Pelaburan Optimum untuk Penanggung Insurans dalam Dua Pasaran Mata Wang: Analisis Kawalan Stokastik

Kandungan

1. Pengenalan

Kertas kerja ini membahas jurang kritikal dalam sains aktuari dan matematik kewangan: strategi pelaburan optimum untuk syarikat insurans yang beroperasi merentasi pelbagai pasaran mata wang. Model tradisional, seperti yang dicadangkan oleh Browne (1995) dan Schmidli (2002), tertumpu terutamanya pada persekitaran mata wang tunggal. Walau bagaimanapun, dalam ekonomi yang semakin global, penanggung insurans mesti mengurus aset dan liabiliti yang didenominasikan dalam mata wang yang berbeza, mendedahkan mereka kepada risiko pertukaran asing. Penyelidikan ini memperluaskan model lebihan Cramér-Lundberg klasik kepada persekitaran dua mata wang, menggabungkan kadar pertukaran stokastik yang dimodelkan oleh proses Ornstein-Uhlenbeck (OU). Objektifnya adalah untuk memaksimumkan utiliti eksponen jangkaan kekayaan terminal, satu kriteria pengelakan risiko yang lazim dalam kewangan insurans.

2. Perumusan Model

2.1 Proses Lebihan

Proses lebihan penanggung insurans $R(t)$ dimodelkan menggunakan penghampiran resapan model Cramér-Lundberg klasik: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ di mana $c$ ialah kadar premium, $\lambda$ ialah keamatan ketibaan tuntutan, $\mu_Y$ ialah saiz tuntutan purata, dan $W_R(t)$ ialah gerakan Brown piawai. Penghampiran ini memudahkan proses Poisson kompaun untuk kebolehkendalian analitikal, satu teknik lazim dalam literatur (lihat, contohnya, Grandell, 1991).

2.2 Pasaran Kewangan

Penanggung insurans boleh melabur dalam:

1. Aset Bebas Risiko Domestik: $dB(t) = r_d B(t) dt$, dengan kadar faedah $r_d$.
2. Aset Berisiko Asing: Dimodelkan oleh gerakan Brown geometri: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.

Inovasi utama adalah membenarkan pelaburan dalam aset asing, yang memerlukan pemodelan kadar pertukaran.

2.3 Dinamik Kadar Pertukaran

Kadar pertukaran $Q(t)$ (unit mata wang domestik per unit mata wang asing) dan hanyutannya dimodelkan sebagai: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ Di sini, $\theta(t)$ ialah kadar pertumbuhan min segera yang mengikuti proses OU, menangkap ciri pemulihan min yang tipikal bagi kadar pertukaran yang dipengaruhi oleh faktor makroekonomi seperti perbezaan inflasi dan pariti kadar faedah (Fama, 1984). $W_Q(t)$ dan $W_\theta(t)$ ialah gerakan Brown yang berkorelasi.

3. Masalah Pengoptimuman

3.1 Fungsi Objektif

Biarkan $X(t)$ ialah jumlah kekayaan dalam mata wang domestik. Penanggung insurans mengawal jumlah $\pi(t)$ yang dilaburkan dalam aset berisiko asing. Matlamatnya adalah untuk memaksimumkan utiliti eksponen jangkaan kekayaan terminal pada masa $T$: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ di mana $\gamma > 0$ ialah pekali keengganan risiko mutlak malar. Utiliti eksponen memudahkan persamaan HJB kerana ia menghapuskan pergantungan kekayaan dalam strategi optimum di bawah keadaan tertentu.

3.2 Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman

Biarkan $V(t, x, \theta)$ menjadi fungsi nilai. Persamaan HJB yang berkaitan ialah: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ dengan syarat terminal $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$. Pengoperasi pembezaan $\mathcal{L}^{\pi}$ menggabungkan dinamik $X(t)$, $\theta(t)$, dan korelasi mereka. Menyelesaikan PDE ini adalah cabaran analitikal teras.

4. Penyelesaian Analitikal

4.1 Strategi Pelaburan Optimum

Kertas kerja ini memperoleh pelaburan optimum dalam aset berisiko asing sebagai: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{Terma Pelarasan yang melibatkan } \theta(t)$$ Formula ini mempunyai tafsiran intuitif: terma pertama ialah penyelesaian jenis Merton klasik (Merton, 1969), di mana pelaburan adalah berkadar dengan pulangan lebihan ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) dan berkadar songsang dengan risiko ($\gamma$ dan jumlah varians). Terma pelarasan mengambil kira sifat stokastik hanyutan kadar pertukaran $\theta(t)$ dan korelasinya dengan proses lain.

4.2 Fungsi Nilai

Fungsi nilai didapati dalam bentuk: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ di mana $A(t)$, $B(t)$, dan $C(t)$ ialah fungsi penentu masa yang memenuhi sistem persamaan pembezaan biasa (persamaan Riccati). Struktur ini lazim dalam masalah kawalan linear-kuadratik dengan utiliti eksponen.

