保險公司喺雙貨幣市場嘅最優投資策略：隨機控制分析

目錄

1. 引言

本文探討精算科學同金融數學中一個關鍵缺口：喺多個貨幣市場營運嘅保險公司嘅最優投資策略。傳統模型，例如 Browne (1995) 同 Schmidli (2002) 嘅研究，主要集中喺單一貨幣環境。然而，喺日益全球化嘅經濟中，保險公司必須管理以唔同貨幣計價嘅資產同負債，令佢哋暴露於外匯風險之下。本研究將經典嘅 Cramér-Lundberg 盈餘模型擴展到雙貨幣設定，並引入一個由 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 過程建模嘅隨機匯率。目標係最大化終期財富嘅期望指數效用，呢個係保險金融中常見嘅風險厭惡準則。

2. 模型設定

2.1 盈餘過程

保險公司嘅盈餘過程 $R(t)$ 採用經典 Cramér-Lundberg 模型嘅擴散近似來建模： $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ 其中 $c$ 係保費率，$\lambda$ 係索賠到達強度，$\mu_Y$ 係平均索賠額，而 $W_R(t)$ 係一個標準布朗運動。呢個近似將複合泊松過程簡化，以方便分析處理，係文獻中常用嘅技巧（例如參見 Grandell, 1991）。

2.2 金融市場

保險公司可以投資於：

1. 本地無風險資產： $dB(t) = r_d B(t) dt$，利率為 $r_d$。
2. 海外風險資產： 由幾何布朗運動建模：$dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$。

關鍵創新在於允許投資海外資產，因此需要對匯率進行建模。

2.3 匯率動態

匯率 $Q(t)$（每單位外幣兌換本地貨幣嘅單位數）及其漂移率建模為： $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ 此處，$\theta(t)$ 係跟隨 OU 過程嘅瞬時平均增長率，捕捉咗匯率受宏觀經濟因素（如通脹差異同利率平價）影響時典型嘅均值回歸特性（Fama, 1984）。$W_Q(t)$ 同 $W_\theta(t)$ 係相關嘅布朗運動。

3. 優化問題

3.1 目標函數

設 $X(t)$ 為以本地貨幣計價嘅總財富。保險公司控制投資於海外風險資產嘅金額 $\pi(t)$。目標係最大化時間 $T$ 時終期財富嘅期望指數效用： $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ 其中 $\gamma > 0$ 係常數絕對風險厭惡係數。指數效用簡化咗 HJB 方程，因為喺特定條件下，佢消除咗最優策略對財富嘅依賴。

3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程

設 $V(t, x, \theta)$ 為價值函數。對應嘅 HJB 方程為： $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ 終端條件為 $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$。微分算子 $\mathcal{L}^{\pi}$ 包含咗 $X(t)$、$\theta(t)$ 嘅動態以及佢哋之間嘅相關性。求解呢個偏微分方程係核心嘅分析挑戰。

4. 解析解

4.1 最優投資策略

本文推導出投資於海外風險資產嘅最優投資額為： $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{涉及 } \theta(t) \text{ 嘅調整項}$$ 呢個公式有一個直觀嘅解釋：第一項係經典嘅 Merton 型解（Merton, 1969），其中投資額與超額回報（$\mu_f + \theta(t) - r_d$）成正比，與風險（$\gamma$ 同總方差）成反比。調整項則考慮咗匯率漂移率 $\theta(t)$ 嘅隨機性以及佢同其他過程嘅相關性。

4.2 價值函數

價值函數被發現具有以下形式： $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ 其中 $A(t)$、$B(t)$ 同 $C(t)$ 係滿足一組常微分方程（Riccati 方程）嘅時間確定性函數。呢種結構喺具有指數效用嘅線性二次控制問題中好常見。

5. 數值分析

本文提供數值分析以說明最優策略嘅行為。主要觀察包括：

• 對 $\theta(t)$ 嘅敏感度： 當預期匯率升值 $\theta(t)$ 較高時，最優投資 $\pi^*(t)$ 會增加，鼓勵投資海外資產。
• 風險厭惡（$\gamma$）嘅影響： 較高嘅風險厭惡會顯著減少海外風險資產嘅持倉，正如預期。
• 相關性嘅影響： 海外資產回報同匯率變動之間嘅負相關（$\rho_{fQ}$）可以起到自然對沖嘅作用，允許更大嘅最優持倉。

分析可能涉及模擬 $\theta(t)$ 嘅路徑並繪製 $\pi^*(t)$ 隨時間變化嘅圖，展示其動態同依賴於狀態嘅性質。

6. 核心洞察與分析師觀點

核心洞察： 本文唔只係對保險公司投資模型嘅又一次微調。其根本貢獻在於正式將隨機貨幣風險整合到保險公司嘅資產負債管理框架中。通過將匯率漂移率建模為均值回歸嘅 OU 過程，作者超越咗簡單嘅常參數模型，並捕捉到全球保險公司嘅一個關鍵現實：貨幣風險係一個持續存在、動態嘅因素，必須積極管理，而不僅僅係一個靜態嘅兌換成本。

邏輯流程： 邏輯清晰並遵循經典嘅隨機控制流程：(1) 將 Cramér-Lundberg 盈餘擴展為擴散過程，(2) 疊加一個具有隨機匯率嘅雙貨幣市場，(3) 定義指數效用目標，(4) 推導 HJB 方程，(5) 利用指數效用嘅可分離性來猜測解嘅形式，以及 (6) 求解所得嘅 Riccati 方程。呢係一條行之有效嘅路徑，其精神同 Fleming 同 Soner (2006) 關於受控擴散嘅基礎工作相似。

