保險公司在雙貨幣市場的最適投資策略：隨機控制分析

目錄

1. 緒論

本文旨在解決精算科學與金融數學中的一個關鍵缺口：保險公司在多個貨幣市場中營運時的最適投資策略。傳統模型，例如 Browne (1995) 和 Schmidli (2002) 的研究，主要聚焦於單一貨幣環境。然而，在日益全球化的經濟中，保險公司必須管理以不同貨幣計價的資產與負債，使其暴露於外匯風險之下。本研究將經典的 Cramér-Lundberg 盈餘模型擴展至雙貨幣情境，並引入以 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 過程建模的隨機匯率。目標是最大化終期財富的期望指數效用，這是保險金融中常見的風險趨避準則。

2. 模型建構

2.1 盈餘過程

保險公司的盈餘過程 $R(t)$ 採用經典 Cramér-Lundberg 模型的擴散近似來建模： $$dR(t) = c dt - d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i\right) \approx (c - \lambda \mu_Y) dt + \sigma_R dW_R(t)$$ 其中 $c$ 為保費率，$\lambda$ 為理賠到達強度，$\mu_Y$ 為平均理賠金額，$W_R(t)$ 為標準布朗運動。此近似法簡化了複合卜瓦松過程以利於解析處理，是文獻中常見的技巧（參見 Grandell, 1991）。

2.2 金融市場

保險公司可以投資於：

1. 國內無風險資產： $dB(t) = r_d B(t) dt$，利率為 $r_d$。
2. 國外風險性資產： 以幾何布朗運動建模：$dS_f(t) = \mu_f S_f(t) dt + \sigma_f S_f(t) dW_f(t)$。

關鍵創新在於允許投資國外資產，因此需要對匯率進行建模。

2.3 匯率動態

匯率 $Q(t)$（每單位外國貨幣兌換本國貨幣的單位數）及其漂移項建模如下： $$dQ(t) = Q(t)[\theta(t) dt + \sigma_Q dW_Q(t)]$$ $$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t)) dt + \sigma_\theta dW_\theta(t)$$ 此處，$\theta(t)$ 是遵循 OU 過程的瞬時平均成長率，捕捉了匯率受通膨差異與利率平價等總體經濟因素影響下典型的均值回歸特性（Fama, 1984）。$W_Q(t)$ 和 $W_\theta(t)$ 是相關的布朗運動。

3. 最佳化問題

3.1 目標函數

令 $X(t)$ 為以本國貨幣計價的總財富。保險公司控制投資於國外風險性資產的金額 $\pi(t)$。目標是在時間 $T$ 時，最大化終期財富的期望指數效用： $$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(X(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}\left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma X(T)}\right]$$ 其中 $\gamma > 0$ 為常數絕對風險趨避係數。指數效用簡化了 HJB 方程，因為在某些條件下，它消除了最適策略對財富的依賴性。

3.2 漢米爾頓-雅可比-貝爾曼方程

令 $V(t, x, \theta)$ 為價值函數。對應的 HJB 方程為： $$\sup_{\pi} \left\{ V_t + \mathcal{L}^{\pi} V \right\} = 0$$ 終端條件為 $V(T, x, \theta) = U(x) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}$。微分算子 $\mathcal{L}^{\pi}$ 包含了 $X(t)$、$\theta(t)$ 的動態及其相關性。求解此偏微分方程是核心的解析挑戰。

4. 解析解

4.1 最適投資策略

本文推導出投資於國外風險性資產的最適金額為： $$\pi^*(t) = \frac{\mu_f + \theta(t) - r_d}{\gamma (\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q)} + \text{涉及 } \theta(t) \text{ 的調整項}$$ 此公式具有直觀的解釋：第一項是經典的 Merton 型解（Merton, 1969），其中投資金額與超額報酬（$\mu_f + \theta(t) - r_d$）成正比，並與風險（$\gamma$ 和總變異數）成反比。調整項則考量了匯率漂移項 $\theta(t)$ 的隨機特性及其與其他過程的相關性。

4.2 價值函數

價值函數的形式如下： $$V(t, x, \theta) = -\frac{1}{\gamma} \exp\left\{-\gamma x e^{r_d (T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2 \right\}$$ 其中 $A(t)$、$B(t)$ 和 $C(t)$ 是滿足一組常微分方程（Riccati 方程）的確定性時間函數。這種結構在具有指數效用的線性二次控制問題中很常見。

