الاستثمار الأمثل لشركة تأمين في سوقي عملتين: تحليل التحكم العشوائي

جدول المحتويات

1. المقدمة

تتناول هذه الورقة فجوة حرجة في أدبيات إدارة مخاطر التأمين: استراتيجيات الاستثمار المثلى لشركات التأمين التي تعمل في أسواق متعددة العملات. بينما تركز النماذج التقليدية على بيئات العملة الواحدة، فإن عمليات التأمين العالمية تستلزم فهم ديناميكيات المخاطر عبر العملات. يجمع البحث بين علم الاكتواريات والرياضيات المالية لتطوير إطار شامل لشركات التأمين التي تستثمر في الأسواق المحلية والأجنبية على حد سواء.

يكمن التحدي الأساسي في إدارة ثلاثة مخاطر مترابطة: مخاطر مطالبات التأمين، ومخاطر السوق المالي، ومخاطر سعر الصرف الأجنبي. وضعت الأعمال السابقة لكل من براون (1995)، ويانغ وتشانغ (2005)، وشميدلي (2002) أسساً لمشاكل استثمار شركات التأمين، لكنها أهملت البعد متعدد العملات الذي أصبح ذا صلة متزايدة في الاقتصاد العالمي اليوم.

2. إطار النموذج

2.1 عملية الفائض

تتبع عملية الفائض لشركة التأمين تقريب الانتشار للنموذج الكلاسيكي كرامر-لوندبرغ:

$dX(t) = c dt - dS(t)$

حيث يمثل $c$ معدل قسط التأمين و $S(t)$ هي عملية المطالبات الإجمالية. تحت تقريب الانتشار، يصبح هذا:

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

حيث $\mu$ هو الانحراف المعدل لحمل الأمان و $\sigma$ يمثل تقلب المطالبات.

2.2 نموذج سعر الصرف الأجنبي

يتبع سعر الصرف بين العملتين المحلية والأجنبية:

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

حيث يتبع متوسط معدل النمو اللحظي $\theta(t)$ عملية أورنشتاين-أوهلينبيك:

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

يُجسّد هذا التحديد الذي يعود إلى المتوسط السلوك التجريبي لأسعار الصرف المتأثر بعوامل اقتصادية أساسية مثل فروق التضخم وفروق أسعار الفائدة.

2.3 محفظة الاستثمار

توزع شركة التأمين الثروة عبر:

• أصل محلي خالي من المخاطر بمعدل $r_d$
• أصل أجنبي محفوف بالمخاطر بديناميكيات عائد بالعملة الأجنبية
• تحويل العملة عبر سعر الصرف $E(t)$

تتطور عملية الثروة الإجمالية $W(t)$ وفقاً لاستراتيجية الاستثمار $\pi(t)$، والتي تمثل النسبة المستثمرة في الأصل الأجنبي المحفوف بالمخاطر.

3. مشكلة التحسين

3.1 هدف المنفعة الأسية

تهدف شركة التأمين إلى تعظيم المنفعة الأسية المتوقعة للثروة النهائية:

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

حيث $\gamma > 0$ هو معامل النفور الثابت المطلق من المخاطرة. هذه الدالة المنفعة مناسبة بشكل خاص لشركات التأمين بسبب خاصية النفور الثابت من المخاطرة وقابليتها للتحليل.

3.2 معادلة هاملتون-جاكوبي-بيلمان

تحقق دالة القيمة $V(t,w,\theta)$ معادلة HJB:

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

مع الشرط النهائي $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$، حيث $\mathcal{L}^\pi$ هو المولد المتناهي الصغر لعملية الثروة تحت الاستراتيجية $\pi$.

4. الحل التحليلي

4.1 استراتيجية الاستثمار المثلى

تأخذ استراتيجية الاستثمار المثلى في الأصل الأجنبي المحفوف بالمخاطر الشكل:

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

حيث $\mu_F$ و $\sigma_F$ هما معاملات عائد الأصل الأجنبي، $r_f$ هو المعدل الخالي من المخاطر الأجنبي، $\rho$ هو الارتباط بين سعر الصرف وعوائد الأصل الأجنبي، و $\phi(t)$ هي دالة لعملية انحراف سعر الصرف.

