দুটি মুদ্রা বাজারে একটি বীমাকারীর জন্য সর্বোত্তম বিনিয়োগ: একটি স্টোকাস্টিক কন্ট্রোল বিশ্লেষণ

সূচিপত্র

1. ভূমিকা

এই গবেষণাপত্রটি বীমা ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা সাহিত্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ শূন্যতা সমাধান করে: একাধিক মুদ্রা বাজারে পরিচালিত বীমাকারীদের জন্য সর্বোত্তম বিনিয়োগ কৌশল। যদিও ঐতিহ্যগত মডেলগুলি একক-মুদ্রা পরিবেশে মনোনিবেশ করে, বৈশ্বিক বীমা কার্যক্রমের জন্য ক্রস-কারেন্সি ঝুঁকি গতিবিদ্যা বোঝা অপরিহার্য। এই গবেষণা বীমাকারীদের স্থানীয় ও বৈদেশিক উভয় বাজারে বিনিয়োগের জন্য একটি ব্যাপক কাঠামো বিকাশের জন্য অ্যাকচুয়ারিয়াল বিজ্ঞানকে আর্থিক গণিতের সাথে একত্রিত করে।

মৌলিক চ্যালেঞ্জটি তিনটি আন্তঃসংযুক্ত ঝুঁকি ব্যবস্থাপনায় নিহিত: বীমা দাবির ঝুঁকি, আর্থিক বাজার ঝুঁকি এবং বৈদেশিক মুদ্রা বিনিময় ঝুঁকি। ব্রাউন (১৯৯৫), ইয়াং ও ঝাং (২০০৫), এবং স্মিডলি (২০০২) এর পূর্ববর্তী কাজগুলি বীমাকারী বিনিয়োগ সমস্যার ভিত্তি স্থাপন করেছিল কিন্তু আজকের বৈশ্বিক অর্থনীতিতে ক্রমবর্ধমান প্রাসঙ্গিক বহু-মুদ্রা মাত্রাটি উপেক্ষা করেছিল।

2. মডেল কাঠামো

2.1 উদ্বৃত্ত প্রক্রিয়া

বীমাকারীর উদ্বৃত্ত প্রক্রিয়া ধ্রুপদী ক্রেমার-লুন্ডবার্গ মডেলের বিস্তার আনুমানিকতা অনুসরণ করে:

$dX(t) = c dt - dS(t)$

যেখানে $c$ প্রিমিয়াম হার নির্দেশ করে এবং $S(t)$ হল সমষ্টিগত দাবি প্রক্রিয়া। বিস্তার আনুমানিকতার অধীনে, এটি হয়ে যায়:

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

যেখানে $\mu$ হল নিরাপত্তা লোডিং সমন্বিত ড্রিফ্ট এবং $\sigma$ দাবির অস্থিরতা নির্দেশ করে।

2.2 বৈদেশিক মুদ্রা বিনিময় হার মডেল

স্থানীয় ও বৈদেশিক মুদ্রার মধ্যে বিনিময় হার নিম্নলিখিত সমীকরণ অনুসরণ করে:

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

যেখানে তাত্ক্ষণিক গড় বৃদ্ধির হার $\theta(t)$ একটি অর্নস্টেইন-উলেনবেক প্রক্রিয়া অনুসরণ করে:

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

এই গড়-প্রত্যাবর্তন স্পেসিফিকেশন মুদ্রা বিনিময় হারের অভিজ্ঞতামূলক আচরণ ধারণ করে যা মূলনীতি অর্থনৈতিক কারণ যেমন মুদ্রাস্ফীতি পার্থক্য এবং সুদের হার ব্যবধান দ্বারা প্রভাবিত।

2.3 বিনিয়োগ পোর্টফোলিও

বীমাকারী সম্পদ বরাদ্দ করে:

