Optimale Investition für einen Versicherer in zwei Währungsmärkten: Eine Analyse mit stochastischer Kontrolle

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

Dieses Papier adressiert eine kritische Lücke in der Literatur zum Versicherungsrisikomanagement: optimale Investitionsstrategien für Versicherer, die in mehreren Währungsmärkten tätig sind. Während traditionelle Modelle sich auf Ein-Währungs-Umgebungen konzentrieren, erfordern globalisierte Versicherungsgeschäfte ein Verständnis der risikodynamiken über Währungsgrenzen hinweg. Die Forschung kombiniert Versicherungsmathematik mit Finanzmathematik, um einen umfassenden Rahmen für Versicherer zu entwickeln, die sowohl in Inlands- als auch in Auslandsmärkten investieren.

Die grundlegende Herausforderung liegt im Management von drei miteinander verbundenen Risiken: Versicherungsschadenrisiko, Finanzmarktrisiko und Wechselkursrisiko. Frühere Arbeiten von Browne (1995), Yang und Zhang (2005) und Schmidli (2002) legten die Grundlagen für Anlageprobleme von Versicherern, vernachlässigten jedoch die Multi-Währungs-Dimension, die in der heutigen globalen Wirtschaft zunehmend relevant wird.

2. Modellrahmen

2.1 Überschussprozess

Der Überschussprozess des Versicherers folgt der Diffusionsapproximation des klassischen Cramér-Lundberg-Modells:

$dX(t) = c dt - dS(t)$

wobei $c$ die Prämienrate darstellt und $S(t)$ der aggregierte Schadenprozess ist. Unter der Diffusionsapproximation wird dies zu:

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

wobei $\mu$ die sicherheitsbelastungsbereinigte Drift ist und $\sigma$ die Schadenvolatilität repräsentiert.

2.2 Wechselkursmodell

Der Wechselkurs zwischen Inlands- und Fremdwährung folgt:

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

wobei die momentane mittlere Wachstumsrate $\theta(t)$ einem Ornstein-Uhlenbeck-Prozess folgt:

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

Diese mean-reverting-Spezifikation erfasst das empirische Verhalten von Wechselkursen, das von fundamentalen ökonomischen Faktoren wie Inflationsdifferenzen und Zinsspreads beeinflusst wird.

2.3 Anlageportfolio

Der Versicherer verteilt sein Vermögen auf:

• Inländisches risikofreies Asset mit Zinssatz $r_d$
• Ausländisches riskantes Asset mit Renditedynamik in Fremdwährung
• Währungsumtausch über den Wechselkurs $E(t)$

Der Gesamtvermögensprozess $W(t)$ entwickelt sich gemäß der Anlagestrategie $\pi(t)$, die den Anteil repräsentiert, der in das ausländische riskante Asset investiert ist.

3. Optimierungsproblem

3.1 Ziel: Exponentieller Nutzen

Der Versicherer zielt darauf ab, den erwarteten exponentiellen Nutzen des Endvermögens zu maximieren:

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

wobei $\gamma > 0$ der konstante absolute Risikoaversion-Koeffizient ist. Diese Nutzenfunktion ist aufgrund ihrer konstanten Risikoaversionseigenschaft und analytischen Handhabbarkeit besonders für Versicherer geeignet.

3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung

Die Wertfunktion $V(t,w,\theta)$ erfüllt die HJB-Gleichung:

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

mit der Endbedingung $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$, wobei $\mathcal{L}^\pi$ der infinitesimale Generator des Vermögensprozesses unter Strategie $\pi$ ist.

4. Analytische Lösung

4.1 Optimale Anlagestrategie

Die optimale Anlagestrategie in das ausländische riskante Asset hat die Form:

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

wobei $\mu_F$ und $\sigma_F$ die Renditeparameter des ausländischen Assets sind, $r_f$ der ausländische risikofreie Zinssatz, $\rho$ die Korrelation zwischen Wechselkurs und Renditen des ausländischen Assets und $\phi(t)$ eine Funktion des Wechselkurs-Driftprozesses ist.

