Dil Seçin

İki Para Piyasasında Bir Sigortacı için Optimal Yatırım: Stokastik Kontrol Analizi

Stokastik döviz kurları altında, bir sigortacının yerli ve yabancı piyasalardaki optimal yatırım stratejisinin HJB denklemleri ve üstel fayda fonksiyonu kullanılarak analizi.
computecurrency.net | PDF Size: 0.3 MB
Değerlendirme: 4.5/5
★ ★ ★ ★ ★
Değerlendirmeniz
Bu belgeyi zaten değerlendirdiniz
PDF Belge Kapağı - İki Para Piyasasında Bir Sigortacı için Optimal Yatırım: Stokastik Kontrol Analizi
PDF Belgesini Görüntüle PDF İndir PDF Çevir
Ana Sayfa » Dokümantasyon » İki Para Piyasasında Bir Sigortacı için Optimal Yatırım: Stokastik Kontrol Analizi

İçindekiler

1. Giriş

Bu makale, aktüerya bilimi ve finansal matematikte kritik bir boşluğu ele almaktadır: birden fazla para piyasasında faaliyet gösteren bir sigorta şirketi için optimal yatırım stratejisi. Browne (1995) ve Schmidli (2002) gibi geleneksel modeller, öncelikle tek para birimli ortamlara odaklanır. Ancak, giderek küreselleşen bir ekonomide, sigortacılar farklı para birimlerinde ifade edilen varlık ve yükümlülükleri yönetmek zorundadır, bu da onları döviz kuru riskine maruz bırakır. Bu araştırma, klasik Cramér-Lundberg fazla modelini, Ornstein-Uhlenbeck (OU) süreci ile modellenen stokastik bir döviz kuru dahil ederek, iki para birimli bir ortama genişletmektedir. Amaç, sigorta finansında yaygın bir riskten kaçınma kriteri olan, terminal servetin beklenen üstel faydasını maksimize etmektir.

2. Model Formülasyonu

2.1 Fazla Süreci

Sigortacının fazla süreci $R(t)$, klasik Cramér-Lundberg modelinin difüzyon yaklaşımı kullanılarak modellenmiştir: $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ Burada $c$ prim oranı, $\lambda$ hasar geliş yoğunluğu, $\mu_Y$ ortalama hasar büyüklüğü ve $W_R(t)$ standart bir Brown hareketidir. Bu yaklaşım, analitik işlenebilirlik için bileşik Poisson sürecini basitleştirir; bu, literatürde yaygın bir tekniktir (bkz. Grandell, 1991).

2.2 Finansal Piyasa

Sigortacı şunlara yatırım yapabilir:

  1. Yerel Risksiz Varlık: $dB(t) = r_d B(t) dt$, faiz oranı $r_d$.
  2. Yabancı Riskli Varlık: Geometrik bir Brown hareketi ile modellenmiştir: $dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$.
Ana yenilik, yabancı varlıklara yatırıma izin verilmesi ve dolayısıyla döviz kuru modellemesini gerektirmesidir.

2.3 Döviz Kuru Dinamikleri

Döviz kuru $Q(t)$ (birim yabancı para başına yerel para birimi) ve onun drift'i şu şekilde modellenmiştir: $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ Burada, $\theta(t)$, döviz kurlarının enflasyon farkları ve faiz oranı paritesi gibi makroekonomik faktörlerden etkilenen tipik ortalamaya dönüş özelliklerini yakalayan, bir OU süreci izleyen anlık ortalama büyüme oranıdır (Fama, 1984). $W_Q(t)$ ve $W_\theta(t)$ korelasyonlu Brown hareketleridir.

3. Optimizasyon Problemi

3.1 Amaç Fonksiyonu

$X(t)$ yerel para cinsinden toplam servet olsun. Sigortacı, yabancı riskli varlığa yatırılan $\pi(t)$ miktarını kontrol eder. Amaç, $T$ zamanındaki terminal servetin beklenen üstel faydasını maksimize etmektir: $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ Burada $\gamma > 0$ sabit mutlak riskten kaçınma katsayısıdır. Üstel fayda, belirli koşullar altında optimal stratejide servet bağımlılığını ortadan kaldırdığı için HJB denklemini basitleştirir.

3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman Denklemi

$V(t, x, \theta)$ değer fonksiyonu olsun. İlişkili HJB denklemi şudur: $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ terminal koşulu $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$ ile. Diferansiyel operatör $\mathcal{L}^{\pi}$, $X(t)$, $\theta(t)$ dinamiklerini ve bunların korelasyonlarını içerir. Bu KDB'yi çözmek temel analitik zorluktur.

