Yaliyomo
1. Utangulizi
Makala haya yanashughulikia pengo muhimu katika sayansi ya aktuaria na hisabati ya fedha: mkakati bora wa uwekezaji kwa kampuni ya bima inayofanya kazi katika masoko mengi ya fedha ya kigeni. Miundo ya jadi, kama ile ya Browne (1995) na Schmidli (2002), inazingatia hasa mazingira ya sarafu moja. Hata hivyo, katika uchumi unaozidi kuwa wa kimataifa, wabima lazima wasimamishe mali na deni zilizo na thamani katika sarafu tofauti, na kuwafunua kwa hatari ya ubadilishaji wa fedha za kigeni. Utafiti huu unapanua muundo wa jadi wa ziada wa Cramér-Lundberg kwa mazingira ya sarafu mbili, ukijumuisha viwango vya ubadilishaji wa fedha vya nasibu vinavyotengenezwa kwa mchakato wa Ornstein-Uhlenbeck (OU). Lengo ni kuongeza kiwango cha matumizi ya kielelezo kinachotarajiwa cha utajiri wa mwisho, kigezo cha kawaida cha kuepuka hatari katika fedha za bima.
2. Uundaji wa Mfano
2.1 Mchakato wa Ziada (Surplus)
Mchakato wa ziada wa mtoa bima $R(t)$ umetengenezwa kwa kutumia makadirio ya mtawanyiko wa muundo wa jadi wa Cramér-Lundberg: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ ambapo $c$ ni kiwango cha malipo ya bima, $\lambda$ ni ukali wa kufika kwa madai, $\mu_Y$ ni ukubwa wa wastani wa dai, na $W_R(t)$ ni mwendo wa kawaida wa Brownian. Makadirio haya yanarahisisha mchakato wa Poisson wa kiwanja kwa urahisi wa uchambuzi, mbinu ya kawaida katika fasihi (tazama, mfano, Grandell, 1991).
2.2 Soko la Fedha
Mtoa bima anaweza kuwekeza katika:
- Mali ya Ndani Isiyo na Hatari: $dB(t) = r_d B(t) dt$, na kiwango cha riba $r_d$.
- Mali ya Hatari ya Kigeni: Imeundwa kwa mwendo wa kijiometri wa Brownian: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.
2.3 Mienendo ya Ubadilishaji wa Fedha
Kiwango cha ubadilishaji wa fedha $Q(t)$ (vitengo vya sarafu ya ndani kwa kila kitengo cha sarafu ya kigeni) na mwelekeo wake (drift) vimeundwa kama: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ Hapa, $\theta(t)$ ni kiwango cha wastani cha ukuaji wa papo hapo kinachofuata mchakato wa OU, na kinachukua sifa za kurudia wastani zinazotokea kwa viwango vya ubadilishaji wa fedha vinavyoathiriwa na mambo ya kimakro ya kiuchumi kama tofauti za mfumuko wa bei na usawa wa viwango vya riba (Fama, 1984). $W_Q(t)$ na $W_\theta(t)$ ni miendo ya Brownian inayohusiana.
3. Tatizo la Uboreshaji
3.1 Kazi ya Lengo
Acha $X(t)$ iwe jumla ya utajiri katika sarafu ya ndani. Mtoa bima hudhibiti kiasi $\pi(t)$ kilichowekeza katika mali ya hatari ya kigeni. Lengo ni kuongeza matumizi ya kielelezo yanayotarajiwa ya utajiri wa mwisho kwa wakati $T$: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ ambapo $\gamma > 0$ ni mgawo wa kudharau hatari kamili. Matumizi ya kielelezo yanarahisisha mlinganyo wa HJB kwani yanaondoa utegemezi wa utajiri katika mkakati bora chini ya hali fulani.
3.2 Mlinganyo wa Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)
Acha $V(t, x, \theta)$ iwe kazi ya thamani. Mlinganyo wa HJB unaohusishwa ni: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ na hali ya mwisho $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$. Opereta tofauti $\mathcal{L}^{\pi}$ hujumuisha mienendo ya $X(t)$, $\theta(t)$, na uhusiano wao. Kutatua hii PDE ndio changamoto kuu ya kianalitiki.