4.2 Wertfunktion

Die Wertfunktion lässt eine exponentielle affine Form zu:

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

wobei $A(t)$, $B(t)$ und $C(t)$ ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erfüllen, das aus der HJB-Gleichung abgeleitet wird.

5. Numerische Analyse

5.1 Parametersensitivität

Numerische Experimente zeigen:

• Auswirkung der Risikoaversion: Ein höheres $\gamma$ reduziert den optimalen Auslandsinvestitionsanteil in den getesteten Szenarien von etwa 60 % auf 25 %.
• Wechselkursvolatilität: Die optimale Strategie sinkt um 15–20 %, wenn $\eta$ von 0,1 auf 0,3 steigt.
• Mean-Reversion-Geschwindigkeit: Schnellere Mean-Reversion (höheres $\kappa$) reduziert die Absicherungsnachfrage gegen Änderungen der Wechselkursdrift.

5.2 Strategieperformance

Eine vergleichende Analyse zeigt, dass die Multi-Währungs-Strategie Ein-Währungs-Ansätze in verschiedenen Parameterkonfigurationen um 8–12 % im sicherheitsäquivalenten Vermögen übertrifft, insbesondere in Phasen anhaltender Wechselkurstrends.

6. Kernaussage & Analyse

Kernaussage: Dieses Papier liefert einen wichtigen, aber eng fokussierten Fortschritt – es erweitert erfolgreich die Anlagetheorie für Versicherer auf zwei Währungen, tut dies jedoch unter restriktiven Annahmen, die die unmittelbare praktische Anwendung einschränken. Der eigentliche Wert liegt nicht in der spezifischen Lösung, sondern darin zu zeigen, dass der HJB-Rahmen diese Komplexität bewältigen kann, was die Tür für realistischere Erweiterungen öffnet.

Logischer Ablauf: Die Autoren folgen einer klassischen Vorlage der stochastischen Kontrolle: 1) Modellaufbau mit Diffusionsapproximationen, 2) HJB-Formulierung, 3) „Guess-and-verify“-Lösung mit exponentieller affiner Form, 4) numerische Verifikation. Dieser Ansatz ist mathematisch rigoros, aber pädagogisch vorhersehbar. Die Einbeziehung eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses für die Wechselkursdrift fügt Raffinesse hinzu, die an Vasicek-ähnliche Modelle im Fixed Income erinnert, aber die Behandlung bleibt theoretisch sauber und nicht empirisch fundiert.

Stärken & Schwächen: Die primäre Stärke ist die technische Vollständigkeit – die Lösung ist elegant und die Technik der Variablentrennung wird fachkundig angewendet. Drei kritische Schwächen untergraben jedoch die praktische Relevanz. Erstens wäscht die Diffusionsapproximation von Versicherungsschäden das Sprungrisiko weg, das für Versicherungen fundamental ist (wie in der wegweisenden Arbeit von Schmidli (2002, "On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance") betont). Zweitens geht das Modell von kontinuierlichem Handel und perfekten, friktionslosen Märkten aus und ignoriert Liquiditätsengpässe, die Devisenmärkte in Krisenzeiten plagen. Drittens wirkt die numerische Analyse wie ein nachträglicher Einfall – sie verifiziert eher, als dass sie erforscht, und es fehlen die Robustheitstests, wie sie in zeitgenössischen Arbeiten der computergestützten Finanzierung, etwa aus dem Journal of Computational Finance, zu sehen sind.

Umsetzbare Erkenntnisse: Für Praktiker bietet dieses Papier einen Benchmark, keinen Bauplan. Risikomanager sollten die qualitative Erkenntnis extrahieren – dass die Vorhersagbarkeit der Wechselkursdrift (über den OU-Prozess) eine Absicherungsnachfrage erzeugt –, sollten sie jedoch mit robusteren Schätztechniken für die OU-Parameter umsetzen. Für Forscher sind die klaren nächsten Schritte: 1) Einbeziehung von Sprung-Diffusions-Schäden nach dem Ansatz von Kou (2002, "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing"), 2) Hinzufügen stochastischer Volatilität zum Wechselkursprozess, in Anerkennung der gut dokumentierten Volatilitäts-Clustering auf Devisenmärkten, und 3) Einführung von Transaktionskosten, möglicherweise mit Impulskontrollmethoden. Das Feld benötigt keine weiteren Variationen dieses exakten Modells; es benötigt die Eleganz dieses Modells kombiniert mit dem empirischen Realismus, wie er in der besten Arbeit von Jarrow (2018, "A Practitioner's Guide to Stochastic Finance") zu finden ist.

