Zamanla Değişen Oynaklığa Sahip Zaman Serilerinde Hata Otokovaryansının Bayesci Parametrik Olmayan Tahmini

1. Giriş

Değişen varyans (heteroskedastisite), Engle (1982) tarafından ARCH modeli ile ortaya konduğu üzere, birçok ekonomik ve finansal zaman serisinin temel bir özelliğidir. Hata otokovaryansını modellemeye yönelik geleneksel yaklaşımlar genellikle kısıtlayıcı parametrik yapılar dayatmakta ve model yanlış belirlenmesi riski taşımaktadır. Bu makale, hata otokovaryans fonksiyonunun spektral yoğunluğunu tahmin etmek için bir Bayesci parametrik olmayan yöntem önermektedir. Bu yöntem, problemi frekans alanına taşıyarak, zaman alanındaki çekirdek yöntemlerde bant genişliği seçiminin karmaşıklıklarından kaçınmaktadır. Çerçeve, hem sabit hem de zamanla değişen hata oynaklığını ele alacak şekilde genişletilmiş olup, uygulamalar, rassal yürüyüş modeli gibi kıyaslama modellerine kıyasla döviz kuru tahmininde üstün performans sergilemektedir.

2. Metodoloji

Temel metodoloji, model parametrelerinin, zamanla değişen oynaklığın ve hata sürecinin spektral yoğunluğunun ortak tahmini için hiyerarşik bir Bayesci çerçeve içermektedir.

2.1 Model Çerçevesi

Temel model bir regresyon çerçevesidir: $y = X\beta + \epsilon$, burada $\epsilon_t = \sigma_{\epsilon, t} e_t$. Burada, $e_t$, otokorelasyon fonksiyonu $\gamma(\cdot)$ ve spektral yoğunluğu $\lambda(\cdot)$ olan standartlaştırılmış, zayıf durağan bir Gauss sürecidir. Zamanla değişen oynaklık $\sigma^2_{\epsilon, t}$ esnek bir şekilde modellenmekte, genellikle B-spline fonksiyonları ile temsil edilen bir log dönüşümü kullanılmaktadır.

2.2 Bayesci Parametrik Olmayan Spektral Tahmin

Dey ve diğerlerini (2018) takiben, log spektral yoğunluk üzerine, $\log \lambda(\omega)$, bir Gauss süreci önseli yerleştirilir. Bu önsel esnektir ve kısıtlayıcı parametrik varsayımlardan kaçınır. Hesaplama verimliliği için frekans alanında Whittle olabilirlik yaklaşımı kullanılır. $\lambda(\omega)$ ve dolayısıyla $\gamma(\cdot)$ için sonsal çıkarım, Markov Zinciri Monte Carlo (MCMC) yöntemleri aracılığıyla yapılır.

2.3 Zamanla Değişen Oynaklık Modellemesi

Zamanla değişen durum için, $\log(\sigma^2_{\epsilon, t})$, tipik olarak B-spline temel fonksiyonlarının doğrusal bir kombinasyonu kullanılarak zamanın düzgün bir fonksiyonu olarak modellenir: $\log(\sigma^2_{\epsilon, t}) = \sum_{j=1}^J \theta_j B_j(t)$. Katsayılar $\theta_j$ üzerine, düzgünlüğü teşvik eden önsel dağılımlar yerleştirilir.

3. Deneysel Sonuçlar & Analiz

3.1 Simülasyon Çalışması

Yöntem, bilinen otokorelasyon yapılarına (örn., ARMA tipi) ve stokastik oynaklık örüntülerine sahip simüle edilmiş veriler üzerinde doğrulanmıştır. Anahtar metrikler, gerçek spektral yoğunluğun geri kazanımındaki doğruluk ve güvenilirlik aralıklarının kapsamını içermektedir. Parametrik olmayan Bayesci yaklaşım, farklı veri üretim süreçlerinde gürbüz bir performans göstermiş, gecikme yapısına dair önsel bilgi olmaksızın hem kısa hem de uzun menzilli bağımlılığı etkili bir şekilde yakalamıştır.

3.2 Döviz Kuru Tahmini Uygulaması

Ana ampirik uygulama, büyük para birimi döviz kurlarının (örn., USD/EUR, USD/JPY) tahmin edilmesini içermiştir.

Tahmin Performansı Özeti

Kıyaslama: Driftsiz Rassal Yürüyüş, GARCH(1,1), parametrik ARIMA.

Metrik: Birden fazla örnek dışı dönem için Kök Ortalama Kare Tahmin Hatası (RMSEF) ve Ortalama Mutlak Tahmin Hatası (MAFE).

Sonuç: Önerilen Bayesci parametrik olmayan model, tutarlı bir şekilde rassal yürüyüş kıyaslamasını geride bırakmış ve standart GARCH ve parametrik zaman serisi modelleriyle rekabet ederek genellikle onları geçmiştir. İyileşme, esnek oynaklık modellemesinin avantaj sağladığı yüksek piyasa oynaklığı dönemlerinde özellikle dikkat çekici olmuştur.