4. Suluhisho la Kianalitiki
4.1 Mkakati Bora wa Uwekezaji
Makala yanapata uwekezaji bora katika mali ya hatari ya kigeni kama: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{Vigezo vya Marekebisho vinavyohusisha } \theta(t)$$ Fomula hii ina tafsiri ya kawaida: neno la kwanza ni suluhisho la aina ya Merton (Merton, 1969), ambapo uwekezaji ni sawia na faida ya ziada ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) na kinyume na hatari ($\gamma$ na tofauti ya jumla). Vigezo vya marekebisho vinazingatia hali ya nasibu ya mwelekeo (drift) wa kiwango cha ubadilishaji wa fedha $\theta(t)$ na uhusiano wake na michakato mingine.
4.2 Kazi ya Thamani
Kazi ya thamani inapatikana kuwa ya fomu: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ ambapo $A(t)$, $B(t)$, na $C(t)$ ni kazi za wakati zilizobainishwa zinazokidhi mfumo wa milinganyo tofauti ya kawaida (milinganyo ya Riccati). Muundo huu ni wa kawaida katika matatizo ya udhibiti wa mraba wa mstari na manufaa ya kielelezo.
5. Uchambuzi wa Nambari
Makala yanaonyesha uchambuzi wa nambari kuonyesha tabia ya mkakati bora. Uchunguzi muhimu unajumuisha:
- Unyeti kwa $\theta(t)$: Uwekezaji bora $\pi^*(t)$ huongezeka wakati matarajio ya kuongezeka kwa thamani ya kiwango cha ubadilishaji wa fedha $\theta(t)$ ni ya juu, na kuhimiza uwekezaji katika mali ya kigeni.
- Athari ya Kudharau Hatari ($\gamma$): Kudharau hatari zaidi kunapunguza kwa kiasi kikubwa nafasi katika mali ya hatari ya kigeni, kama ilivyotarajiwa.
- Athari ya Uhusiano: Uhusiano hasi kati ya faida ya mali ya kigeni na mabadiliko ya kiwango cha ubadilishaji wa fedha ($\rho_{fQ}$) unaweza kutumika kama kinga ya asili, na kuruhusu nafasi kubwa bora.
6. Uelewa Mkuu na Mtazamo wa Mchambuzi
Uelewa Mkuu: Makala haya sio tu marekebisho madogo ya ziada kwa muundo wa uwekezaji wa bima. Mchango wake wa msingi ni kuunganisha rasmi hatari ya nasibu ya sarafu katika mfumo wa usimamizi wa mali na deni wa mtoa bima. Kwa kuunda mwelekeo (drift) wa kiwango cha ubadilishaji wa fedha kama mchakato wa kurudia wastani wa OU, waandishi wanapita zaidi ya miundo rahisi ya vigezo visivyobadilika na wanashika ukweli muhimu kwa wabima wa kimataifa: hatari ya sarafu ni kipengele cha kudumu, cha kienyeji ambacho lazima kisimamiwe kikamilifu, sio tu ada ya ubadilishaji tuli.
Mtiririko wa Mantiki: Mantiki ni sahihi na inafuata mwongozo wa kawaida wa udhibiti wa nasibu: (1) Panua ziada ya Cramér-Lundberg kwa mtawanyiko, (2) Weka safu juu ya soko la sarafu mbili na kiwango cha ubadilishaji wa fedha cha nasibu, (3) Fafanua lengo la matumizi ya kielelezo, (4) Pata mlinganyo wa HJB, (5) Tumia utenganishaji wa matumizi ya kielelezo kukisia fomu ya suluhisho, na (6) Tatua milinganyo ya Riccati inayotokana. Hii ni njia iliyotembea sana lakini yenye ufanisi, sawa katika roho na kazi ya msingi ya Fleming na Soner (2006) juu ya mtawanyiko unaodhibitiwa.
Nguvu na Mapungufu: Nguvu: Uzuri wa muundo ndio nguvu yake kuu. Mchanganyiko wa matumizi ya kielelezo na mienendo ya affine kwa $\theta(t)$ hutoa suluhisho linaloweza kufuatiliwa, la fomu iliyofungwa—jambo la nadra katika matatizo ya udhibiti wa nasibu. Hii hutoa takwimu za kulinganisha wazi. Ujumuishaji wazi wa uhusiano kati ya faida ya mali na sarafu pia unastahili sifa, kwani unakiri kwamba hatari hizi hazijatengwa. Mapungufu: Dhana za muundo ndio kisigino cha Theti. Makadirio ya mtawanyiko ya ziada ya bima yanaondoa hatari ya kuruka (kiini cha madai ya bima), na kwa uwezekano kudhania chini hatari ya mkia. Mchakato wa OU kwa $\theta(t)$, ingawa unarudia wastani, huenda usishike "mabadiliko ya hali ya kufungwa" au upungufu wa ghafla wa thamani unaoonekana katika masoko yanayoibuka. Zaidi ya hayo, muundo hauzingati gharama za shughuli na vikwazo kama kutouza kifedha, ambavyo ni muhimu kwa utekelezaji wa vitendo. Ikilinganishwa na mbinu thabiti zaidi kama ujifunzaji wa kina wa kuimarisha kwa uboreshaji wa portfoli (Theate & Ernst, 2021), muundo huu unahisi kuwa safi kwa uchambuzi lakini kwa uwezekano dhaifu katika ulimwengu wa kweli.