5. 數值分析

本文提供了數值分析以說明最適策略的行為。主要觀察包括：

• 對 $\theta(t)$ 的敏感度： 當預期匯率升值 $\theta(t)$ 較高時，最適投資 $\pi^*(t)$ 會增加，鼓勵投資於外國資產。
• 風險趨避（$\gamma$）的影響： 較高的風險趨避會顯著減少國外風險性資產的部位，符合預期。
• 相關性的效應： 外國資產報酬與匯率變動之間的負相關（$\rho_{fQ}$）可以作為自然避險，允許更大的最適部位。

分析可能涉及模擬 $\theta(t)$ 的路徑並繪製 $\pi^*(t)$ 隨時間的變化，展示其動態且依賴於狀態的特性。

6. 核心洞見與分析師觀點

核心洞見： 本文不僅是對保險公司投資模型的微小調整。其根本貢獻在於正式將隨機貨幣風險整合到保險公司的資產負債管理框架中。透過將匯率漂移項建模為均值回歸的 OU 過程，作者超越了簡化的常數參數模型，並捕捉了全球性保險公司的關鍵現實：貨幣風險是一個持續存在、動態的因素，必須積極管理，而不僅僅是一個靜態的轉換成本。

邏輯流程： 邏輯嚴謹，遵循經典的隨機控制流程：(1) 將 Cramér-Lundberg 盈餘擴展為擴散過程，(2) 疊加一個具有隨機匯率的雙貨幣市場，(3) 定義指數效用目標，(4) 推導 HJB 方程，(5) 利用指數效用的可分離性猜測解的形式，(6) 求解所得的 Riccati 方程。這是一條經過驗證且有效的路徑，其精神與 Fleming 和 Soner (2006) 關於受控擴散的基礎研究相似。

優點與缺點： 優點： 模型的優雅是其主要優點。指數效用與 $\theta(t)$ 的仿射動態相結合，產生了一個易處理的封閉形式解——這在隨機控制問題中相當罕見。這提供了清晰的比較靜態分析。明確納入資產報酬與貨幣報酬之間的相關性也值得讚揚，因為它承認這些風險並非孤立存在。 缺點： 模型的假設是其致命弱點。保險盈餘的擴散近似去除了跳躍風險（保險理賠的本質），可能低估了尾部風險。$\theta(t)$ 的 OU 過程雖然均值回歸，但可能無法捕捉新興市場中常見的「釘住匯率制度轉變」或突然貶值。此外，模型忽略了交易成本以及禁止放空等限制，這些對於實務執行至關重要。相較於更穩健的方法，例如用於投資組合最佳化的深度強化學習（Theate & Ernst, 2021），此模型在分析上顯得簡潔，但在現實世界中可能較為脆弱。

可執行的洞見： 對於全球性保險公司的投資長而言，這項研究強調貨幣避險不能是事後才考慮的事項。最適策略是動態的，且取決於當前匯率漂移項（$\theta(t)$）的狀態，而此狀態必須持續估計。實務工作者應： 1. 建立估計引擎： 開發穩健的卡爾曼濾波器或最大概似估計方法，以即時估計潛在狀態 $\theta(t)$ 及其參數（$\kappa, \bar{\theta}, \sigma_\theta$）。 2. 超越 OU 的壓力測試： 使用模型的框架，但在情境分析中將 OU 過程替換為更複雜的模型（例如，狀態轉換模型），以評估策略的韌性。 3. 聚焦相關性： 積極監控並建模外國資產報酬與貨幣變動之間的相關性（$\rho_{fQ}$），因為它是避險比率和最適風險暴露的關鍵決定因素。

7. 技術細節與數學框架

核心的數學工具是來自隨機最佳控制理論的漢米爾頓-雅可比-貝爾曼（HJB）方程。考慮投資於國外資產的金額 $\pi(t)$，以本國貨幣計價的財富動態為： $$dX(t) = \left[ r_d X(t) + \pi(t)(\mu_f + \theta(t) - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] dt + \pi(t)\sigma_f dW_f(t) + \pi(t)\sigma_Q dW_Q(t) + \sigma_R dW_R(t)$$ 價值函數 $V(t,x,\theta)$ 的 HJB 方程為： $$ \begin{aligned} 0 = \sup_{\pi} \Bigg\{ & V_t + \left[ r_d x + \pi(\mu_f + \theta - r_d) + (c - \lambda\mu_Y) \right] V_x + \kappa(\bar{\theta} - \theta) V_\theta \\ & + \frac{1}{2}\left( \pi^2(\sigma_f^2 + \sigma_Q^2 + 2\rho_{fQ}\sigma_f\sigma_Q) + \sigma_R^2 + 2\pi(\rho_{fR}\sigma_f\sigma_R + \rho_{QR}\sigma_Q\sigma_R) \right) V_{xx} \\ & + \frac{1}{2}\sigma_\theta^2 V_{\theta\theta} + \pi \sigma_\theta (\rho_{f\theta}\sigma_f + \rho_{Q\theta}\sigma_Q) V_{x\theta} \Bigg\} \end{aligned} $$ 指數效用假設 $V(t,x,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma x e^{r_d(T-t)} + \phi(t,\theta)\}$ 將其簡化為 $\phi(t,\theta)$ 的偏微分方程，再透過二次猜測 $\phi(t,\theta)=A(t)+B(t)\theta+\frac{1}{2}C(t)\theta^2$，即可得到 $A(t), B(t), C(t)$ 的 Riccati 方程。

