Índice
1. Introdução
Este artigo aborda uma lacuna crítica na ciência atuarial e na matemática financeira: a estratégia de investimento ótima para uma companhia de seguros que opera em múltiplos mercados cambiais. Os modelos tradicionais, como os de Browne (1995) e Schmidli (2002), focam-se principalmente em ambientes de moeda única. No entanto, numa economia cada vez mais globalizada, as seguradoras devem gerir ativos e passivos denominados em diferentes moedas, ficando expostas ao risco cambial. Esta investigação estende o modelo clássico de excedente de Cramér-Lundberg para um cenário de duas moedas, incorporando uma taxa de câmbio estocástica modelada por um processo de Ornstein-Uhlenbeck (OU). O objetivo é maximizar a utilidade exponencial esperada da riqueza terminal, um critério comum de aversão ao risco em finanças de seguros.
2. Formulação do Modelo
2.1 Processo de Excedente
O processo de excedente da seguradora $R(t)$ é modelado usando a aproximação por difusão do modelo clássico de Cramér-Lundberg: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ onde $c$ é a taxa de prémio, $\lambda$ é a intensidade de chegada de sinistros, $\mu_Y$ é o tamanho médio do sinistro e $W_R(t)$ é um movimento browniano padrão. Esta aproximação simplifica o processo composto de Poisson para tratabilidade analítica, uma técnica comum na literatura (ver, por exemplo, Grandell, 1991).
2.2 Mercado Financeiro
A seguradora pode investir em:
- Ativo Doméstico Livre de Risco: $dB(t) = r_d B(t) dt$, com taxa de juro $r_d$.
- Ativo Estrangeiro de Risco: Modelado por um movimento browniano geométrico: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.
2.3 Dinâmica da Taxa de Câmbio
A taxa de câmbio $Q(t)$ (unidades de moeda doméstica por unidade de moeda estrangeira) e a sua deriva são modeladas como: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ Aqui, $\theta(t)$ é a taxa média de crescimento instantânea seguindo um processo OU, capturando as características de reversão à média típicas das taxas de câmbio influenciadas por fatores macroeconómicos como diferenciais de inflação e paridade de taxas de juro (Fama, 1984). $W_Q(t)$ e $W_\theta(t)$ são movimentos brownianos correlacionados.
3. Problema de Otimização
3.1 Função Objetivo
Seja $X(t)$ a riqueza total em moeda doméstica. A seguradora controla o montante $\pi(t)$ investido no ativo estrangeiro de risco. O objetivo é maximizar a utilidade exponencial esperada da riqueza terminal no tempo $T$: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ onde $\gamma > 0$ é o coeficiente constante de aversão absoluta ao risco. A utilidade exponencial simplifica a equação HJB, pois elimina a dependência da riqueza na estratégia ótima sob certas condições.
3.2 Equação de Hamilton-Jacobi-Bellman
Seja $V(t, x, \theta)$ a função valor. A equação HJB associada é: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ com condição terminal $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$. O operador diferencial $\mathcal{L}^{\pi}$ incorpora a dinâmica de $X(t)$, $\theta(t)$ e as suas correlações. Resolver esta EDP é o principal desafio analítico.
4. Solução Analítica
4.1 Estratégia de Investimento Ótima
O artigo deriva o investimento ótimo no ativo estrangeiro de risco como: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{Termos de Ajuste envolvendo } \theta(t)$$ Esta fórmula tem uma interpretação intuitiva: o primeiro termo é uma solução clássica do tipo Merton (Merton, 1969), onde o investimento é proporcional ao retorno em excesso ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) e inversamente proporcional ao risco ($\gamma$ e variância total). Os termos de ajuste têm em conta a natureza estocástica da deriva da taxa de câmbio $\theta(t)$ e a sua correlação com outros processos.
4.2 Função Valor
Verifica-se que a função valor tem a forma: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ onde $A(t)$, $B(t)$ e $C(t)$ são funções determinísticas do tempo que satisfazem um sistema de equações diferenciais ordinárias (equações de Riccati). Esta estrutura é comum em problemas de controlo linear-quadrático com utilidade exponencial.