Grafik Açıklaması: Bir çizgi grafiği tipik olarak, önerilen modelin, rassal yürüyüş ve GARCH'a karşı örnek dışı tahmin yollarını gösterir. Önerilen modelin tahminleri, özellikle dönüm noktaları ve oynak evreler civarında, gerçekleşen döviz kuru yoluna daha yakın bir şekilde uyum sağlar. Bir çubuk grafiği, modeller arasında RMSEF/MAFE'yi karşılaştırır ve önerilen yöntem en kısa çubuğa sahip olur.

4. Temel İçgörü & Analist Perspektifi

Temel İçgörü: Bu makale, zaman serisi modellemeye, genellikle gözden kaçan ancak çok önemli bir yükseltme sunmaktadır: hata bağımlılığını, varsayılan değil, öğrenilmesi gereken birinci sınıf bir vatandaş olarak ele almak. Otokovaryans yapısının tamamını spektral yoğunluğu üzerinden parametrik olmayan şekilde tahmin ederek, birçok modelin Aşil topuğu olan yanlış belirlenmiş hata dinamiklerine doğrudan saldırır. Zamanla değişen oynaklığın eklenmesi sadece fazladan bir özellik değil; finansal veriler için gerçekçiliğin gerekli bir katmanıdır ve bu da modeli, döviz piyasaları gibi oynaklık kümelerinin olduğu ortamlar için güçlü bir araç haline getirir.

Mantıksal Akış: Argüman zariftir. Adım 1: Parametrik hata modellerinin bir yükümlülük olduğunu kabul et. Adım 2: Parametrik olmayan tahmini zarif bir şekilde ele almak için frekans alanına geç (bant genişliği seçimi lanetinden kaçınarak). Adım 3: Log-spektrum üzerinde matematiksel olarak sağlam ve esnek bir seçim olan bir Gauss süreci önseli kullan. Adım 4: Bunu, ölçek ve bağımlılığın gerçek verilerde iç içe geçtiğini kabul ederek, zamanla değişen bir oynaklık modeli ile bütünleştir. Adım 5: Finanstaki en zor kıyaslamayı geçerek doğrula: döviz kurları için rassal yürüyüş. Problem tanımlamasından teknik çözüme ve ampirik kanıta kadar olan akış tutarlı ve ikna edicidir.

Güçlü & Zayıf Yönler: Gücü, kapsamlı esnekliğidir. Veriyi bir ARMA veya GARCH kutusuna zorlamaz. Whittle olabilirliği ve MCMC kullanımı standart ancak etkilidir. Birçok Bayesci parametrik olmayan yöntemde olduğu gibi zayıf yönü, hesaplama maliyetidir. Çok uzun seriler için Gauss süreçleri ve spline'lar için MCMC önemsiz değildir. Makale ayrıca ağırlıklı olarak döviz kuru örneğine dayanmaktadır; daha çeşitli uygulamalar (örn., makroekonomi, enerji) genellenebilirlik iddiasını güçlendirecektir. Ayrıca, Dey ve diğerlerini (2018) atıfta bulunsa da, zamanla değişen oynaklıkla bütünleşme gibi kendi özgün katkısının daha net bir şekilde ayırt edilmesi daha keskin olabilir.

Eyleme Dönüştürülebilir İçgörüler: Kantitatif analistler ve ekonometristler için: Bu, standart modellerin başarısız olduğu yüksek riskli tahminler için hazır bir çerçevedir. Kodun GitHub'da olması büyük bir artıdır. Acil eylem, hata yapısından şüphelenilen özel veri setleri üzerinde test etmektir. Araştırmacılar için: Metodoloji bir şablondur. Spektrum üzerine GP fikri diğer gizli değişken modellerine taşınabilir. Bir sonraki mantıklı adım, yüksek boyutlu ortamları ele almak veya, zaman serileri için modern derin öğrenmede görüldüğü gibi (örn., Temporal Fusion Transformer'lardan ilham alan mimariler), sinir ağlarına dayalı olanlar gibi diğer parametrik olmayan önsel dağılımları dahil etmektir. Alan, Alan Turing Enstitüsü gibi yerlerden gelen incelemelerde belirtildiği gibi, Bayesci parametrik olmayan yöntemleri derin öğrenme ile birleştiren hibrit modellere doğru ilerlemektedir ve bu çalışma verimli bir kesişimde yer almaktadır.

5. Teknik Detaylar

Anahtar Matematiksel Formülasyonlar:

Model: $y_t = x_t'\beta + \epsilon_t, \quad \epsilon_t = \sigma_{\epsilon, t} e_t$.
Hata Süreci: $e_t \sim \text{GP}(0, \gamma)$, $\text{Cov}(e_t, e_{t-k}) = \gamma(k)$ ile.
Spektral Yoğunluk: $\lambda(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \gamma(k) e^{-i k \omega}, \quad \omega \in [-\pi, \pi]$.
Spektrum için Önsel: $\log \lambda(\omega) \sim \text{GP}(\mu(\omega), C(\omega, \omega'))$, burada $C$ uygun bir kovaryans çekirdeğidir.
Oynaklık Modeli: $\log(\sigma^2_{\epsilon, t}) = \sum_{j=1}^J \theta_j B_j(t), \quad \theta \sim N(0, \tau^2 I)$.
Olabilirlik (Whittle Yaklaşımı): $p(I(\omega_j) | \lambda(\omega_j)) \approx \frac{1}{\lambda(\omega_j)} \exp\left(-\frac{I(\omega_j)}{\lambda(\omega_j)}\right)$, burada $I(\omega_j)$, Fourier frekansı $\omega_j$'deki periyodogramdır.