4. Analitik Çözüm

4.1 Optimal Yatırım Stratejisi

Makale, yabancı riskli varlıktaki optimal yatırımı şu şekilde türetmiştir: $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{$\theta(t)$ içeren Düzeltme Terimleri}$$ Bu formül sezgisel bir yoruma sahiptir: ilk terim klasik bir Merton-tipi çözümdür (Merton, 1969), burada yatırım fazla getiri ($\mu_f + \theta(t) - r_d$) ile orantılı ve riske ($\gamma$ ve toplam varyans) ters orantılıdır. Düzeltme terimleri, döviz kuru drift'i $\theta(t)$'nin stokastik doğasını ve diğer süreçlerle korelasyonunu hesaba katar.

4.2 Değer Fonksiyonu

Değer fonksiyonunun şu formda olduğu bulunmuştur: $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ Burada $A(t)$, $B(t)$ ve $C(t)$, sıradan diferansiyel denklemlerden (Riccati denklemleri) oluşan bir sistemi sağlayan, zamana bağlı deterministik fonksiyonlardır. Bu yapı, üstel fayda ile doğrusal-kuadratik kontrol problemlerinde yaygındır.

5. Sayısal Analiz

Makale, optimal stratejinin davranışını göstermek için bir sayısal analiz sunmaktadır. Temel gözlemler şunları içerir:

Analiz muhtemelen $\theta(t)$ için yollar simüle etmeyi ve $\pi^*(t)$'yi zaman içinde çizmeyi, onun dinamik ve duruma bağlı doğasını göstermeyi içerir.

6. Temel İçgörü ve Analist Perspektifi

Temel İçgörü: Bu makale, sigortacı yatırım modeline yapılan başka bir artımsal ayar değildir. Temel katkısı, stokastik para birimi riskini sigortacının varlık-yükümlülük yönetimi çerçevesine resmi olarak entegre etmesidir. Döviz kuru drift'ini ortalamaya dönen bir OU süreci olarak modelleyerek, yazarlar basit sabit parametreli modellerin ötesine geçmekte ve küresel sigortacılar için önemli bir gerçekliği yakalamaktadır: döviz kuru riski, aktif olarak yönetilmesi gereken kalıcı, dinamik bir faktördür, sadece statik bir dönüşüm ücreti değildir.

Mantıksal Akış: Mantık sağlamdır ve kanonik stokastik kontrol şablonunu izler: (1) Cramér-Lundberg fazlasını bir difüzyona genişlet, (2) Stokastik bir döviz kuru ile iki para birimli bir piyasa ekle, (3) Üstel fayda amacını tanımla, (4) HJB denklemini türet, (5) Üstel faydanın ayrılabilirliğinden yararlanarak bir çözüm formu tahmin et, ve (6) Ortaya çıkan Riccati denklemlerini çöz. Bu, iyi bilinen ancak etkili bir yoldur ve Fleming ve Soner'in (2006) kontrollü difüzyonlar üzerine temel çalışmalarına benzer bir ruha sahiptir.

Güçlü ve Zayıf Yönler: Güçlü Yönler: Modelin zarafeti ana gücüdür. Üstel fayda ve $\theta(t)$ için afin dinamiklerin kombinasyonu, stokastik kontrol problemlerinde nadir görülen, işlenebilir, kapalı formda bir çözüm üretir. Bu, net karşılaştırmalı statikler sağlar. Varlık ve para birimi getirileri arasındaki korelasyonun açık bir şekilde dahil edilmesi de takdire şayandır, çünkü bu risklerin izole olmadığını kabul eder. Zayıf Yönler: Modelin varsayımları onun Aşil topuğudur. Sigorta fazlasının difüzyon yaklaşımı, sıçrama riskini (sigorta hasarlarının özü) ortadan kaldırarak, kuyruk riskini hafife alabilir. $\theta(t)$ için OU süreci, ortalamaya dönse de, gelişmekte olan piyasalarda görülen "sabit kur rejimi değişimlerini" veya ani devalüasyonları yakalayamayabilir. Ayrıca, model, pratik uygulama için kritik olan işlem maliyetlerini ve kısa satış yasağı gibi kısıtlamaları göz ardı eder. Portföy optimizasyonu için derin pekiştirmeli öğrenme gibi daha sağlam yaklaşımlarla karşılaştırıldığında (Theate & Ernst, 2021), bu model analitik olarak temiz ancak gerçek dünyada potansiyel olarak kırılgan hissettirmektedir.