5. Análise Numérica
O artigo apresenta uma análise numérica para ilustrar o comportamento da estratégia ótima. Observações-chave incluem:
- Sensibilidade a $\theta(t)$: O investimento ótimo $\pi^*(t)$ aumenta quando a apreciação esperada da taxa de câmbio $\theta(t)$ é elevada, incentivando o investimento no ativo estrangeiro.
- Impacto da Aversão ao Risco ($\gamma$): Uma maior aversão ao risco reduz significativamente a posição no ativo estrangeiro de risco, como seria de esperar.
- Efeito da Correlação: Uma correlação negativa entre o retorno do ativo estrangeiro e a variação da taxa de câmbio ($\rho_{fQ}$) pode atuar como uma cobertura natural, permitindo uma posição ótima maior.
6. Ideia Central & Perspetiva do Analista
Ideia Central: Este artigo não é apenas mais um ajuste incremental ao modelo de investimento de seguradoras. A sua contribuição fundamental é integrar formalmente o risco cambial estocástico no enquadramento de gestão de ativos e passivos da seguradora. Ao modelar a deriva da taxa de câmbio como um processo OU de reversão à média, os autores vão além dos modelos simplistas de parâmetros constantes e capturam uma realidade chave para as seguradoras globais: o risco cambial é um fator persistente e dinâmico que deve ser gerido ativamente, não apenas uma taxa de conversão estática.
Fluxo Lógico: A lógica é sólida e segue o roteiro canónico do controlo estocástico: (1) Estender o excedente de Cramér-Lundberg para uma difusão, (2) Sobrepor um mercado de duas moedas com uma taxa de câmbio estocástica, (3) Definir o objetivo de utilidade exponencial, (4) Derivar a equação HJB, (5) Explorar a separabilidade da utilidade exponencial para adivinhar uma forma de solução, e (6) Resolver as equações de Riccati resultantes. Este é um caminho bem trilhado, mas eficaz, semelhante em espírito ao trabalho fundamental de Fleming e Soner (2006) sobre difusões controladas.
Pontos Fortes & Fraquezas: Pontos Fortes: A elegância do modelo é o seu principal ponto forte. A combinação da utilidade exponencial com a dinâmica afim para $\theta(t)$ produz uma solução tratável e de forma fechada — uma raridade em problemas de controlo estocástico. Isto fornece estática comparativa clara. A incorporação explícita da correlação entre os retornos dos ativos e cambiais também é louvável, pois reconhece que estes riscos não são isolados. Fraquezas: As premissas do modelo são o seu calcanhar de Aquiles. A aproximação por difusão do excedente de seguros remove o risco de salto (a própria essência dos sinistros de seguros), subestimando potencialmente o risco de cauda. O processo OU para $\theta(t)$, embora de reversão à média, pode não capturar as "mudanças de regime cambial" ou desvalorizações súbitas observadas em mercados emergentes. Além disso, o modelo ignora custos de transação e restrições como a proibição de venda a descoberto, que são críticos para a implementação prática. Comparado com abordagens mais robustas, como a aprendizagem por reforço profundo para otimização de carteiras (Theate & Ernst, 2021), este modelo parece analiticamente elegante, mas potencialmente frágil no mundo real.
Ideias Acionáveis: Para os Diretores de Investimento de seguradoras globais, esta investigação sublinha que a cobertura cambial não pode ser uma reflexão tardia. A estratégia ótima é dinâmica e depende do estado atual da deriva da taxa de câmbio ($\theta(t)$), que deve ser continuamente estimado. Os profissionais devem: 1. Construir Motores de Estimação: Desenvolver filtros de Kalman robustos ou métodos de MLE para estimar o estado latente $\theta(t)$ e os seus parâmetros ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) em tempo real. 2. Testar Cenários Além do OU: Usar o enquadramento do modelo, mas substituir o processo OU por modelos mais complexos (por exemplo, de mudança de regime) na análise de cenários para avaliar a resiliência da estratégia. 3. Focar na Correlação: Monitorizar e modelar ativamente a correlação ($\rho_{fQ}$) entre os retornos dos ativos estrangeiros e os movimentos cambiais, pois é um determinante chave do rácio de cobertura e da exposição ótima.