優點與缺點： 優點： 模型嘅優雅係其主要優點。指數效用同 $\theta(t)$ 嘅仿射動態相結合，產生咗一個易處理嘅封閉形式解——喺隨機控制問題中相當罕見。呢個提供咗清晰嘅比較靜態分析。明確納入資產回報同貨幣回報之間嘅相關性亦值得讚賞，因為佢承認咗呢啲風險並非孤立存在。 缺點： 模型嘅假設係其致命弱點。保險盈餘嘅擴散近似去除咗跳躍風險（保險索賠嘅本質），可能低估咗尾部風險。$\theta(t)$ 嘅 OU 過程雖然均值回歸，但可能無法捕捉新興市場中嘅「掛鉤制度轉變」或突然貶值。此外，模型忽略咗交易成本同禁止沽空等約束，呢啲對於實際實施至關重要。同更穩健嘅方法相比，例如用於投資組合優化嘅深度強化學習（Theate & Ernst, 2021），呢個模型感覺分析上簡潔，但喺現實世界中可能較為脆弱。

可行建議： 對於全球保險公司嘅首席投資官，呢項研究強調貨幣對沖唔可以係事後諗到嘅事。最優策略係動態嘅，並且取決於匯率漂移率（$\theta(t)$）嘅當前狀態，而呢個狀態必須持續估算。從業者應該： 1. 建立估算引擎： 開發穩健嘅卡爾曼濾波器或最大似然估計方法，以實時估算潛在狀態 $\theta(t)$ 及其參數（$\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$）。 2. 超越 OU 嘅壓力測試： 使用模型嘅框架，但在情景分析中用更複雜嘅模型（例如制度轉換）替換 OU 過程，以評估策略嘅韌性。 3. 關注相關性： 積極監控同建模海外資產回報同貨幣變動之間嘅相關性（$\rho_{fQ}$），因為佢係對沖比率同最優風險敞口嘅關鍵決定因素。

7. 技術細節與數學框架

核心數學工具係來自隨機最優控制理論嘅 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程。考慮到投資 $\pi(t)$ 於海外資產，以本地貨幣計價嘅財富動態為： $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ 價值函數 $V(t,x,\theta)$ 嘅 HJB 方程為： $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ 指數效用嘅試解 $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ 將此簡化為 $\phi(t,\theta)$ 嘅偏微分方程，再配合二次猜測 $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$，就得到 $A(t), B(t), C(t)$ 嘅 Riccati 方程。

8. 分析框架：一個實際案例

情景： 一間日本非壽險公司（本地貨幣：日元）持有其本地業務產生嘅盈餘。佢正考慮將其部分資產投資於美國科技股（海外資產，美元）。目標係確定喺 5 年時間範圍內，對呢個海外資產嘅最優動態配置。

框架應用：

1. 參數校準：
   • 盈餘（日元）： 從歷史索賠數據估算 $c$、$\lambda$、$\mu_Y$，以獲得漂移 $(c-\lambda\mu_Y)$ 同波動率 $\sigma_R$。
   • 美國科技股（美元）： 從基準指數（例如納斯達克100指數）估算預期回報 $\mu_f$ 同波動率 $\sigma_f$。
   • 美元/日元匯率： 使用歷史數據校準 $\theta(t)$ 嘅 OU 過程參數：長期均值 $\bar{\theta}$、均值回歸速度 $\kappa$ 同波動率 $\sigma_\theta$。估算相關性（$\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ 等）。
   • 無風險利率： 使用日本政府債券 (JGB) 收益率作為 $r_d$，以及美國國債收益率（轉換為模型結構）。
   • 風險厭惡： 根據公司嘅資本充足率同風險承受能力設定 $\gamma$。
2. 策略計算： 將校準後嘅參數代入 $\pi^*(t)$ 嘅公式。呢個需要潛在狀態 $\theta(t)$ 嘅當前估算值，可以從近期匯率變動中濾波得出。
3. 輸出與監控： 模型輸出一個隨時間變化嘅目標配置百分比。保險公司嘅資金部門會相應調整其外匯對沖比率同股票配置。必須定期（例如每月）更新 $\theta(t)$ 估算值，從而進行動態再平衡。

呢個框架為複雜嘅多貨幣配置問題提供咗一個系統化、模型驅動嘅方法。

9. 未來應用與研究方向

該模型開闢咗幾個擴展同實際應用嘅途徑：

• 多貨幣投資組合： 將模型擴展到多於一種外幣同資產，管理跨貨幣相關性網絡。呢個符合跨國保險公司嘅需求。
• 納入跳躍風險： 用更現實嘅跳躍擴散或 Lévy 過程替換保險盈餘嘅擴散近似，以更好地模擬災難性索賠，運用 Surya (2022) 關於跳躍過程下最優控制嘅技術。
• 制度轉換模型： 用馬爾可夫制度轉換過程對 $\theta(t)$ 或市場參數進行建模，以捕捉唔同嘅貨幣政策或經濟周期，正如 Elliott 等人嘅研究所示。
• 機器學習整合： 使用 LSTM 網絡或強化學習智能體從高頻市場數據中估算潛在狀態 $\theta(t)$ 及其動態，超越參數化 OU 假設。
• 資產負債管理整合： 將此投資模型嵌入更廣泛嘅資產負債管理 (ALM) 框架中，該框架同時優化保險產品定價同再保險策略。
• 去中心化金融 (DeFi)： 應用該模型來管理去中心化保險協議（例如 Nexus Mutual）嘅資金庫，呢啲協議持有以多種區塊鏈原生貨幣計價嘅加密資產，其中匯率波動極大。

10. 參考文獻

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.