4.2 دالة القيمة

تقبل دالة القيمة شكلاً أسياً خطياً:

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

حيث تحقق $A(t)$، $B(t)$، و $C(t)$ نظاماً من المعادلات التفاضلية العادية المشتقة من معادلة HJB.

5. التحليل العددي

5.1 حساسية المعاملات

تُظهر التجارب العددية:

• تأثير النفور من المخاطرة: يؤدي ارتفاع $\gamma$ إلى تقليل النسبة المثلى للاستثمار الأجنبي من حوالي 60% إلى 25% عبر السيناريوهات المختبرة
• تقلب سعر الصرف: تنخفض الاستراتيجية المثلى بنسبة 15-20% عندما يزيد $\eta$ من 0.1 إلى 0.3
• سرعة العودة إلى المتوسط: تقلل العودة الأسرع إلى المتوسط (ارتفاع $\kappa$) من الطلب على التحوط ضد تغيرات انحراف سعر الصرف

5.2 أداء الاستراتيجية

يُظهر التحليل المقارن أن استراتيجية العملات المتعددة تتفوق على نهج العملة الواحدة بنسبة 8-12% في الثروة المكافئة المؤكدة عبر تكوينات المعاملات المختلفة، خاصة خلال فترات استمرار اتجاه سعر الصرف.

6. الرؤية الأساسية والتحليل

الرؤية الأساسية: تقدم هذه الورقة تقدماً حاسماً لكنه مركز للغاية—فهي تمدد بنجاح نظرية استثمار شركات التأمين إلى عملتين، لكنها تفعل ذلك ضمن افتراضات مقيدة تحد من التطبيق العملي الفوري. القيمة الحقيقية لا تكمن في الحل المحدد، بل في إثبات أن إطار HJB يمكنه التعامل مع هذا التعقيد، مما يفتح الأبواب لامتدادات أكثر واقعية.

التدفق المنطقي: يتبع المؤلفون قالب التحكم العشوائي الكلاسيكي: 1) إعداد النموذج مع تقريبات الانتشار، 2) صياغة HJB، 3) حل بالتخمين والتحقق بالشكل الخطي الأسي، 4) التحقق العددي. هذا النهج صارم رياضياً لكنه متوقع تعليمياً. إن إدراج عملية أورنشتاين-أوهلينبيك لانحراف سعر الصرف يضفي تعقيداً، ويذكر بنماذج فاسيسك في الدخل الثابت، لكن المعالجة تبقى أنيقة نظرياً بدلاً من أن تكون قائمة على أساس تجريبي.

نقاط القوة والعيوب: القوة الأساسية هي الاكتمال التقني—الحل أنيق وتقنية فصل المتغيرات مطبقة بمهارة. ومع ذلك، فإن ثلاثة عيوب حرجة تقوض الصلة العملية. أولاً، يمحو تقريب الانتشار لمطالبات التأمين مخاطر القفز، وهي أساسية للتأمين (كما أكد عليه العمل المؤسس لـ شميدلي (2002، "حول تقليل احتمالية الإفلاس بالاستثمار وإعادة التأمين")). ثانياً، يفترض النموذج التداول المستمر والأسواق المثالية الخالية من الاحتكاك، متجاهلاً القيود السيولة التي تعصف بأسواق العملات أثناء الأزمات. ثالثاً، يبدو التحليل العددي وكأنه فكرة لاحقة—فهو يتحقق بدلاً من أن يستكشف، ويخلو من اختبارات المتانة التي تُرى في أوراق التمويل الحسابي المعاصرة مثل تلك الموجودة في مجلة التمويل الحسابي.