Uelewa Unaoweza Kutekelezwa: Kwa Maafisa Mkuu wa Uwekezaji katika wabima wa kimataifa, utafiti huu unasisitiza kwamba kinga ya sarafu haiwezi kuwa wazo la baadaye. Mkakati bora ni wa kienyeji na unategemea hali ya sasa ya mwelekeo (drift) wa kiwango cha ubadilishaji wa fedha ($\theta(t)$), ambayo lazima ikadiriwe kila wakati. Watendaji wanapaswa: 1. Jenga Injini za Makadirio: Unda vichungi thabiti vya Kalman au njia za MLE kukadiria hali ya siri $\theta(t)$ na vigezo vyake ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) kwa wakati halisi. 2. Jaribu Kupita OU: Tumia mfumo wa muundo lakini badilisha mchakato wa OU na miundo ngumu zaidi (mfano, kubadilisha hali) katika uchambuzi wa hali ili kupima uthabiti wa mkakati. 3. Zingatia Uhusiano: Fuatilia na uunde kwa uangalifu uhusiano ($\rho_{fQ}$) kati ya faida ya mali ya kigeni na mienendo ya sarafu, kwani ndio kiamuzi muhimu cha uwiano wa kinga na mfiduo bora.
7. Maelezo ya Kiufundi na Mfumo wa Kihisabati
Mashine kuu ya kihisabati ni mlinganyo wa Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) kutoka kwa nadharia ya udhibiti bora wa nasibu. Mienendo ya utajiri katika sarafu ya ndani, kwa kuzingatia uwekezaji $\pi(t)$ katika mali ya kigeni, ni: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ Mlinganyo wa HJB kwa kazi ya thamani $V(t,x,\theta)$ ni: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ Dhana ya matumizi ya kielelezo $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ inarahisisha hii kuwa PDE kwa $\phi(t,\theta)$, ambayo kwa nadharia ya quadratic $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ hutoa milinganyo ya Riccati kwa $A(t), B(t), C(t)$.
8. Mfumo wa Uchambuzi: Kesi ya Vitendo
Hali: Mtoa bima wa Japani asiye na bima ya maisha (sarafu ya ndani: JPY) ana ziada kutoka kwa shughuli zake za ndani. Anazingatia kuwekeza sehemu ya mali zake katika hisa za teknolojia za Marekani (mali ya kigeni, USD). Lengo ni kuamua mgawo bora wa kienyeji wa mali hii ya kigeni kwa upeo wa miaka 5.
Utumiaji wa Mfumo:
- Usawazishaji wa Vigezo:
- Ziada (JPY): Kadiria $c$, $\lambda$, $\mu_Y$ kutoka kwa data ya kihistoria ya madai ili kupata mwelekeo (drift) $(c-\lambda\mu_Y)$ na msukosuko $\sigma_R$.
- Hisa za Teknolojia za Marekani (USD): Kadiria faida inayotarajiwa $\mu_f$ na msukosuko $\sigma_f$ kutoka kwa faharasa ya kigezo (mfano, Nasdaq-100).
- Kiwango cha Ubadilishaji wa USD/JPY: Tumia data ya kihistoria kusawazisha vigezo vya mchakato wa OU kwa $\theta(t)$: wastani wa muda mrefu $\bar{\theta}$, kasi ya kurudia wastani $\kappa$, na msukosuko $\sigma_\theta$. Kadiria uhusiano ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ n.k.).
- Viwango vya Bila Hatari: Tumia faida ya Dhamana ya Serikali ya Japani (JGB) kwa $r_d$ na faida ya Hazina ya Marekani (iliyobadilishwa kuwa muundo wa muundo).
- Kudharau Hatari: Weka $\gamma$ kulingana na utoshelevu wa mtaji wa kampuni na uvumilivu wa hatari.
