双币种市场中保险公司的最优投资策略：随机控制分析

目录

1. 引言

本文旨在填补精算科学与金融数学中的一个关键空白：保险公司在跨多个币种市场运营时的最优投资策略。传统模型，如Browne (1995) 和 Schmidli (2002) 的研究，主要聚焦于单一货币环境。然而，在日益全球化的经济中，保险公司必须管理以不同货币计价的资产与负债，从而面临外汇风险。本研究将经典的Cramér-Lundberg盈余模型扩展至双币种环境，并引入由Ornstein-Uhlenbeck (OU) 过程建模的随机汇率。目标是在保险金融中常见的风险厌恶准则下，最大化终端财富的期望指数效用。

2. 模型构建

2.1 盈余过程

保险公司的盈余过程 $R(t)$ 采用经典Cramér-Lundberg模型的扩散近似进行建模： $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ 其中，$c$ 是保费率，$\lambda$ 是理赔到达强度，$\mu_Y$ 是平均理赔额，$W_R(t)$ 是标准布朗运动。这种近似将复合泊松过程简化以便于解析处理，是文献中的常用技术（参见，例如，Grandell, 1991）。

2.2 金融市场

保险公司可以投资于：

1. 国内无风险资产： $dB(t) = r_d B(t) dt$，利率为 $r_d$。
2. 国外风险资产： 由几何布朗运动建模：$dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$。

本模型的关键创新在于允许投资于国外资产，这需要对汇率进行建模。

2.3 汇率动态

汇率 $Q(t)$（每单位外币兑换的本币数量）及其漂移率建模如下： $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ 此处，$\theta(t)$ 是遵循OU过程的瞬时平均增长率，捕捉了汇率受通胀差异和利率平价等宏观经济因素影响的典型均值回归特性（Fama, 1984）。$W_Q(t)$ 和 $W_\theta(t)$ 是相关的布朗运动。

3. 优化问题

3.1 目标函数

令 $X(t)$ 为以本币计的总财富。保险公司控制投资于国外风险资产的金额 $\pi(t)$。目标是在时间 $T$ 最大化终端财富的期望指数效用： $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ 其中 $\gamma > 0$ 是常数绝对风险厌恶系数。指数效用函数简化了HJB方程，因为在某些条件下，它消除了最优策略对财富的依赖。

3.2 哈密顿-雅可比-贝尔曼方程

令 $V(t, x, \theta)$ 为价值函数。相应的HJB方程为： $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ 终端条件为 $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$。微分算子 $\mathcal{L}^{\pi}$ 包含了 $X(t)$、$\theta(t)$ 的动态及其相关性。求解这个偏微分方程是核心的解析挑战。

4. 解析解

4.1 最优投资策略

本文推导出投资于国外风险资产的最优策略为： $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{涉及 } \theta(t) \text{ 的调整项}$$ 这个公式有一个直观的解释：第一项是经典的默顿型解（Merton, 1969），其中投资额与超额收益（$\mu_f + \theta(t) - r_d$）成正比，与风险（$\gamma$ 和总方差）成反比。调整项则考虑了汇率漂移率 $\theta(t)$ 的随机性及其与其他过程的相关性。

4.2 价值函数

价值函数的形式为： $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ 其中 $A(t)$、$B(t)$ 和 $C(t)$ 是满足一组常微分方程（Riccati方程）的确定性时间函数。这种结构在具有指数效用的线性二次控制问题中很常见。

5. 数值分析

本文进行了数值分析以说明最优策略的行为。主要观察包括：

• 对 $\theta(t)$ 的敏感性： 当预期汇率升值 $\theta(t)$ 较高时，最优投资 $\pi^*(t)$ 会增加，鼓励投资于国外资产。
• 风险厌恶 ($\gamma$) 的影响： 更高的风险厌恶程度会显著减少国外风险资产的持仓，这与预期一致。
• 相关性的影响： 国外资产回报与汇率变动之间的负相关性 ($\rho_{fQ}$) 可以起到自然对冲的作用，从而允许更大的最优持仓。

分析可能涉及模拟 $\theta(t)$ 的路径并绘制 $\pi^*(t)$ 随时间的变化图，展示其动态和状态依赖的特性。

6. 核心洞见与分析视角

核心洞见： 本文不仅仅是对保险公司投资模型的又一次渐进式调整。其根本贡献在于将随机货币风险正式整合到保险公司的资产负债管理框架中。通过将汇率漂移率建模为均值回归的OU过程，作者超越了简单的常参数模型，捕捉了全球化保险公司面临的一个关键现实：货币风险是一个持续、动态的因素，必须积极管理，而不仅仅是一个静态的转换成本。

逻辑脉络： 逻辑是严谨的，遵循了经典的随机控制范式：(1) 将Cramér-Lundberg盈余扩展为扩散过程，(2) 叠加一个具有随机汇率的双币种市场，(3) 定义指数效用目标，(4) 推导HJB方程，(5) 利用指数效用的可分离性猜测解的形式，(6) 求解得到的Riccati方程。这是一条成熟但有效的路径，其精神与Fleming和Soner (2006) 关于受控扩散的基础工作相似。