• হার $r_d$ সহ স্থানীয় ঝুঁকিমুক্ত সম্পদে
• বৈদেশিক মুদ্রায় রিটার্ন গতিবিদ্যা সহ বৈদেশিক ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদে
• বিনিময় হার $E(t)$ এর মাধ্যমে মুদ্রা রূপান্তর

মোট সম্পদ প্রক্রিয়া $W(t)$ বিনিয়োগ কৌশল $\pi(t)$ অনুযায়ী বিবর্তিত হয়, যা বৈদেশিক ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদে বিনিয়োগকৃত অনুপাত নির্দেশ করে।

3. অপ্টিমাইজেশন সমস্যা

3.1 সূচকীয় উপযোগিতা উদ্দেশ্য

বীমাকারী চূড়ান্ত সম্পদের প্রত্যাশিত সূচকীয় উপযোগিতা সর্বাধিকীকরণের লক্ষ্য রাখে:

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

যেখানে $\gamma > 0$ হল ধ্রুবক পরম ঝুঁকি বিরাগ সহগ। এই উপযোগিতা ফাংশনটি এর ধ্রুবক ঝুঁকি বিরাগ বৈশিষ্ট্য এবং বিশ্লেষণাত্মক সুবিধার কারণে বীমাকারীদের জন্য বিশেষভাবে উপযুক্ত।

3.2 হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি-বেলম্যান সমীকরণ

মান ফাংশন $V(t,w,\theta)$ এইচজেবি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে:

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

চূড়ান্ত শর্ত $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$ সহ, যেখানে $\mathcal{L}^\pi$ হল কৌশল $\pi$ এর অধীনে সম্পদ প্রক্রিয়ার অসীম জেনারেটর।

4. বিশ্লেষণাত্মক সমাধান

4.1 সর্বোত্তম বিনিয়োগ কৌশল

বৈদেশিক ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদে সর্বোত্তম বিনিয়োগ কৌশল নিম্নলিখিত রূপ নেয়:

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

যেখানে $\mu_F$ এবং $\sigma_F$ হল বৈদেশিক সম্পদের রিটার্ন প্যারামিটার, $r_f$ হল বৈদেশিক ঝুঁকিমুক্ত হার, $\rho$ হল বিনিময় হার এবং বৈদেশিক সম্পদ রিটার্নের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক, এবং $\phi(t)$ হল বিনিময় হার ড্রিফ্ট প্রক্রিয়ার একটি ফাংশন।

4.2 মান ফাংশন

মান ফাংশন একটি সূচকীয় অ্যাফাইন রূপ গ্রহণ করে:

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

যেখানে $A(t)$, $B(t)$, এবং $C(t)$ এইচজেবি সমীকরণ থেকে উদ্ভূত সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে।

5. সংখ্যাগত বিশ্লেষণ

5.1 প্যারামিটার সংবেদনশীলতা

সংখ্যাগত পরীক্ষাগুলি প্রদর্শন করে:

• ঝুঁকি বিরাগ প্রভাব: উচ্চতর $\gamma$ পরীক্ষিত দৃশ্যকল্প জুড়ে সর্বোত্তম বৈদেশিক বিনিয়োগ অনুপাত আনুমানিক ৬০% থেকে ২৫% এ কমিয়ে দেয়
• বিনিময় হার অস্থিরতা: সর্বোত্তম কৌশল ১৫-২০% কমে যায় যখন $\eta$ ০.১ থেকে ০.৩ এ বৃদ্ধি পায়
• গড় প্রত্যাবর্তন গতি: দ্রুত গড় প্রত্যাবর্তন (উচ্চতর $\kappa$) বিনিময় হার ড্রিফ্ট পরিবর্তনের বিরুদ্ধে হেজিং চাহিদা হ্রাস করে