5. Analisis Berangka

Kertas kerja ini membentangkan analisis berangka untuk menggambarkan tingkah laku strategi optimum. Pemerhatian utama termasuk:

• Kepekaan terhadap $\theta(t)$: Pelaburan optimum $\pi^*(t)$ meningkat apabila penghargaan kadar pertukaran jangkaan $\theta(t)$ tinggi, menggalakkan pelaburan dalam aset asing.
• Kesan Keengganan Risiko ($\gamma$): Keengganan risiko yang lebih tinggi mengurangkan kedudukan dalam aset berisiko asing dengan ketara, seperti yang dijangkakan.
• Kesan Korelasi: Korelasi negatif antara pulangan aset asing dan perubahan kadar pertukaran ($\rho_{fQ}$) boleh bertindak sebagai lindung nilai semula jadi, membenarkan kedudukan optimum yang lebih besar.

Analisis ini mungkin melibatkan simulasi laluan untuk $\theta(t)$ dan memplot $\pi^*(t)$ sepanjang masa, menunjukkan sifat dinamik dan bergantung keadaannya.

6. Inti Pati & Perspektif Penganalisis

Inti Pati: Kertas kerja ini bukan sekadar penambahbaikan tambahan kepada model pelaburan penanggung insurans. Sumbangan asasnya adalah mengintegrasikan risiko mata wang stokastik secara formal ke dalam rangka kerja pengurusan aset-liabiliti penanggung insurans. Dengan memodelkan hanyutan kadar pertukaran sebagai proses pemulihan min OU, penulis melangkaui model parameter malar yang terlalu mudah dan menangkap satu realiti utama untuk penanggung insurans global: risiko mata wang adalah faktor dinamik yang berterusan yang mesti diurus secara aktif, bukan sekadar yuran penukaran statik.

Aliran Logik: Logiknya kukuh dan mengikut permainan kawalan stokastik kanonik: (1) Kembangkan lebihan Cramér-Lundberg kepada resapan, (2) Lapisi pasaran dua mata wang dengan kadar pertukaran stokastik, (3) Takrifkan objektif utiliti eksponen, (4) Terbitkan persamaan HJB, (5) Manfaatkan kebolehpisahan utiliti eksponen untuk meneka bentuk penyelesaian, dan (6) Selesaikan persamaan Riccati yang terhasil. Ini adalah laluan yang biasa tetapi berkesan, serupa dalam semangat dengan kerja asas Fleming dan Soner (2006) mengenai resapan terkawal.

Kekuatan & Kelemahan: Kekuatan: Keanggunan model adalah kekuatan utamanya. Gabungan utiliti eksponen dan dinamik afin untuk $\theta(t)$ menghasilkan penyelesaian tertutup yang boleh dikendalikan—suatu kelangkaan dalam masalah kawalan stokastik. Ini memberikan statik perbandingan yang jelas. Penggabungan eksplisit korelasi antara pulangan aset dan mata wang juga dipuji, kerana ia mengakui bahawa risiko ini tidak terpencil. Kelemahan: Andaian model adalah tumit Achillesnya. Penghampiran resapan lebihan insurans menanggalkan risiko lonjakan (intipati tuntutan insurans), berpotensi meremehkan risiko ekor. Proses OU untuk $\theta(t)$, walaupun memulih min, mungkin tidak menangkap "anjakan rejim terikat" atau penyahhargaan mendadak yang dilihat dalam pasaran baru muncul. Tambahan pula, model ini mengabaikan kos transaksi dan kekangan seperti tiada penjualan singkat, yang kritikal untuk pelaksanaan praktikal. Berbanding pendekatan yang lebih teguh seperti pembelajaran pengukuhan mendalam untuk pengoptimuman portfolio (Theate & Ernst, 2021), model ini terasa kemas secara analitikal tetapi berpotensi rapuh dalam dunia sebenar.

Wawasan Boleh Tindak: Untuk Ketua Pegawai Pelaburan di penanggung insurans global, penyelidikan ini menekankan bahawa lindung nilai mata wang tidak boleh menjadi pemikiran lepas. Strategi optimum adalah dinamik dan bergantung pada keadaan semasa hanyutan kadar pertukaran ($\theta(t)$), yang mesti dianggarkan secara berterusan. Pengamal harus: 1. Bina Enjin Anggaran: Bangunkan penapis Kalman teguh atau kaedah MLE untuk menganggarkan keadaan pendam $\theta(t)$ dan parameternya ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) secara masa nyata. 2. Ujian Tekanan Melampaui OU: Gunakan rangka kerja model tetapi gantikan proses OU dengan model yang lebih kompleks (contohnya, pertukaran rejim) dalam analisis senario untuk menilai ketahanan strategi. 3. Tumpu pada Korelasi: Pantau dan modelkan korelasi ($\rho_{fQ}$) antara pulangan aset asing dan pergerakan mata wang secara aktif, kerana ia adalah penentu utama nisbah lindung nilai dan pendedahan optimum.