7. Detalhes Técnicos & Enquadramento Matemático
A maquinaria matemática central é a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) da teoria do controlo ótimo estocástico. A dinâmica da riqueza em moeda doméstica, considerando o investimento $\pi(t)$ no ativo estrangeiro, é: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ A equação HJB para a função valor $V(t,x,\theta)$ é: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ A ansatz de utilidade exponencial $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ simplifica isto para uma EDP para $\phi(t,\theta)$, que com um palpite quadrático $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ produz as equações de Riccati para $A(t), B(t), C(t)$.
8. Enquadramento de Análise: Um Caso Prático
Cenário: Uma seguradora japonesa de não-vida (moeda doméstica: JPY) detém excedente das suas operações domésticas. Está a considerar investir uma parte dos seus ativos em ações de tecnologia dos EUA (ativo estrangeiro, USD). O objetivo é determinar a alocação dinâmica ótima para este ativo estrangeiro num horizonte de 5 anos.
Aplicação do Enquadramento:
- Calibração de Parâmetros:
- Excedente (JPY): Estimar $c$, $\lambda$, $\mu_Y$ a partir de dados históricos de sinistros para obter a deriva $(c-\lambda\mu_Y)$ e a volatilidade $\sigma_R$.
- Ações de Tecnologia dos EUA (USD): Estimar o retorno esperado $\mu_f$ e a volatilidade $\sigma_f$ a partir de um índice de referência (por exemplo, Nasdaq-100).
- Taxa de Câmbio USD/JPY: Usar dados históricos para calibrar os parâmetros do processo OU para $\theta(t)$: média de longo prazo $\bar{\theta}$, velocidade de reversão à média $\kappa$ e volatilidade $\sigma_\theta$. Estimar correlações ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ etc.).
- Taxas Livres de Risco: Usar o rendimento dos Títulos do Governo Japonês (JGB) para $r_d$ e o rendimento dos Títulos do Tesouro dos EUA (convertido para a estrutura do modelo).
- Aversão ao Risco: Definir $\gamma$ com base na adequação de capital e na tolerância ao risco da empresa.
- Cálculo da Estratégia: Inserir os parâmetros calibrados na fórmula para $\pi^*(t)$. Isto requer o valor atual estimado do estado latente $\theta(t)$, que pode ser filtrado a partir dos movimentos recentes da taxa de câmbio.
- Resultado & Monitorização: O modelo produz uma percentagem de alocação-alvo variável no tempo. O tesouro da seguradora ajustaria o seu rácio de cobertura cambial e a alocação de ações em conformidade. A estimativa de $\theta(t)$ deve ser atualizada periodicamente (por exemplo, mensalmente), levando a um rebalanceamento dinâmico.
9. Aplicações Futuras & Direções de Investigação
O modelo abre várias vias para extensão e aplicação prática:
- Carteiras Multi-Moeda: Estender o modelo para mais de uma moeda e ativo estrangeiro, gerindo uma rede de correlações cambiais cruzadas. Isto alinha-se com as necessidades de seguradoras multinacionais.
- Incorporar Riscos de Salto: Substituir a aproximação por difusão por um processo de salto-difusão ou de Lévy mais realista para o excedente de seguros, para modelar melhor sinistros catastróficos, usando técnicas de Surya (2022) sobre controlo ótimo sob processos de salto.
- Modelos de Mudança de Regime: Modelar $\theta(t)$ ou parâmetros de mercado com um processo de mudança de regime de Markov para capturar diferentes ciclos de política monetária ou económica, como visto nos trabalhos de Elliott et al.
- Integração de Aprendizagem Automática: Usar redes LSTM ou agentes de aprendizagem por reforço para estimar o estado latente $\theta(t)$ e a sua dinâmica a partir de dados de mercado de alta frequência, indo além da premissa paramétrica OU.
- Integração ALM: Incorporar este modelo de investimento num enquadramento mais amplo de Gestão de Ativos e Passivos (ALM) que também otimize o preço dos produtos de seguros e as estratégias de resseguro.
- Finanças Descentralizadas (DeFi): Aplicar o modelo para gerir o tesouro de um protocolo de seguros descentralizado (por exemplo, Nexus Mutual) que detém criptoativos em múltiplas moedas nativas de blockchain, onde a volatilidade cambial é extrema.
10. Referências
- Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
- Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
- Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
- Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
- Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
- Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
- Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
- Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
- Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.