5.2 কৌশল কর্মক্ষমতা

তুলনামূলক বিশ্লেষণ দেখায় যে বহু-মুদ্রা কৌশলটি বিভিন্ন প্যারামিটার কনফিগারেশনে নিশ্চয়তা সমতুল্য সম্পদে একক-মুদ্রা পদ্ধতিগুলিকে ৮-১২% দ্বারা ছাড়িয়ে যায়, বিশেষ করে মুদ্রা বিনিময় হার প্রবণতা স্থায়িত্বের সময়কালে।

6. মূল অন্তর্দৃষ্টি ও বিশ্লেষণ

মূল অন্তর্দৃষ্টি: এই গবেষণাপত্রটি একটি গুরুত্বপূর্ণ কিন্তু সংকীর্ণভাবে কেন্দ্রীভূত অগ্রগতি প্রদান করে—এটি সফলভাবে বীমাকারী বিনিয়োগ তত্ত্বকে দুটি মুদ্রায় প্রসারিত করে কিন্তু সীমাবদ্ধ অনুমানের মধ্যে করে যা তাৎক্ষণিক ব্যবহারিক প্রয়োগকে সীমিত করে। প্রকৃত মূল্য নির্দিষ্ট সমাধানে নয়, বরং এইচজেবি কাঠামোটি এই জটিলতা পরিচালনা করতে পারে তা প্রদর্শনে নিহিত, যা আরও বাস্তবসম্মত সম্প্রসারণের দরজা খুলে দেয়।

যুক্তিগত প্রবাহ: লেখকরা একটি ধ্রুপদী স্টোকাস্টিক কন্ট্রোল টেমপ্লেট অনুসরণ করেন: ১) বিস্তার আনুমানিকতা সহ মডেল সেটআপ, ২) এইচজেবি গঠন, ৩) সূচকীয় অ্যাফাইন রূপ সহ অনুমান-এবং-যাচাই সমাধান, ৪) সংখ্যাগত যাচাই। এই পদ্ধতিটি গাণিতিকভাবে কঠোর কিন্তু শিক্ষাগতভাবে পূর্বাভাসযোগ্য। বিনিময় হার ড্রিফ্টের জন্য একটি অর্নস্টেইন-উলেনবেক প্রক্রিয়ার অন্তর্ভুক্তি পরিশীলন যোগ করে, যা স্থির আয়ের ভ্যাসিসেক-টাইপ মডেলগুলির কথা স্মরণ করিয়ে দেয়, কিন্তু চিকিত্সাটি অভিজ্ঞতামূলকভাবে ভিত্তির পরিবর্তে তাত্ত্বিকভাবে সুন্দর থাকে।

শক্তি ও ত্রুটি: প্রাথমিক শক্তি হল প্রযুক্তিগত সম্পূর্ণতা—সমাধানটি মার্জিত এবং চলক পৃথকীকরণ কৌশলটি দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করা হয়েছে। যাইহোক, তিনটি সমালোচনামূলক ত্রুটি ব্যবহারিক প্রাসঙ্গিকতাকে দুর্বল করে। প্রথমত, বীমা দাবির বিস্তার আনুমানিকতা জাম্প ঝুঁকি ধুয়ে দেয়, যা বীমার জন্য মৌলিক (যেমন স্মিডলি (২০০২, "অন মিনিমাইজিং দ্য রুইন প্রোবাবিলিটি বাই ইনভেস্টমেন্ট অ্যান্ড রিইনস্যুরেন্স") এর মৌলিক কাজে জোর দেওয়া হয়েছে)। দ্বিতীয়ত, মডেলটি ধারাবাহিক ট্রেডিং এবং নিখুঁত ঘর্ষণহীন বাজার ধরে নেয়, যা সংকটের সময় মুদ্রা বাজারে বিরাজমান তারল্য সীমাবদ্ধতাকে উপেক্ষা করে। তৃতীয়ত, সংখ্যাগত বিশ্লেষণটি একটি পরবর্তী চিন্তার মতো অনুভূত হয়—এটি অন্বেষণের পরিবর্তে যাচাই করে, জার্নাল অফ কম্পিউটেশনাল ফাইন্যান্স এর মতো সমসাময়িক কম্পিউটেশনাল ফাইন্যান্স গবেষণাপত্রে দেখা রোবাস্টনেস টেস্টের অভাব রয়েছে।