7. Butiran Teknikal & Kerangka Matematik

Mesin matematik teras ialah persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) daripada teori kawalan optimum stokastik. Dinamik kekayaan dalam mata wang domestik, mempertimbangkan pelaburan $\pi(t)$ dalam aset asing, ialah: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ Persamaan HJB untuk fungsi nilai $V(t,x,\theta)$ ialah: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ Anggapan utiliti eksponen $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ memudahkan ini kepada PDE untuk $\phi(t,\theta)$, yang dengan tekaan kuadratik $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ menghasilkan persamaan Riccati untuk $A(t), B(t), C(t)$.

8. Kerangka Analisis: Satu Kes Praktikal

Senario: Sebuah penanggung insurans bukan hayat Jepun (mata wang domestik: JPY) memegang lebihan daripada operasi domestiknya. Ia sedang mempertimbangkan untuk melabur sebahagian asetnya dalam saham teknologi AS (aset asing, USD). Matlamatnya adalah untuk menentukan peruntukan dinamik optimum kepada aset asing ini sepanjang ufuk 5 tahun.

Aplikasi Kerangka:

1. Penentukuran Parameter:
   • Lebihan (JPY): Anggarkan $c$, $\lambda$, $\mu_Y$ daripada data tuntutan sejarah untuk mendapatkan hanyutan $(c-\lambda\mu_Y)$ dan turun naik $\sigma_R$.
   • Saham Teknologi AS (USD): Anggarkan pulangan jangkaan $\mu_f$ dan turun naik $\sigma_f$ daripada indeks penanda aras (contohnya, Nasdaq-100).
   • Kadar Pertukaran USD/JPY: Gunakan data sejarah untuk menentukur parameter proses OU untuk $\theta(t)$: min jangka panjang $\bar{\theta}$, kelajuan pemulihan min $\kappa$, dan turun naik $\sigma_\theta$. Anggarkan korelasi ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ dll.).
   • Kadar Bebas Risiko: Gunakan hasil Bon Kerajaan Jepun (JGB) untuk $r_d$ dan hasil Perbendaharaan AS (ditukar ke dalam struktur model).
   • Keengganan Risiko: Tetapkan $\gamma$ berdasarkan kecukupan modal dan toleransi risiko syarikat.
2. Pengiraan Strategi: Masukkan parameter yang telah ditentukur ke dalam formula untuk $\pi^*(t)$. Ini memerlukan nilai anggaran semasa keadaan pendam $\theta(t)$, yang boleh ditapis daripada pergerakan kadar pertukaran terkini.
3. Output & Pemantauan: Model mengeluarkan peratusan peruntukan sasaran yang berubah mengikut masa. Perbendaharaan penanggung insurans akan melaraskan nisbah lindung nilai FX dan peruntukan ekuiti dengan sewajarnya. Anggaran $\theta(t)$ mesti dikemas kini secara berkala (contohnya, bulanan), membawa kepada pengimbangan semula dinamik.

Kerangka ini menyediakan pendekatan sistematik, didorong model kepada masalah peruntukan pelbagai mata wang yang kompleks.

9. Aplikasi Masa Depan & Hala Tuju Penyelidikan

Model ini membuka beberapa laluan untuk lanjutan dan aplikasi praktikal:

• Portfolio Pelbagai Mata Wang: Memperluaskan model kepada lebih daripada satu mata wang asing dan aset, mengurus rangkaian korelasi silang mata wang. Ini selaras dengan keperluan penanggung insurans multinasional.
• Menggabungkan Risiko Lonjakan: Menggantikan penghampiran resapan dengan proses lompat-resapan atau Lévy yang lebih realistik untuk lebihan insurans untuk memodelkan tuntutan bencana dengan lebih baik, menggunakan teknik daripada Surya (2022) mengenai kawalan optimum di bawah proses lompat.
• Model Pertukaran Rejim: Memodelkan $\theta(t)$ atau parameter pasaran dengan proses pertukaran rejim Markov untuk menangkap kitaran dasar monetari atau ekonomi yang berbeza, seperti yang dilihat dalam karya Elliott et al.
• Integrasi Pembelajaran Mesin: Menggunakan rangkaian LSTM atau ejen pembelajaran pengukuhan untuk menganggarkan keadaan pendam $\theta(t)$ dan dinamiknya daripada data pasaran frekuensi tinggi, melangkaui andaian OU parametrik.
• Integrasi ALM: Menanamkan model pelaburan ini ke dalam rangka kerja Pengurusan Aset-Liabiliti (ALM) yang lebih luas yang juga mengoptimumkan harga produk insurans dan strategi insurans semula.
• Kewangan Terpencar (DeFi): Mengaplikasikan model untuk mengurus perbendaharaan protokol insurans terpencar (contohnya, Nexus Mutual) yang memegang aset kripto dalam pelbagai mata wang asli rantaian blok, di mana turun naik kadar pertukaran adalah melampau.

10. Rujukan

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.