优势与不足： 优势： 模型的主要优势在于其优雅性。指数效用与 $\theta(t)$ 的仿射动态相结合，产生了一个可处理的闭式解——这在随机控制问题中是罕见的。这提供了清晰的比较静态分析。明确纳入资产回报与货币回报之间的相关性也值得称赞，因为它承认这些风险并非孤立存在。 不足： 模型的假设是其致命弱点。保险盈余的扩散近似剥离了跳跃风险（这正是保险理赔的本质），可能低估了尾部风险。$\theta(t)$ 的OU过程虽然是均值回归的，但可能无法捕捉新兴市场中出现的“盯住汇率制转变”或突然贬值。此外，模型忽略了交易成本和无卖空等约束，而这些对于实际实施至关重要。与更稳健的方法（如用于投资组合优化的深度强化学习，Theate & Ernst, 2021）相比，该模型在解析上很简洁，但在现实世界中可能较为脆弱。

可操作的见解： 对于全球化保险公司的首席投资官而言，这项研究强调，货币对冲不能是事后才考虑的事情。最优策略是动态的，取决于汇率漂移率 ($\theta(t)$) 的当前状态，而该状态必须持续估计。从业者应： 1. 构建估计引擎： 开发稳健的卡尔曼滤波器或最大似然估计方法，以实时估计潜在状态 $\theta(t)$ 及其参数 ($\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$)。 2. 超越OU模型的压力测试： 使用模型的框架，但在情景分析中用更复杂的模型（例如，机制转换模型）替换OU过程，以评估策略的韧性。 3. 关注相关性： 积极监控和建模国外资产回报与货币变动之间的相关性 ($\rho_{fQ}$)，因为这是对冲比率和最优风险敞口的关键决定因素。

7. 技术细节与数学框架

核心数学工具是来自随机最优控制理论的哈密顿-雅可比-贝尔曼 (HJB) 方程。考虑到投资于国外资产的金额 $\pi(t)$，以本币计价的财富动态为： $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ 价值函数 $V(t,x,\theta)$ 的HJB方程为： $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ 指数效用假设 $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ 将其简化为关于 $\phi(t,\theta)$ 的偏微分方程，再通过二次猜测 $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$，即可得到关于 $A(t), B(t), C(t)$ 的Riccati方程。

8. 分析框架：一个实际案例

情景： 一家日本非寿险公司（本币：日元）持有其国内业务的盈余。它正考虑将其部分资产投资于美国科技股（国外资产，美元）。目标是在5年期限内确定对该国外资产的最优动态配置比例。

框架应用：

1. 参数校准：
   • 盈余（日元）： 根据历史理赔数据估计 $c$、$\lambda$、$\mu_Y$，以得到漂移项 $(c-\lambda\mu_Y)$ 和波动率 $\sigma_R$。
   • 美国科技股（美元）： 根据基准指数（例如，纳斯达克100指数）估计预期回报 $\mu_f$ 和波动率 $\sigma_f$。
   • 美元/日元汇率： 使用历史数据校准 $\theta(t)$ 的OU过程参数：长期均值 $\bar{\theta}$、均值回归速度 $\kappa$ 和波动率 $\sigma_\theta$。估计相关性 ($\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ 等)。
   • 无风险利率： 使用日本政府债券 (JGB) 收益率作为 $r_d$，以及美国国债收益率（转换到模型结构中）。
   • 风险厌恶： 根据公司的资本充足率和风险容忍度设定 $\gamma$。
2. 策略计算： 将校准后的参数代入 $\pi^*(t)$ 的公式。这需要潜在状态 $\theta(t)$ 的当前估计值，该值可以从近期汇率变动中滤波得到。
3. 输出与监控： 模型输出一个随时间变化的目标配置百分比。保险公司的资金部门将相应地调整其外汇对冲比率和股票配置。$\theta(t)$ 的估计值必须定期（例如，每月）更新，从而实现动态再平衡。

该框架为复杂的多币种配置问题提供了一个系统化、模型驱动的方法。

9. 未来应用与研究展望

该模型为扩展和实际应用开辟了多条途径：

• 多币种投资组合： 将模型扩展至多个外币和资产，管理跨货币相关性网络。这符合跨国保险公司的需求。
• 纳入跳跃风险： 用更现实的跳跃扩散或Lévy过程替换保险盈余的扩散近似，以更好地模拟巨灾理赔，运用Surya (2022) 关于跳跃过程下最优控制的技术。
• 机制转换模型： 使用马尔可夫机制转换过程对 $\theta(t)$ 或市场参数进行建模，以捕捉不同的货币政策或经济周期，如Elliott等人的研究所示。
• 机器学习整合： 使用LSTM网络或强化学习智能体从高频市场数据中估计潜在状态 $\theta(t)$ 及其动态，超越参数化的OU假设。
• 资产负债管理整合： 将此投资模型嵌入更广泛的资产负债管理 (ALM) 框架中，该框架同时优化保险产品定价和再保险策略。
• 去中心化金融 (DeFi)： 应用该模型管理去中心化保险协议（例如，Nexus Mutual）的资金库，这些协议持有多种区块链原生货币的加密资产，其汇率波动性极大。

10. 参考文献

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.