سرمایه‌گذاری بهینه برای یک بیمه‌گر در دو بازار ارزی: تحلیل کنترل تصادفی

فهرست مطالب

1. مقدمه

این مقاله به شکاف مهمی در ادبیات مدیریت ریسک بیمه می‌پردازد: استراتژی‌های سرمایه‌گذاری بهینه برای بیمه‌گرانی که در بازارهای چند ارزی فعالیت می‌کنند. در حالی که مدل‌های سنتی بر محیط‌های تک‌ارزی متمرکز هستند، عملیات بیمه‌ای جهانی مستلزم درک پویایی ریسک بین‌الارزی است. این پژوهش، علم بیمه‌گری را با ریاضیات مالی ترکیب می‌کند تا چارچوبی جامع برای بیمه‌گرانی که در بازارهای داخلی و خارجی سرمایه‌گذاری می‌کنند، توسعه دهد.

چالش اساسی در مدیریت سه ریسک درهم‌تنیده نهفته است: ریسک خسارت بیمه، ریسک بازار مالی و ریسک نرخ ارز. آثار قبلی براون (1995)، یانگ و ژانگ (2005) و اشمیدلی (2002) پایه‌های مسائل سرمایه‌گذاری بیمه‌گران را بنا نهادند، اما بعد چندارزی را که در اقتصاد جهانی امروز اهمیت فزاینده‌ای یافته است، نادیده گرفتند.

2. چارچوب مدل

2.1 فرآیند مازاد

فرآیند مازاد بیمه‌گر از تقریب انتشار مدل کلاسیک کرامر-لوندبرگ پیروی می‌کند:

$dX(t) = c dt - dS(t)$

که در آن $c$ نرخ حق بیمه و $S(t)$ فرآیند تجمعی خسارات است. تحت تقریب انتشار، این رابطه به شکل زیر درمی‌آید:

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

که در آن $\mu$ رانش تعدیل‌شده با بار ایمنی و $\sigma$ نمایانگر نوسان خسارت است.

2.2 مدل نرخ ارز خارجی

نرخ ارز بین ارزهای داخلی و خارجی از رابطه زیر پیروی می‌کند:

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

که در آن نرخ رشد میانگین آنی $\theta(t)$ از یک فرآیند اورنشتاین-اولنبک پیروی می‌کند:

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

این مشخصه بازگشت به میانگین، رفتار تجربی نرخ‌های ارز را که تحت تأثیر عوامل اقتصادی بنیادی مانند تفاضل تورم و شکاف نرخ بهره قرار دارند، به تصویر می‌کشد.

2.3 سبد سرمایه‌گذاری

بیمه‌گر ثروت خود را بین موارد زیر تخصیص می‌دهد:

• دارایی بدون ریسک داخلی با نرخ $r_d$
• دارایی ریسکی خارجی با دینامیک بازده به ارز خارجی
• تبدیل ارز از طریق نرخ ارز $E(t)$

فرآیند کل ثروت $W(t)$ مطابق با استراتژی سرمایه‌گذاری $\pi(t)$ تکامل می‌یابد که نشان‌دهنده نسبت سرمایه‌گذاری شده در دارایی ریسکی خارجی است.

3. مسئله بهینه‌سازی

3.1 هدف مطلوبیت نمایی

هدف بیمه‌گر بیشینه‌سازی مطلوبیت نمایی مورد انتظار از ثروت نهایی است:

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

که در آن $\gamma > 0$ ضریب ثابت بیزاری مطلق از ریسک است. این تابع مطلوبیت به دلیل خاصیت بیزاری ثابت از ریسک و قابلیت تحلیل تحلیلی آن، به ویژه برای بیمه‌گران مناسب است.

3.2 معادله همیلتون-ژاکوبی-بلمن

تابع ارزش $V(t,w,\theta)$ معادله HJB زیر را ارضا می‌کند:

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

با شرط نهایی $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$، که در آن $\mathcal{L}^\pi$ مولد بینهایت کوچک فرآیند ثروت تحت استراتژی $\pi$ است.

4. راه‌حل تحلیلی

4.1 استراتژی سرمایه‌گذاری بهینه

استراتژی سرمایه‌گذاری بهینه در دارایی ریسکی خارجی به شکل زیر است:

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

که در آن $\mu_F$ و $\sigma_F$ پارامترهای بازده دارایی خارجی هستند، $r_f$ نرخ بدون ریسک خارجی است، $\rho$ همبستگی بین نرخ ارز و بازده دارایی خارجی است و $\phi(t)$ تابعی از فرآیند رانش نرخ ارز است.