Uygulanabilir İçgörüler: Küresel sigortacılardaki Baş Yatırım Sorumluları için bu araştırma, döviz hedging'inin sonradan düşünülecek bir şey olmadığını vurgulamaktadır. Optimal strateji dinamiktir ve sürekli olarak tahmin edilmesi gereken döviz kuru drift'inin ($\theta(t)$) mevcut durumuna bağlıdır. Uygulayıcılar şunları yapmalıdır: 1. Tahmin Motorları Geliştirin: Gizli durum $\theta(t)$'yi ve parametrelerini ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$) gerçek zamanlı olarak tahmin etmek için sağlam Kalman filtreleri veya MLE yöntemleri geliştirin. 2. OU Ötesinde Stres Testi Yapın: Modelin çerçevesini kullanın ancak OU sürecini, strateji dayanıklılığını ölçmek için senaryo analizinde daha karmaşık modellerle (ör. rejim değiştirme) değiştirin. 3. Korelasyona Odaklanın: Yabancı varlık getirileri ile para birimi hareketleri arasındaki korelasyonu ($\rho_{fQ}$) aktif olarak izleyin ve modelleyin, çünkü bu, hedge oranının ve optimal maruz kalmanın temel bir belirleyicisidir.

7. Teknik Detaylar ve Matematiksel Çerçeve

Temel matematiksel araç, stokastik optimal kontrol teorisinden Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) denklemidir. Yabancı varlıktaki $\pi(t)$ yatırımı dikkate alındığında, yerel para cinsinden servet dinamikleri şöyledir: $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ Değer fonksiyonu $V(t,x,\theta)$ için HJB denklemi şudur: $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ Üstel fayda varsayımı $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ bunu $\phi(t,\theta)$ için bir KDB'ye basitleştirir; bu da $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$ şeklindeki kuadratik bir tahminle, $A(t), B(t), C(t)$ için Riccati denklemlerini verir.

8. Analiz Çerçevesi: Pratik Bir Vaka

Senaryo: Japon bir hayat-dışı sigortacı (yerel para birimi: JPY), yerel operasyonlarından fazla tutmaktadır. Varlıklarının bir kısmını ABD teknoloji hisse senetlerine (yabancı varlık, USD) yatırmayı düşünmektedir. Amaç, 5 yıllık bir ufukta bu yabancı varlığa optimal dinamik tahsisatı belirlemektir.

Çerçeve Uygulaması:

  1. Parametre Kalibrasyonu:
    • Fazla (JPY): Tarihsel hasar verilerinden $c$, $\lambda$, $\mu_Y$'yi tahmin ederek drift $(c-\lambda\mu_Y)$ ve volatilite $\sigma_R$'yi elde edin.
    • ABD Teknoloji Hisse Senetleri (USD): Bir kıyas endeksinden (ör. Nasdaq-100) beklenen getiri $\mu_f$ ve volatilite $\sigma_f$'yi tahmin edin.
    • USD/JPY Döviz Kuru: $\theta(t)$ için OU süreci parametrelerini kalibre etmek için tarihsel verileri kullanın: uzun vadeli ortalama $\bar{\theta}$, ortalamaya dönüş hızı $\kappa$ ve volatilite $\sigma_\theta$. Korelasyonları ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ vb.) tahmin edin.
    • Risksiz Oranlar: $r_d$ için Japon Devlet Tahvili (JGB) getirisini ve ABD Hazine getirisini (modelin yapısına dönüştürülmüş) kullanın.
    • Riskten Kaçınma: Şirketin sermaye yeterliliği ve risk toleransına dayalı olarak $\gamma$'yı belirleyin.
  2. Strateji Hesaplaması: Kalibre edilmiş parametreleri $\pi^*(t)$ formülüne yerleştirin. Bu, son döviz kuru hareketlerinden filtrelenebilen gizli durum $\theta(t)$'nin mevcut tahmini değerini gerektirir.
  3. Çıktı ve İzleme: Model, zamanla değişen bir hedef tahsisat yüzdesi çıktısı verir. Sigortacının hazinesi, FX hedging oranını ve hisse senedi tahsisatını buna göre ayarlar. $\theta(t)$ tahmini periyodik olarak (ör. aylık) güncellenmeli, bu da dinamik yeniden dengelemeye yol açmalıdır.
Bu çerçeve, karmaşık bir çok para birimli tahsisat problemine sistematik, model odaklı bir yaklaşım sağlar.

9. Gelecekteki Uygulamalar ve Araştırma Yönleri

Model, genişletme ve pratik uygulama için çeşitli yollar açmaktadır:

10. Referanslar

  1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
  2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
  3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
  4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
  5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
  6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
  7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
  8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
  9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.