رؤى قابلة للتنفيذ: بالنسبة للممارسين، تقدم هذه الورقة معياراً، وليس مخططاً. يجب على مديري المخاطر استخراج الرؤية النوعية—أن قابلية التنبؤ بانحراف سعر الصرف (عبر عملية OU) تخلق طلباً على التحوط—لكن يجب عليهم تنفيذها باستخدام تقنيات تقدير أكثر متانة لمعاملات OU. بالنسبة للباحثين، فإن الخطوات التالية الواضحة هي: 1) دمج مطالبات القفز-الانتشار باتباع نهج كو (2002، "نموذج القفز-الانتشار لتسعير الخيارات")، 2) إضافة تقلب عشوائي لعملية سعر الصرف، مع الاعتراف بتجميع التقلب الموثق جيداً في أسواق العملات الأجنبية، و 3) إدخال تكاليف المعاملات، ربما باستخدام طرق التحكم الدافع. لا يحتاج المجال إلى مزيد من الاختلافات على هذا النموذج الدقيق؛ بل يحتاج إلى أناقة هذا النموذج مجتمعة مع الواقعية التجريبية الموجودة في أفضل أعمال جارو (2018، "دليل الممارس للتمويل العشوائي").

7. التفاصيل التقنية

يتضمن الابتكار الرياضي الرئيسي حل نظام من المعادلات التفاضلية العادية من نوع ريكاتي:

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

مع الشروط النهائية $C(T)=B(T)=0$. تحكم هذه المعادلات اعتماد دالة القيمة على انحراف سعر الصرف العشوائي $\theta(t)$.

تتحلل الاستراتيجية المثلى إلى ثلاثة مكونات:

1. الطلب قصير النظر: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – مصطلح متوسط-تباين قياسي
2. تحوط سعر الصرف: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – يحمي من تغيرات مجموعة فرص الاستثمار
3. تعديل الانحراف: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – يأخذ في الاعتبار قابلية التنبؤ بانحراف سعر الصرف

8. مثال على إطار التحليل

دراسة حالة: شركة تأمين عالمية للممتلكات والحوادث

ضع في اعتبارك شركة تأمين للممتلكات والحوادث لديها التزامات بالدولار الأمريكي واليورو. باستخدام إطار الورقة:

1. تقدير المعاملات:
   • تقدير معاملات OU لانحراف EUR/USD باستخدام الانحدار المتداول لمدة 10 سنوات
   • معايرة معاملات عملية المطالبات من بيانات الخسائر التاريخية
   • تقدير النفور من المخاطرة γ من أنماط الاستثمار التاريخية للشركة
2. تنفيذ الاستراتيجية:
   • حساب النسبة المثلى للاستثمار المقوم باليورو يومياً
   • مراقبة نسبة التحوط $\frac{V_\theta}{V_w}$ لإشارات إعادة التوازن
   • التنفيذ مع نطاقات تسامح 5% لتقليل تكاليف المعاملات
3. نسب الأداء:
   • فصل العوائد إلى: (أ) المكون قصير النظر، (ب) تحوط سعر الصرف، (ج) توقيت الانحراف
   • المقارنة مع التخصيص الثابت الساذج 60/40 محلي/أجنبي

يوفر هذا الإطار، وإن كان مبسطاً، نهجاً منظماً لتخصيص أصول شركة التأمين متعددة العملات وهو أكثر صرامة من الأساليب الاعتباطية النموذجية.

9. التطبيقات المستقبلية والاتجاهات

التطبيقات الفورية:

• برامج التغطية الديناميكية للعملة: يمكن لشركات التأمين تنفيذ الاستراتيجية كغطاء للعملة، وتعديل نسب التحوط ديناميكياً بناءً على تنبؤات انحراف سعر الصرف
• تحسين سولفنسي II: دمج الإطار في عمليات ORSA (تقييم المخاطر والملاءة الذاتية) لشركات التأمين الأوروبية
• خزينة الشركات متعددة الجنسيات: التمديد إلى إدارة المخاطر المؤسسية خارج نطاق التأمين

اتجاهات البحث:

1. امتدادات تبديل النظام: استبدال عملية OU بنموذج تبديل النظام ماركوف لالتقاط الانقطاعات الهيكلية في سلوك سعر الصرف
2. دمج التعلم الآلي: استخدام شبكات LSTM لتقدير عملية انحراف سعر الصرف θ(t) بدلاً من افتراض ديناميكيات OU بارامترية
3. تطبيقات التمويل اللامركزي: تكييف الإطار لمنتجات التأمين المشفرة مع تعرضات متعددة للعملات المشفرة
4. دمج مخاطر المناخ: دمج مخاطر انتقال المناخ في ديناميكيات سعر الصرف لاستثمارات شركات التأمين طويلة الأجل

10. المراجع

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
8. European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.