Оптимальное инвестирование для страховщика на двух валютных рынках: анализ методом стохастического управления

Содержание

1. Введение

Данная работа посвящена важному пробелу в актуарной науке и финансовой математике: оптимальной инвестиционной стратегии для страховой компании, работающей на нескольких валютных рынках. Традиционные модели, такие как модели Брауна (1995) и Шмидли (2002), в основном сосредоточены на средах с одной валютой. Однако в условиях всё более глобализирующейся экономики страховщики вынуждены управлять активами и обязательствами, номинированными в разных валютах, что подвергает их валютному риску. Данное исследование расширяет классическую модель излишка Крамера-Лундберга на случай двух валют, включая стохастический обменный курс, моделируемый процессом Орнштейна-Уленбека (ОУ). Цель — максимизировать ожидаемую экспоненциальную полезность конечного богатства, что является распространённым критерием неприятия риска в страховых финансах.

2. Формулировка модели

2.1 Процесс излишка

Процесс излишка страховщика $R(t)$ моделируется с использованием диффузионной аппроксимации классической модели Крамера-Лундберга: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ где $c$ — ставка премии, $\lambda$ — интенсивность поступления убытков, $\mu_Y$ — средний размер убытка, а $W_R(t)$ — стандартное броуновское движение. Эта аппроксимация упрощает составной пуассоновский процесс для аналитической разрешимости, что является распространённым приёмом в литературе (см., например, Grandell, 1991).

2.2 Финансовый рынок

Страховщик может инвестировать в:

1. Безрисковый внутренний актив: $dB(t) = r_d B(t) dt$, с процентной ставкой $r_d$.
2. Рискованный иностранный актив: Моделируется геометрическим броуновским движением: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.

Ключевое нововведение — возможность инвестирования в иностранные активы, что требует моделирования обменного курса.

2.3 Динамика обменного курса

Обменный курс $Q(t)$ (единиц внутренней валюты за единицу иностранной валюты) и его дрейф моделируются как: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ Здесь $\theta(t)$ — мгновенная средняя скорость роста, следующая процессу ОУ, что отражает свойство возврата к среднему, типичное для обменных курсов, на которые влияют макроэкономические факторы, такие как разница в инфляции и паритет процентных ставок (Fama, 1984). $W_Q(t)$ и $W_\theta(t)$ — коррелированные броуновские движения.

3. Задача оптимизации

3.1 Целевая функция

Пусть $X(t)$ — совокупное богатство во внутренней валюте. Страховщик управляет суммой $\pi(t)$, инвестированной в иностранный рискованный актив. Цель — максимизировать ожидаемую экспоненциальную полезность конечного богатства в момент времени $T$: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ где $\gamma > 0$ — коэффициент постоянного абсолютного неприятия риска. Экспоненциальная полезность упрощает уравнение ГЯБ, поскольку при определённых условиях устраняет зависимость оптимальной стратегии от уровня богатства.

3.2 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

Пусть $V(t, x, \theta)$ — функция ценности. Соответствующее уравнение ГЯБ имеет вид: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ с граничным условием $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$. Дифференциальный оператор $\mathcal{L}^{\pi}$ включает динамику $X(t)$, $\theta(t)$ и их корреляции. Решение этого уравнения в частных производных является основной аналитической задачей.

4. Аналитическое решение

4.1 Оптимальная инвестиционная стратегия

В работе выводится оптимальное инвестирование в иностранный рискованный актив как: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{Поправочные члены, зависящие от } \theta(t)$$ Эта формула имеет интуитивную интерпретацию: первый член представляет собой классическое решение типа Мертона (Merton, 1969), где инвестирование пропорционально избыточной доходности ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) и обратно пропорционально риску ($\gamma$ и общей дисперсии). Поправочные члены учитывают стохастическую природу дрейфа обменного курса $\theta(t)$ и его корреляцию с другими процессами.

4.2 Функция ценности

Функция ценности имеет вид: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ где $A(t)$, $B(t)$ и $C(t)$ — детерминированные функции времени, удовлетворяющие системе обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения Риккати). Такая структура характерна для линейно-квадратичных задач управления с экспоненциальной полезностью.

