使用馬可夫鏈重建加密貨幣流程

目錄

1 緒論

自中本聰（2008）提出比特幣以來，加密貨幣已受到貨幣當局、企業和投資者的廣泛關注。這種日益增長的興趣源於它們在降低風險管理、改善投資組合和分析消費者情緒方面的潛力。本研究應用馬可夫鏈方法來重建和預測加密貨幣市場流程，特別檢視比特幣（BTC）、以太坊（ETH）和瑞波幣（XRP）。

先前研究已發現，加密貨幣呈現出與傳統金融資產相似的典型化事實，包括厚尾分佈、波動率叢聚，以及交易量與波動率之間的正相關性。Bariviera（2017）證明了比特幣的長程記憶特性，而Cheah等人（2018）則在主要加密貨幣中識別出長記憶成分。

2 研究方法

2.1 馬可夫鏈框架

本研究採用一至八階的馬可夫鏈來模擬加密貨幣價格動態。此方法使用日內報酬率資料來建構轉移機率矩陣，以捕捉市場波動的隨機性質。每個馬可夫鏈階數代表了價格變動中不同程度的歷史依賴性。

2.2 資料收集與處理

比特幣、以太坊和瑞波幣的日內價格資料收集自主要加密貨幣交易所。報酬率計算為對數差值，並根據報酬率門檻定義離散狀態，以便進行馬可夫鏈建模。

3 技術實作

3.1 數學公式

第n階馬可夫鏈由條件機率定義：

$P(X_t = x_t | X_{t-1} = x_{t-1}, X_{t-2} = x_{t-2}, \\ldots, X_{t-n} = x_{t-n})$

其中$X_t$代表時間t的加密貨幣報酬狀態。轉移機率使用最大似然估計從歷史資料中經驗性地估計：

$P_{ij} = \\frac{N_{ij}}{\\sum_k N_{ik}}$

其中$N_{ij}$計算從狀態i轉移到狀態j的次數。

3.2 程式碼實作

import numpy as np
import pandas as pd

class MarkovChainForecaster:
    def __init__(self, order=1):
        self.order = order
        self.transition_matrix = None
        self.states = None
    
    def fit(self, returns, n_states=3):
        # 將報酬率離散化為狀態
        quantiles = pd.qcut(returns, n_states, labels=False)
        self.states = quantiles.unique()
        
        # 建構轉移矩陣
        n = len(self.states)**self.order
        self.transition_matrix = np.zeros((n, len(self.states)))
        
        for i in range(self.order, len(quantiles)):
            history = tuple(quantiles[i-self.order:i])
            current = quantiles[i]
            hist_idx = self._state_to_index(history)
            self.transition_matrix[hist_idx, current] += 1
        
        # 正規化行
        row_sums = self.transition_matrix.sum(axis=1)
        self.transition_matrix = self.transition_matrix / row_sums[:, np.newaxis]
    
    def forecast(self, current_state):
        idx = self._state_to_index(current_state)
        return np.random.choice(
            self.states, 
            p=self.transition_matrix[idx]
        )

4 實驗結果

4.1 預測效能

實證結果顯示，使用馬可夫鏈機率的預測顯著優於隨機選擇。高階鏈（第4-8階）在捕捉複雜市場模式方面表現出更高的準確性，特別是比特幣與以太坊和瑞波幣相比，展現出更具可預測性的結構。

4.2 長記憶分析

本研究使用Hurst指數計算來探討長記憶成分。結果表明，雖然比特幣在2014年後表現出隨機漫步行為（Hurst指數≈0.5），但以太坊和瑞波幣則顯示出持續性行為，其Hurst指數顯著大於0.5，表明存在長記憶效應。

5 原創分析

Araújo和Barbosa的研究透過系統性地應用馬可夫鏈方法於多個階數和加密貨幣，對加密貨幣市場分析做出了重要貢獻。他們的方法證明，高階馬可夫鏈（最高至第8階）能有效捕捉加密貨幣報酬中的複雜依賴關係，這對主張資產價格遵循隨機漫步的有效市場假說提出了挑戰。

這項工作與傳統金融市場的研究結果一致，在傳統市場中，馬可夫模型已成功用於捕捉市場微觀結構。類似於CycleGAN論文（Zhu等人，2017）證明了未配對的圖像到圖像轉換可以在沒有明確配對的情況下學習複雜映射，本研究顯示馬可夫鏈可以在沒有明確結構假設的情況下，學習金融時間序列中的複雜時間依賴性。

識別出不同加密貨幣間變化的長記憶成分，對風險管理和投資組合建構具有重要意義。正如國際清算銀行（BIS，2021）的研究所指出的，加密貨幣呈現出異質性的風險特徵，需要複雜的建模方法。馬可夫框架為捕捉這些差異提供了一個靈活的工具。

與金融計量經濟學中常用的傳統GARCH模型相比，馬可夫鏈具有幾個優勢：它們需要較少的分配假設、能夠捕捉非線性依賴關係，並提供直觀的機率解釋。然而，它們可能難以處理歷史資料中未呈現的極端事件，這類似於機器學習在金融應用中提到的限制（Journal of Financial Economics，2020）。

本研究對日益增長的加密貨幣市場效率文獻做出了貢獻。雖然傳統資產通常隨著時間範圍的增加而顯示出可預測性減弱，但研究結果表明，加密貨幣即使在較高的馬可夫階數下仍可能保持可預測的成分，這可能是由於市場不成熟或影響交易者決策的行為因素所致。

6 未來應用

本研究中開發的馬可夫鏈框架有幾個有前景的應用：

• 演算法交易： 與加密貨幣市場的高頻交易系統整合
• 風險管理： 使用狀態轉移機率增強風險價值（VaR）計算
• 監管監控： 透過異常狀態轉移檢測市場操縱模式
• 投資組合優化： 基於預測市場狀態的動態資產配置
• 跨資產分析： 擴展至模擬加密貨幣與傳統資產間的關係

未來的研究方向包括將深度學習架構與馬可夫模型結合、開發用於多種加密貨幣互動的多元馬可夫鏈，以及將該框架應用於去中心化金融（DeFi）協議和非同質化代幣（NFT）。

7 參考文獻

1. Nakamoto, S. (2008). Bitcoin: A peer-to-peer electronic cash system
2. Dyhrberg, A. H. (2016). Hedging capabilities of bitcoin. Financial Research Letters, 16, 139-144
3. Bariviera, A. F. (2017). The inefficiency of Bitcoin revisited: A dynamic approach. Economics Letters, 161, 1-4
4. Cheah, E. T., et al. (2018). Long memory interdependency and inefficiency in Bitcoin markets. Economics Letters, 167, 18-25
5. Urquhart, A. (2017). The inefficiency of Bitcoin. Economics Letters, 148, 80-82
6. Zhu, J. Y., et al. (2017). Unpaired image-to-image translation using cycle-consistent adversarial networks. ICCV
7. Bank for International Settlements (2021). Annual Economic Report
8. Journal of Financial Economics (2020). Machine Learning in Finance: Foundations and Recent Developments