4.2 تابع ارزش

تابع ارزش، شکلی نمایی-افین می‌پذیرد:

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

که در آن $A(t)$، $B(t)$ و $C(t)$ سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی را که از معادله HJB استخراج شده‌اند، ارضا می‌کنند.

5. تحلیل عددی

5.1 حساسیت پارامترها

آزمایش‌های عددی نشان می‌دهند:

• تأثیر بیزاری از ریسک: $\gamma$ بالاتر، نسبت سرمایه‌گذاری خارجی بهینه را در سناریوهای آزمایش شده از تقریباً ۶۰٪ به ۲۵٪ کاهش می‌دهد.
• نوسان نرخ ارز: استراتژی بهینه هنگامی که $\eta$ از ۰.۱ به ۰.۳ افزایش می‌یابد، ۱۵-۲۰٪ کاهش می‌یابد.
• سرعت بازگشت به میانگین: بازگشت سریع‌تر به میانگین ($\kappa$ بالاتر)، تقاضای پوشش ریسک در برابر تغییرات رانش نرخ ارز را کاهش می‌دهد.

5.2 عملکرد استراتژی

تحلیل مقایسه‌ای نشان می‌دهد که استراتژی چندارزی در مقایسه با رویکردهای تک‌ارزی، در ثروت معادل قطعی در پیکربندی‌های پارامتری مختلف، به ویژه در دوره‌های تداوم روند نرخ ارز، ۸-۱۲٪ عملکرد بهتری دارد.

6. بینش و تحلیل محوری

بینش محوری: این مقاله پیشرفتی حیاتی اما با تمرکز محدود ارائه می‌دهد - با موفقیت نظریه سرمایه‌گذاری بیمه‌گران را به دو ارز گسترش می‌دهد، اما این کار را تحت مفروضات محدودکننده‌ای انجام می‌دهد که کاربرد عملی فوری را محدود می‌کند. ارزش واقعی نه در راه‌حل خاص، بلکه در نشان دادن این است که چارچوب HJB می‌تواند این پیچیدگی را مدیریت کند و درهایی را برای گسترش‌های واقع‌بینانه‌تر می‌گشاید.

جریان منطقی: نویسندگان از یک الگوی کلاسیک کنترل تصادفی پیروی می‌کنند: ۱) تنظیم مدل با تقریب‌های انتشار، ۲) فرمول‌بندی HJB، ۳) راه‌حل حدس-و-تأیید با شکل نمایی-افین، ۴) تأیید عددی. این رویکرد از نظر ریاضی دقیق اما از نظر آموزشی قابل پیش‌بینی است. گنجاندن یک فرآیند اورنشتاین-اولنبک برای رانش نرخ ارز، پیچیدگی را افزایش می‌دهد و یادآور مدل‌های نوع واسیچک در درآمد ثابت است، اما برخورد با آن از نظر نظری مرتب باقی می‌ماند تا اینکه مبتنی بر شواهد تجربی باشد.

نقاط قوت و ضعف: نقطه قوت اصلی، کامل بودن فنی است - راه‌حل ظریف است و تکنیک جداسازی متغیرها به طور ماهرانه‌ای اعمال شده است. با این حال، سه نقص حیاتی، ارتباط عملی را تضعیف می‌کند. اول، تقریب انتشار خسارات بیمه، ریسک پرش را که برای بیمه اساسی است (همانطور که در اثر بنیادی اشمیدلی (2002، "در مورد کمینه‌سازی احتمال ورشکستگی توسط سرمایه‌گذاری و بیمه‌گری مجدد") تأکید شده است) از بین می‌برد. دوم، مدل معامله پیوسته و بازارهای بی‌اصطکاک کامل را فرض می‌کند و محدودیت‌های نقدینگی را که در بحران‌ها بازارهای ارزی را آزار می‌دهد، نادیده می‌گیرد. سوم، تحلیل عددی بیشتر شبیه یک فکر بعدی است - تأیید می‌کند تا اینکه کاوش کند، فاقد آزمون‌های استحکامی است که در مقالات معاصر مالی محاسباتی مانند مقالات مجله مالی محاسباتی دیده می‌شود.