5. Численный анализ

В работе представлен численный анализ, иллюстрирующий поведение оптимальной стратегии. Ключевые наблюдения включают:

• Чувствительность к $\theta(t)$: Оптимальное инвестирование $\pi^*(t)$ увеличивается, когда ожидаемое укрепление обменного курса $\theta(t)$ высоко, что стимулирует инвестиции в иностранный актив.
• Влияние неприятия риска ($\gamma$): Более высокое неприятие риска, как и ожидалось, существенно сокращает позицию в иностранном рискованном активе.
• Эффект корреляции: Отрицательная корреляция между доходностью иностранного актива и изменением обменного курса ($\rho_{fQ}$) может выступать в качестве естественного хеджа, позволяя увеличить оптимальную позицию.

Анализ, вероятно, включает моделирование траекторий для $\theta(t)$ и построение графика $\pi^*(t)$ во времени, демонстрируя его динамическую и зависящую от состояния природу.

6. Ключевая идея и взгляд аналитика

Ключевая идея: Эта работа — не просто очередное незначительное усовершенствование модели инвестирования страховщика. Её фундаментальный вклад заключается в формальном интегрировании стохастического валютного риска в рамки управления активами и обязательствами страховщика. Моделируя дрейф обменного курса как возвращающийся к среднему процесс ОУ, авторы выходят за рамки упрощённых моделей с постоянными параметрами и улавливают ключевую реальность для глобальных страховщиков: валютный риск — это постоянный, динамический фактор, которым необходимо активно управлять, а не просто статическая комиссия за конвертацию.

Логическая последовательность: Логика убедительна и следует каноническому сценарию стохастического управления: (1) Расширение излишка Крамера-Лундберга до диффузии, (2) Наложение двухвалютного рынка со стохастическим обменным курсом, (3) Определение целевой функции экспоненциальной полезности, (4) Вывод уравнения ГЯБ, (5) Использование свойства сепарабельности экспоненциальной полезности для предположения о форме решения и (6) Решение полученных уравнений Риккати. Это хорошо проторённый, но эффективный путь, схожий по духу с фундаментальной работой Флеминга и Сонера (2006) по управляемым диффузиям.

Сильные стороны и недостатки: Сильные стороны: Главная сила модели — её элегантность. Комбинация экспоненциальной полезности и аффинной динамики для $\theta(t)$ даёт разрешимое, замкнутое решение — редкость в задачах стохастического управления. Это обеспечивает чёткие сравнительные статики. Явное включение корреляции между доходностью активов и валют также заслуживает похвалы, поскольку признаёт, что эти риски не изолированы. Недостатки: Предположения модели — её ахиллесова пята. Диффузионная аппроксимация страхового излишка устраняет скачкообразный риск (саму сущность страховых убытков), потенциально недооценивая хвостовой риск. Процесс ОУ для $\theta(t)$, хотя и возвращающийся к среднему, может не улавливать «смены режимов привязки» или внезапные девальвации, наблюдаемые на развивающихся рынках. Кроме того, модель игнорирует транзакционные издержки и ограничения, такие как запрет коротких продаж, которые критически важны для практической реализации. По сравнению с более устойчивыми подходами, такими как глубокое обучение с подкреплением для оптимизации портфеля (Theate & Ernst, 2021), эта модель кажется аналитически аккуратной, но потенциально хрупкой в реальном мире.

Практические выводы: Для главных инвестиционных директоров глобальных страховщиков это исследование подчёркивает, что хеджирование валютных рисков не может быть второстепенной задачей. Оптимальная стратегия является динамической и зависит от текущего состояния дрейфа обменного курса ($\theta(t)$), которое необходимо постоянно оценивать. Практикам следует: 1. Создавать системы оценки: Разрабатывать надёжные фильтры Калмана или методы максимального правдоподобия для оценки латентного состояния $\theta(t)$ и его параметров ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) в реальном времени. 2. Стресс-тестирование за пределами ОУ: Использовать рамки модели, но заменить процесс ОУ более сложными моделями (например, со сменой режимов) в сценарном анализе для оценки устойчивости стратегии. 3. Фокусироваться на корреляции: Активно отслеживать и моделировать корреляцию ($\rho_{fQ}$) между доходностью иностранных активов и движениями валют, поскольку она является ключевым фактором, определяющим коэффициент хеджирования и оптимальную экспозицию.