8. 分析框架：實務案例

情境： 一家日本非壽險公司（本國貨幣：日圓）持有國內業務產生的盈餘。該公司正考慮將其部分資產投資於美國科技股（外國資產，美元）。目標是確定在 5 年期間內，對此外國資產的最適動態配置比例。

框架應用：

1. 參數校準：
   • 盈餘（日圓）： 從歷史理賠數據估計 $c$、$\lambda$、$\mu_Y$，以得到漂移項 $(c-\lambda\mu_Y)$ 和波動度 $\sigma_R$。
   • 美國科技股（美元）： 從基準指數（例如，納斯達克 100 指數）估計預期報酬 $\mu_f$ 和波動度 $\sigma_f$。
   • 美元/日圓匯率： 使用歷史數據校準 $\theta(t)$ 的 OU 過程參數：長期均值 $\bar{\theta}$、均值回歸速度 $\kappa$ 和波動度 $\sigma_\theta$。估計相關性（$\rho_{fQ}, \rho_{fR},$ 等）。
   • 無風險利率： 使用日本政府公債（JGB）殖利率作為 $r_d$，以及美國公債殖利率（轉換為模型的結構）。
   • 風險趨避： 根據公司的資本適足率和風險容忍度設定 $\gamma$。
2. 策略計算： 將校準後的參數代入 $\pi^*(t)$ 的公式中。這需要潛在狀態 $\theta(t)$ 的當前估計值，該值可以從近期的匯率變動中過濾出來。
3. 輸出與監控： 模型輸出一個隨時間變化的目標配置百分比。保險公司的財務部門將據此調整其外匯避險比率和股票配置。$\theta(t)$ 的估計值必須定期更新（例如，每月），從而進行動態再平衡。

此框架為複雜的多貨幣配置問題提供了一個系統化、模型驅動的方法。

9. 未來應用與研究方向

該模型開啟了多個延伸與實務應用的途徑：

• 多貨幣投資組合： 將模型擴展至多種外國貨幣與資產，管理跨貨幣相關性網絡。這符合跨國保險公司的需求。
• 納入跳躍風險： 將保險盈餘的擴散近似替換為更真實的跳躍擴散或 Lévy 過程，以更好地模擬巨災理賠，運用 Surya (2022) 關於跳躍過程下最適控制的技術。
• 狀態轉換模型： 使用馬可夫狀態轉換過程對 $\theta(t)$ 或市場參數進行建模，以捕捉不同的貨幣政策或經濟週期，如 Elliott 等人的研究所示。
• 機器學習整合： 使用長短期記憶網絡或強化學習智能體，從高頻市場數據中估計潛在狀態 $\theta(t)$ 及其動態，超越參數化的 OU 假設。
• 資產負債管理整合： 將此投資模型嵌入更廣泛的資產負債管理（ALM）框架中，該框架同時最佳化保險產品定價和再保險策略。
• 去中心化金融（DeFi）： 將模型應用於管理去中心化保險協議（例如 Nexus Mutual）的資金庫，該協議持有多種區塊鏈原生貨幣的加密資產，其中匯率波動極端。

10. 參考文獻

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Fama, E. F. (1984). Forward and spot exchange rates. Journal of Monetary Economics, 14(3), 319-338.
3. Fleming, W. H., & Soner, H. M. (2006). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions (2nd ed.). Springer.
4. Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag.
5. Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
6. Schmidli, H. (2002). On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
7. Surya, B. A. (2022). Optimal investment and reinsurance for an insurer under jump-diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal, 2022(5), 401-429.
8. Theate, T., & Ernst, D. (2021). An Application of Deep Reinforcement Learning to Algorithmic Trading. Expert Systems with Applications, 173, 114632.
9. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv preprint arXiv:2006.02857.