بینش‌های قابل اجرا: برای متخصصان، این مقاله یک معیار ارائه می‌دهد، نه یک نقشه راه. مدیران ریسک باید بینش کیفی را استخراج کنند - که پیش‌بینی‌پذیری رانش نرخ ارز (از طریق فرآیند OU) تقاضای پوشش ریسک ایجاد می‌کند - اما باید آن را با استفاده از تکنیک‌های تخمین قوی‌تر برای پارامترهای OU پیاده‌سازی کنند. برای محققان، گام‌های بعدی واضح عبارتند از: ۱) گنجاندن خسارات پرش-انتشار با پیروی از رویکرد کو (2002، "یک مدل پرش-انتشار برای قیمت‌گذاری اختیار معامله")، ۲) افزودن نوسان تصادفی به فرآیند نرخ ارز، با تصدیق خوشه‌بندی نوسان مستند در بازارهای ارز، و ۳) معرفی هزینه‌های معامله، احتمالاً با استفاده از روش‌های کنترل ضربه‌ای. این رشته به تغییرات بیشتری بر روی این مدل دقیق نیاز ندارد؛ بلکه به ظرافت این مدل در ترکیب با واقع‌گرایی تجربی موجود در بهترین آثار جارو (2018، "راهنمای متخصص برای مالی تصادفی") نیاز دارد.

7. جزئیات فنی

نوآوری ریاضی کلیدی شامل حل یک سیستم از معادلات دیفرانسیل معمولی نوع ریکاتی است:

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

با شرایط نهایی $C(T)=B(T)=0$. این معادلات وابستگی تابع ارزش به رانش تصادفی نرخ ارز $\theta(t)$ را کنترل می‌کنند.

استراتژی بهینه به سه جزء تجزیه می‌شود:

1. تقاضای نزدیک‌بینانه: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – عبارت میانگین-واریانس استاندارد
2. پوشش ریسک نرخ ارز: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – تغییرات در مجموعه فرصت سرمایه‌گذاری را پوشش می‌دهد
3. تنظیم رانش: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – پیش‌بینی‌پذیری در رانش نرخ ارز را در نظر می‌گیرد

8. نمونه چارچوب تحلیل

مطالعه موردی: بیمه‌گر جهانی اموال و مسئولیت

یک بیمه‌گر اموال و مسئولیت را در نظر بگیرید که تعهدات هم به دلار آمریکا و هم به یورو دارد. با استفاده از چارچوب مقاله:

1. تخمین پارامترها:
   • تخمین پارامترهای OU برای رانش EUR/USD با استفاده از رگرسیون متحرک ۱۰ ساله
   • کالیبره کردن پارامترهای فرآیند خسارت از داده‌های تاریخی زیان
   • تخمین بیزاری از ریسک γ از الگوهای سرمایه‌گذاری تاریخی شرکت
2. پیاده‌سازی استراتژی:
   • محاسبه نسبت بهینه سرمایه‌گذاری بر حسب یورو به صورت روزانه
   • نظارت بر نسبت پوشش $\frac{V_\theta}{V_w}$ برای سیگنال‌های تعدیل مجدد
   • پیاده‌سازی با باندهای تحمل ۵٪ برای کاهش هزینه‌های معامله
3. تخصیص عملکرد:
   • تفکیک بازده به: (الف) جزء نزدیک‌بینانه، (ب) پوشش نرخ ارز، (ج) زمان‌بندی رانش
   • مقایسه با تخصیص ثابت ساده ۶۰/۴۰ داخلی/خارجی

این چارچوب، اگرچه ساده‌شده است، رویکردی ساختاریافته برای تخصیص دارایی بیمه‌گر چندارزی ارائه می‌دهد که از روش‌های معمول موردی، دقیق‌تر است.

9. کاربردها و جهت‌های آتی

کاربردهای فوری:

• برنامه‌های پوشش ارزی پویا: بیمه‌گران می‌توانند این استراتژی را به عنوان یک پوشش ارزی پیاده‌سازی کنند و نسبت‌های پوشش را بر اساس پیش‌بینی‌های رانش نرخ ارز به صورت پویا تنظیم کنند.
• بهینه‌سازی سولونسی II: گنجاندن چارچوب در فرآیندهای ORSA (ارزیابی ریسک و توانگری خود) برای بیمه‌گران اروپایی
• خزانه‌داری شرکت‌های چندملیتی: گسترش به مدیریت ریسک شرکتی فراتر از بیمه

جهت‌های پژوهشی:

1. گسترش‌های تغییر رژیم: جایگزینی فرآیند OU با مدل تغییر رژیم مارکوف برای ثبت شکست‌های ساختاری در رفتار نرخ ارز
2. ادغام یادگیری ماشین: استفاده از شبکه‌های LSTM برای تخمین فرآیند رانش نرخ ارز θ(t) به جای فرض دینامیک پارامتری OU
3. کاربردهای مالی غیرمتمرکز: تطبیق چارچوب برای محصولات بیمه‌ای رمزارزی با مواجهه‌های چند رمزارزی
4. ادغام ریسک اقلیمی: گنجاندن ریسک انتقال اقلیمی در دینامیک نرخ ارز برای سرمایه‌گذاری‌های بلندمدت بیمه‌گران

10. مراجع

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
8. European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.