7. Технические детали и математический аппарат

Основным математическим инструментом является уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ) из теории стохастического оптимального управления. Динамика богатства во внутренней валюте с учётом инвестирования $\pi(t)$ в иностранный актив имеет вид: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ Уравнение ГЯБ для функции ценности $V(t,x,\theta)$: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ Подстановка экспоненциальной полезности $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ упрощает это до уравнения в частных производных для $\phi(t,\theta)$, которое при квадратичном предположении $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ даёт уравнения Риккати для $A(t), B(t), C(t)$.

8. Аналитическая схема: практический пример

Сценарий: Японская страховая компания по страхованию имущества (внутренняя валюта: JPY) имеет излишек от внутренних операций. Она рассматривает возможность инвестирования части своих активов в американские технологические акции (иностранный актив, USD). Цель — определить оптимальное динамическое распределение в этот иностранный актив на горизонте 5 лет.

Применение схемы:

1. Калибровка параметров:
   • Излишек (JPY): Оценить $c$, $\lambda$, $\mu_Y$ по историческим данным об убытках, чтобы получить дрейф $(c-\lambda\mu_Y)$ и волатильность $\sigma_R$.
   • Американские технологические акции (USD): Оценить ожидаемую доходность $\mu_f$ и волатильность $\sigma_f$ по эталонному индексу (например, Nasdaq-100).
   • Обменный курс USD/JPY: Использовать исторические данные для калибровки параметров процесса ОУ для $\theta(t)$: долгосрочное среднее $\bar{\theta}$, скорость возврата к среднему $\kappa$ и волатильность $\sigma_\theta$. Оценить корреляции ($\rho_{fQ}, \rho_{fR}$ и т.д.).
   • Безрисковые ставки: Использовать доходность японских государственных облигаций (JGB) для $r_d$ и доходность казначейских облигаций США (преобразованные в структуру модели).
   • Неприятие риска: Установить $\gamma$ на основе достаточности капитала компании и её терпимости к риску.
2. Расчёт стратегии: Подставить откалиброванные параметры в формулу для $\pi^*(t)$. Это требует текущей оценки латентного состояния $\theta(t)$, которое можно отфильтровать из последних движений обменного курса.
3. Результат и мониторинг: Модель выдаёт изменяющееся во времени целевое процентное распределение. Казначейство страховщика будет соответствующим образом корректировать коэффициент валютного хеджирования и распределение по акциям. Оценка $\theta(t)$ должна обновляться периодически (например, ежемесячно), что приводит к динамической ребалансировке.

Эта схема предоставляет системный, модельно-ориентированный подход к сложной проблеме распределения в нескольких валютах.

9. Будущие приложения и направления исследований

Модель открывает несколько путей для расширения и практического применения:

• Мультивалютные портфели: Расширение модели на более чем одну иностранную валюту и актив, управление сетью кросс-валютных корреляций. Это соответствует потребностям международных страховщиков.
• Включение скачкообразных рисков: Замена диффузионной аппроксимации более реалистичной скачкообразно-диффузионной моделью или процессом Леви для страхового излишка, чтобы лучше моделировать катастрофические убытки, с использованием методов из работы Surya (2022) по оптимальному управлению при скачкообразных процессах.
• Модели со сменой режимов: Моделирование $\theta(t)$ или рыночных параметров с помощью марковского процесса со сменой режимов для учета различных циклов денежно-кредитной политики или экономических циклов, как в работах Elliott и др.
• Интеграция машинного обучения: Использование сетей LSTM или агентов обучения с подкреплением для оценки латентного состояния $\theta(t)$ и его динамики по высокочастотным рыночным данным, выход за рамки параметрического предположения ОУ.
• Интеграция в ALM: Встраивание этой инвестиционной модели в более широкую схему управления активами и обязательствами (ALM), которая также оптимизирует ценообразование страховых продуктов и стратегии перестрахования.
• Децентрализованные финансы (DeFi): Применение модели для управления казначейством децентрализованного страхового протокола (например, Nexus Mutual), который хранит криптоактивы в нескольких нативных валютах блокчейнов, где волатильность обменных курсов крайне высока.

10. Список литературы

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.