을 평가하십시오. 3. 상관관계에 집중: 해외 자산 수익률과 통화 변동 사이의 상관관계($\rho_{fQ}$)를 적극적으로 모니터링하고 모델링하십시오. 이는 헤지 비율과 최적 노출의 핵심 결정 요인입니다.

7. 기술적 세부사항 및 수학적 프레임워크

핵심 수학적 도구는 확률적 최적 제어 이론의 해밀턴-야코비-벨만 (HJB) 방정식입니다. 해외 자산에 대한 투자 $\pi(t)$를 고려한 국내 통화 기준 부채 동역학은 다음과 같습니다: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ 가치 함수 $V(t,x,\theta)$에 대한 HJB 방정식은 다음과 같습니다: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ 지수 효용 함수 가정 $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$는 이를 $\phi(t,\theta)$에 대한 편미분방정식으로 단순화하며, 2차 추측 $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$와 함께 $A(t), B(t), C(t)$에 대한 리카티 방정식을 도출합니다.

8. 분석 프레임워크: 실제 사례

시나리오: 일본의 손해보험사 (국내 통화: JPY)는 국내 영업에서 발생한 잉여금을 보유하고 있습니다. 이 보험사는 자산의 일부를 미국 기술주 (해외 자산, USD)에 투자하는 것을 고려하고 있습니다. 목표는 5년 기간 동안 이 해외 자산에 대한 최적의 동적 배분을 결정하는 것입니다.

프레임워크 적용:

  1. 매개변수 보정:
    • 잉여금 (JPY): 과거 보험금 데이터로부터 $c$, $\lambda$, $\mu_Y$를 추정하여 드리프트 $(c-\lambda\mu_Y)$와 변동성 $\sigma_R$을 얻습니다.
    • 미국 기술주 (USD): 벤치마크 지수 (예: 나스닥-100)로부터 기대 수익률 $\mu_f$와 변동성 $\sigma_f$를 추정합니다.
    • USD/JPY 환율: 과거 데이터를 사용하여 $\theta(t)$에 대한 OU 과정 매개변수들을 보정합니다: 장기 평균 $\bar{\theta}$, 평균 회귀 속도 $\kappa$, 변동성 $\sigma_\theta$. 상관관계($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ 등)를 추정합니다.
    • 무위험 이자율: 일본 국채 수익률을 $r_d$로, 미국 국채 수익률을 (모형 구조에 맞게 변환하여) 사용합니다.
    • 위험 회피도: 회사의 자본 적정성과 위험 감수성을 바탕으로 $\gamma$를 설정합니다.
  2. 전략 계산: 보정된 매개변수들을 $\pi^*(t)$ 공식에 대입합니다. 이는 최근 환율 변동으로부터 필터링할 수 있는 잠재 상태 $\theta(t)$의 현재 추정값을 필요로 합니다.
  3. 결과 및 모니터링: 모형은 시간에 따라 변하는 목표 배분 비율을 출력합니다. 보험사의 재무 부서는 이에 따라 외환 헤지 비율과 주식 배분을 조정합니다. $\theta(t)$ 추정값은 주기적으로 (예: 월별) 업데이트되어야 하며, 이는 동적 재조정으로 이어집니다.
이 프레임워크는 복잡한 다중 통화 배분 문제에 대한 체계적이고 모형 주도적인 접근법을 제공합니다.

9. 향후 응용 및 연구 방향

이 모형은 확장 및 실무적 응용을 위한 여러 방향을 열어줍니다:

10. 참고문헌

  1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
  2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
  3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
  4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
  5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
  6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
  7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
  8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
  9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.