6. Analiz Çerçevesi Örneği

Senaryo: Bir kripto paranın (örn., Bitcoin) günlük getirilerini analiz ederek oynaklık ve bağımlılık yapısını tahmin etmek.

Çerçeve Adımları (Kavramsal):

Ön İşleme: Log getirileri elde et. İsteğe bağlı olarak, çok düşük frekanslı trendleri çıkar.
Model Belirleme:
- Ortalama denklemi: Muhtemelen basit bir sabit veya AR(1) terimi: $r_t = \mu + \phi r_{t-1} + \epsilon_t$.
- Hata ayrıştırması: $\epsilon_t = \sigma_t e_t$.
- $\log(\sigma^2_t)$ için B-spline temelini belirle (örn., örneklem dönemi üzerinde 20 düğüm).
- $\log \lambda(\omega)$ için Gauss süreci önselini belirle (örn., Matern kovaryans çekirdeği ile).
Önsel Belirleme: GP düzgünlüğü, spline katsayı varyansı ($\tau^2$) ve regresyon parametreleri ($\beta$) için hiperparametreleri ayarla. Zayıf bilgilendirici önsel dağılımlar kullan.
Sonsal Hesaplama: $ (\beta, \theta, \lambda(\cdot)) $'ın ortak sonsalından örnekler çekmek için bir MCMC örnekleyici uygula (örn., Stan içinde Hamiltonian Monte Carlo veya özel Gibbs örnekleyici).
Çıkarım & Tahmin:
- Oynaklık evrimini görmek için $\sigma_t$'nin sonsal ortalaması/medyanını incele.
- Bağımlılığın frekans yapısını anlamak için $\lambda(\omega)$'nın sonsal ortalamasını çiz.
- Otokorelasyon fonksiyonu $\gamma(k)$'nın bir tahminini elde etmek için $\lambda(\omega)$'yı zaman alanına geri dönüştür.
- Sonsal örnekleri kullanarak gelecekteki getiriler için tahmin dağılımları oluştur.

Not: Yazarların GitHub'daki kod deposu, uygulama için pratik bir başlangıç noktası sağlamaktadır.

7. Gelecekteki Uygulamalar & Yönelimler

Yüksek Frekanslı Finans: Modeli, mikro yapı gürültüsü ve ultra yüksek boyutlu spektral tahmin ile gün içi verileri işleyecek şekilde uyarlamak.
Çok Değişkenli Uzantılar: Portföy analizi ve yayılma çalışmaları için kritik olan, bir vektör hata sürecinin çapraz spektral yoğunluk matrisi için Bayesci parametrik olmayan bir model geliştirmek.
Derin Öğrenme ile Bütünleşme: Son derece karmaşık, durağan olmayan bağımlılık örüntülerini yakalamak için GP önselini, "CycleGAN" gibi makalelerdeki yenilik ruhunu izleyerek ancak zaman serisi spektrumlarına uygulanan, derin bir üretici modelle (örn., spektral alanda bir Varyasyonel Otokodlayıcı) değiştirmek.
Gerçek Zamanlı Tahmin Sistemleri: Gerçek zamanlı risk yönetimi ve algoritmik ticaret platformları için ölçeklenebilir, yaklaşık çıkarım versiyonları oluşturmak (örn., Stokastik Varyasyonel Çıkarım kullanarak).
Makro-Finans: Merkez bankaları ve politika kurumları tarafından kullanılan büyük Bayesci VAR'lardaki hata yapısını modellemek için çerçeveyi uygulamak; burada yanlış belirlenmiş şok dinamikleri hatalı politika sonuçlarına yol açabilir.

8. Referanslar

Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50(4), 987-1007.
Kim, K., & Kim, K. (2016). Time-varying volatility and macroeconomic uncertainty. Economics Letters, 149, 24-28.
Dey, D., Kim, K., & Roy, A. (2018). Bayesian nonparametric spectral density estimation for irregularly spaced time series. Journal of the American Statistical Association, 113(524), 1551-1564.
Kim, K. (2011). Hierarchical Bayesian analysis of structural instability in macroeconomic time series. Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics, 15(4).
Whittle, P. (1953). Estimation and information in stationary time series. Arkiv för Matematik, 2(5), 423-434.
Zhu, J. Y., Park, T., Isola, P., & Efros, A. A. (2017). Unpaired image-to-image translation using cycle-consistent adversarial networks. Proceedings of the IEEE international conference on computer vision (CycleGAN makalesi, gelişmiş, esnek üretici modelleme örneği olarak).
Alan Turing Institute. (2023). Research Themes: Data-Centric Engineering and AI for Science. (Hibrit AI/istatistik yöntemleri bağlamı için).