- Hesabu ya Mkakati: Ingiza vigezo vilivyosawazishwa kwenye fomula ya $\pi^*(t)$. Hii inahitaji thamani ya sasa iliyokadiriwa ya hali ya siri $\theta(t)$, ambayo inaweza kuchujwa kutoka kwa mienendo ya hivi karibuni ya kiwango cha ubadilishaji wa fedha.
- Matokeo na Ufuatiliaji: Muundo hutoa mgawo wa lengo unaobadilika kwa wakati. Hazina ya mtoa bima ingebadilisha uwiano wake wa kinga ya FX na mgawo wa hisa ipasavyo. Makadirio ya $\theta(t)$ lazima yasasishwe mara kwa mara (mfano, kila mwezi), na kusababisha usawazishaji upya wa kienyeji.
9. Matumizi ya Baadaye na Mwelekeo wa Utafiti
Muundo huo unafungua njia kadhaa za upanuzi na utumiaji wa vitendo:
- Portfoli za Sarafu Nyingi: Kupanua muundo kwa sarafu za kigeni zaidi ya moja na mali, kusimamia mtandao wa uhusiano wa kuvuka sarafu. Hii inalingana na mahitaji ya wabima wa kimataifa.
- Kujumuishwa kwa Hatari za Kuruka: Kubadilisha makadirio ya mtawanyiko na mchakato wa kuruka-mtawanyiko au Lévy unaofaa zaidi kwa ziada ya bima ili kuunda bora madai ya mshtuko, kwa kutumia mbinu kutoka kwa Surya (2022) juu ya udhibiti bora chini ya michakato ya kuruka.
- Miundo ya Kubadilisha Hali: Kuunda $\theta(t)$ au vigezo vya soko na mchakato wa kubadilisha hali wa Markov ili kushika sera tofauti za fedha au mizunguko ya kiuchumi, kama inavyoonekana katika kazi za Elliott et al.
- Ujumuishaji wa Ujifunzaji wa Mashine: Kutumia mitandao ya LSTM au wakala wa ujifunzaji wa kuimarisha kukadiria hali ya siri $\theta(t)$ na mienendo yake kutoka kwa data ya soko ya mzunguko wa juu, na kupita dhana ya parametric ya OU.
- Ujumuishaji wa ALM: Kuingiza muundo huu wa uwekezaji katika mfumo mpana wa Usimamizi wa Mali na Deni (ALM) ambao pia huboresha bei ya bidhaa za bima na mikakati ya bima tena.
- Fedha Zisizo na Kituo (DeFi): Kutumia muundo kusimamia hazina ya itifaki ya bima isiyo na kituo (mfano, Nexus Mutual) ambayo inashikilia mali ya crypto katika sarafu nyingi za asili za blockchain, ambapo msukosuko wa kiwango cha ubadilishaji wa fedha ni mkali.
10. Marejeo
- Browne, S. (1995). Sera Bora za Uwekezaji kwa Kampuni yenye Mchakato wa Hatari wa Nasibu: Matumizi ya Kielelezo na Kupunguza Uwezekano wa Kufilisika. Hisabati ya Utafiti wa Uendeshaji, 20(4), 937-958.
- Fama, E. F. (1984). Viwango vya ubadilishaji wa fedha vya mbele na papo hapo. Jarida la Uchumi wa Fedha, 14(3), 319-338.
- Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Michakato ya Markov Iliyodhibitiwa na Suluhisho la Mnato (Toleo la 2). Springer.
- Grandell, J. (1991). Vipengele vya Nadharia ya Hatari. Springer-Verlag.
- Merton, R. C. (1969). Uchaguzi wa Portfoli ya Maisha chini ya Kutokuwa na Hakika: Kesi ya Muda Endelevu. Jarida la Uchumi na Takwimu, 51(3), 247-257.
- Schmidli, H. (2002). Juu ya kupunguza uwezekano wa kufilisika kwa uwekezaji na bima tena. Annals ya Uwezekano wa Kutumika, 12(3), 890-907.
- Surya, B. A. (2022). Uwekezaji bora na bima tena kwa mtoa bima chini ya miundo ya kuruka-mtawanyiko. Jarida la Kitabu cha Aktuaria la Scandinavia, 2022(5), 401-429.
- Theate, T., & Ernst, D. (2021). Matumizi ya Ujifunzaji wa kina wa Kuimarisha kwa Biashara ya Algorithmic. Mifumo ya Mtaalamu na Matumizi, 173, 114632.
- Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Udhibiti Bora wa Uwekezaji kwa Mtoa Bima katika Masoko ya Sarafu Mbili. Chapisho la awali la arXiv arXiv:2006.02857.