কার্যকরী অন্তর্দৃষ্টি: অনুশীলনকারীদের জন্য, এই গবেষণাপত্রটি একটি নীলনকশা নয়, একটি বেঞ্চমার্ক অফার করে। ঝুঁকি ব্যবস্থাপকদের গুণগত অন্তর্দৃষ্টি আহরণ করা উচিত—যে বিনিময় হার ড্রিফ্ট ভবিষ্যদ্বাণীযোগ্যতা (ওইউ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে) হেজিং চাহিদা তৈরি করে—কিন্তু ওইউ প্যারামিটারের জন্য আরও শক্তিশালী অনুমান কৌশল ব্যবহার করে এটি বাস্তবায়ন করা উচিত। গবেষকদের জন্য, পরবর্তী স্পষ্ট পদক্ষেপগুলি হল: ১) কৌ (২০০২, "এ জাম্প-ডিফিউশন মডেল ফর অপশন প্রাইসিং") এর পদ্ধতি অনুসরণ করে জাম্প-ডিফিউশন দাবি অন্তর্ভুক্ত করা, ২) এফএক্স বাজারে সু-নথিভুক্ত অস্থিরতা ক্লাস্টারিং স্বীকার করে বিনিময় হার প্রক্রিয়ায় স্টোকাস্টিক অস্থিরতা যোগ করা, এবং ৩) লেনদেন খরচ প্রবর্তন করা, সম্ভবত ইমপালস কন্ট্রোল পদ্ধতি ব্যবহার করে। এই ক্ষেত্রটির এই সঠিক মডেলের আরও বৈচিত্র্যের প্রয়োজন নেই; এর প্রয়োজন এই মডেলের মার্জিততা জ্যারো (২০১৮, "এ প্র্যাকটিশনার্স গাইড টু স্টোকাস্টিক ফাইন্যান্স") এর সেরা কাজে পাওয়া অভিজ্ঞতামূলক বাস্তবতার সাথে মিলিত।

7. প্রযুক্তিগত বিবরণ

প্রধান গাণিতিক উদ্ভাবনটিতে রিকাটি-টাইপ ওডিইগুলির একটি সিস্টেম সমাধান জড়িত:

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

চূড়ান্ত শর্ত $C(T)=B(T)=0$ সহ। এই সমীকরণগুলি মান ফাংশনের স্টোকাস্টিক বিনিময় হার ড্রিফ্ট $\theta(t)$ এর উপর নির্ভরতা নিয়ন্ত্রণ করে।

সর্বোত্তম কৌশলটি তিনটি উপাদানে বিভক্ত হয়:

1. স্বল্পদৃষ্টি চাহিদা: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – আদর্শ গড়-ভ্যারিয়েন্স পদ
2. বিনিময় হার হেজ: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – বিনিয়োগ সুযোগ সেটের পরিবর্তন হেজ করে
3. ড্রিফ্ট সমন্বয়: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – বিনিময় হার ড্রিফ্টের ভবিষ্যদ্বাণীযোগ্যতার জন্য হিসাব করে

8. বিশ্লেষণ কাঠামো উদাহরণ

কেস স্টাডি: গ্লোবাল পি অ্যান্ড সি বীমাকারী

ইউএসডি এবং ইউরো উভয় ক্ষেত্রে দায়বদ্ধতা সহ একটি সম্পত্তি ও দায় বীমাকারী বিবেচনা করুন। গবেষণাপত্রের কাঠামো ব্যবহার করে:

1. প্যারামিটার অনুমান:
   • ১০-বছর রোলিং রিগ্রেশন ব্যবহার করে EUR/USD ড্রিফ্টের জন্য ওইউ প্যারামিটার অনুমান করুন
   • ঐতিহাসিক ক্ষতি ডেটা থেকে দাবি প্রক্রিয়া প্যারামিটার ক্যালিব্রেট করুন
   • কোম্পানির ঐতিহাসিক বিনিয়োগ প্যাটার্ন থেকে ঝুঁকি বিরাগ γ অনুমান করুন
2. কৌশল বাস্তবায়ন:
   • দৈনিক সর্বোত্তম EUR-মনোনীত বিনিয়োগ অনুপাত গণনা করুন
   • পুনঃভারসাম্য সংকেতের জন্য হেজ অনুপাত $\frac{V_\theta}{V_w}$ নিরীক্ষণ করুন
   • লেনদেন খরচ কমানোর জন্য ৫% সহনশীলতা ব্যান্ড সহ বাস্তবায়ন করুন
3. কর্মক্ষমতা আরোপণ:
   • রিটার্নগুলিকে পৃথক করুন: (ক) স্বল্পদৃষ্টি উপাদান, (খ) বিনিময় হার হেজ, (গ) ড্রিফ্ট টাইমিং
   • নিষ্পাপ ৬০/৪০ স্থানীয়/বিদেশী স্থির বরাদ্দের সাথে তুলনা করুন

এই কাঠামোটি, সরলীকৃত হলেও, বহু-মুদ্রা বীমাকারী সম্পদ বরাদ্দের জন্য একটি কাঠামোগত পদ্ধতি প্রদান করে যা সাধারণ অ্যাড হক পদ্ধতিগুলির চেয়ে বেশি কঠোর।

9. ভবিষ্যত প্রয়োগ ও দিকনির্দেশনা

তাৎক্ষণিক প্রয়োগ:

• গতিশীল মুদ্রা ওভারলে প্রোগ্রাম: বীমাকারীরা মুদ্রা বিনিময় হার ড্রিফ্ট ভবিষ্যদ্বাণীর উপর ভিত্তি করে হেজ অনুপাত গতিশীলভাবে সামঞ্জস্য করে একটি মুদ্রা ওভারলে হিসাবে কৌশলটি বাস্তবায়ন করতে পারে
• সলভেন্সি II অপ্টিমাইজেশন: ইউরোপীয় বীমাকারীদের জন্য ORSA (ওন রিস্ক অ্যান্ড সলভেন্সি অ্যাসেসমেন্ট) প্রক্রিয়ায় কাঠামোটি অন্তর্ভুক্ত করুন
• বহুজাতিক কর্পোরেট ট্রেজারি: বীমার বাইরে কর্পোরেট ঝুঁকি ব্যবস্থাপনায় প্রসারিত করুন

গবেষণা দিকনির্দেশনা:

1. রেজিম-সুইচিং সম্প্রসারণ: মুদ্রা বিনিময় হার আচরণে কাঠামোগত বিরতি ধারণ করতে ওইউ প্রক্রিয়াকে মার্কভ রেজিম-সুইচিং মডেল দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন
2. মেশিন লার্নিং ইন্টিগ্রেশন: প্যারামেট্রিক ওইউ গতিবিদ্যা ধরে নেওয়ার পরিবর্তে বিনিময় হার ড্রিফ্ট প্রক্রিয়া θ(t) অনুমান করতে এলএসটিএম নেটওয়ার্ক ব্যবহার করুন
3. বিকেন্দ্রীভূত অর্থায়ন প্রয়োগ: একাধিক ক্রিপ্টোকারেন্সি এক্সপোজার সহ ক্রিপ্টো-বীমা পণ্যের জন্য কাঠামোটি অভিযোজিত করুন
4. জলবায়ু ঝুঁকি একীকরণ: দীর্ঘমেয়াদী বীমাকারী বিনিয়োগের জন্য বিনিময় হার গতিবিদ্যায় জলবায়ু রূপান্তর ঝুঁকি অন্তর্ভুক্ত করুন

10. তথ্যসূত্র

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
8. European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.