7. Technische Details

Die zentrale mathematische Innovation beinhaltet die Lösung eines Systems von Riccati-ähnlichen ODEs:

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

mit den Endbedingungen $C(T)=B(T)=0$. Diese Gleichungen bestimmen die Abhängigkeit der Wertfunktion von der stochastischen Wechselkursdrift $\theta(t)$.

Die optimale Strategie zerfällt in drei Komponenten:

1. Myopische Nachfrage: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – Standard-Mean-Variance-Term
2. Wechselkursabsicherung: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – sichert Änderungen im Anlageopportunitätssatz ab
3. Driftanpassung: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – berücksichtigt die Vorhersagbarkeit der Wechselkursdrift

8. Beispiel für ein Analyseframework

Fallstudie: Globaler Sachversicherer

Betrachtet wird ein Sach- und Unfallversicherer mit Verbindlichkeiten sowohl in USD als auch in EUR. Unter Verwendung des Frameworks des Papiers:

1. Parameterschätzung:
   • Schätzung der OU-Parameter für die EUR/USD-Drift mittels 10-Jahres-Rolling-Regression
   • Kalibrierung der Schadenprozessparameter aus historischen Schadendaten
   • Schätzung der Risikoaversion γ aus den historischen Anlagemustern des Unternehmens
2. Strategieimplementierung:
   • Tägliche Berechnung des optimalen EUR-denominierten Investitionsanteils
   • Überwachung des Hedge-Verhältnisses $\frac{V_\theta}{V_w}$ für Rebalancing-Signale
   • Umsetzung mit 5 % Toleranzbändern zur Reduzierung von Transaktionskosten
3. Performanceattribution:
   • Aufteilung der Renditen in: (a) myopische Komponente, (b) Wechselkursabsicherung, (c) Drift-Timing
   • Vergleich mit einer naiven 60/40-Festallokation Inland/Ausland

Dieses Framework, obwohl vereinfacht, bietet einen strukturierten Ansatz für die Multi-Währungs-Vermögensallokation von Versicherern, der rigoroser ist als typische Ad-hoc-Methoden.

9. Zukünftige Anwendungen & Richtungen

Unmittelbare Anwendungen:

• Dynamische Currency-Overlay-Programme: Versicherer können die Strategie als Währungs-Overlay implementieren und Hedge-Verhältnisse dynamisch basierend auf Wechselkursdrift-Prognosen anpassen.
• Solvency II-Optimierung: Einbeziehung des Frameworks in ORSA-Prozesse (Own Risk and Solvency Assessment) für europäische Versicherer.
• Multi-Nationales Corporate Treasury: Erweiterung auf das Risikomanagement von Unternehmen über Versicherungen hinaus.

Forschungsrichtungen:

1. Regime-Switching-Erweiterungen: Ersetzen des OU-Prozesses durch ein Markov-Regime-Switching-Modell, um Strukturbrüche im Wechselkursverhalten zu erfassen.
2. Integration von Maschinellem Lernen: Verwendung von LSTM-Netzen zur Schätzung des Wechselkursdriftprozesses θ(t) anstatt von parametrischen OU-Dynamiken auszugehen.
3. Dezentrale Finanzanwendungen: Anpassung des Frameworks für Krypto-Versicherungsprodukte mit mehreren Kryptowährungs-Exposures.
4. Integration von Klimarisiken: Einbeziehung von Klimatransitionsrisiken in die Wechselkursdynamik für langfristige Versichererinvestitionen.

10. Literaturverzeichnis

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
8. European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.