Investissement optimal pour un assureur sur deux marchés de devises : une analyse par contrôle stochastique

Table des matières

1. Introduction

Cet article aborde une lacune critique dans la littérature sur la gestion des risques des assureurs : les stratégies d'investissement optimales pour les assureurs opérant sur plusieurs marchés de devises. Alors que les modèles traditionnels se concentrent sur des environnements à devise unique, les opérations d'assurance mondialisées nécessitent de comprendre la dynamique du risque transfrontalier. La recherche combine l'actuariat et les mathématiques financières pour développer un cadre complet permettant aux assureurs d'investir à la fois sur les marchés domestiques et étrangers.

Le défi fondamental réside dans la gestion de trois risques interconnectés : le risque de sinistre d'assurance, le risque de marché financier et le risque de change. Les travaux antérieurs de Browne (1995), Yang et Zhang (2005), et Schmidli (2002) ont jeté les bases des problèmes d'investissement des assureurs mais ont négligé la dimension multi-devises qui devient de plus en plus pertinente dans l'économie mondiale d'aujourd'hui.

2. Cadre du modèle

2.1 Processus de surplus

Le processus de surplus de l'assureur suit l'approximation par diffusion du modèle classique de Cramér-Lundberg :

$dX(t) = c dt - dS(t)$

où $c$ représente le taux de prime et $S(t)$ est le processus agrégé des sinistres. Sous l'approximation par diffusion, cela devient :

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

où $\mu$ est la dérive ajustée par la marge de sécurité et $\sigma$ représente la volatilité des sinistres.

2.2 Modèle de taux de change

Le taux de change entre les devises domestique et étrangère suit :

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

où le taux de croissance moyen instantané $\theta(t)$ suit un processus d'Ornstein-Uhlenbeck :

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

Cette spécification à retour vers la moyenne capture le comportement empirique des taux de change influencés par des facteurs économiques fondamentaux tels que les différentiels d'inflation et les écarts de taux d'intérêt.

2.3 Portefeuille d'investissement

L'assureur répartit sa richesse entre :

• Un actif sans risque domestique au taux $r_d$
• Un actif risqué étranger dont la dynamique de rendement est exprimée en devise étrangère
• La conversion de devises via le taux de change $E(t)$

Le processus de richesse totale $W(t)$ évolue selon la stratégie d'investissement $\pi(t)$, qui représente la proportion investie dans l'actif risqué étranger.

3. Problème d'optimisation

3.1 Objectif d'utilité exponentielle

L'assureur vise à maximiser l'utilité exponentielle espérée de la richesse terminale :

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

où $\gamma > 0$ est le coefficient d'aversion absolue au risque constant. Cette fonction d'utilité est particulièrement adaptée aux assureurs en raison de sa propriété d'aversion au risque constante et de sa maniabilité analytique.

3.2 Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman

La fonction de valeur $V(t,w,\theta)$ satisfait l'équation HJB :

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

avec la condition terminale $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$, où $\mathcal{L}^\pi$ est le générateur infinitésimal du processus de richesse sous la stratégie $\pi$.

4. Solution analytique

4.1 Stratégie d'investissement optimale

La stratégie d'investissement optimale dans l'actif risqué étranger prend la forme :

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

où $\mu_F$ et $\sigma_F$ sont les paramètres de rendement de l'actif étranger, $r_f$ est le taux sans risque étranger, $\rho$ est la corrélation entre le taux de change et les rendements de l'actif étranger, et $\phi(t)$ est une fonction du processus de dérive du taux de change.

4.2 Fonction de valeur

La fonction de valeur admet une forme exponentielle affine :

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

où $A(t)$, $B(t)$ et $C(t)$ satisfont un système d'équations différentielles ordinaires dérivées de l'équation HJB.

5. Analyse numérique

5.1 Sensibilité aux paramètres

Les expériences numériques démontrent :

• Impact de l'aversion au risque : Un $\gamma$ plus élevé réduit la proportion optimale d'investissement étranger d'environ 60 % à 25 % dans les scénarios testés.
• Volatilité du taux de change : La stratégie optimale diminue de 15 à 20 % lorsque $\eta$ passe de 0,1 à 0,3.
• Vitesse de retour à la moyenne : Un retour à la moyenne plus rapide (un $\kappa$ plus élevé) réduit la demande de couverture contre les changements de dérive du taux de change.

5.2 Performance de la stratégie

L'analyse comparative montre que la stratégie multi-devises surpasse les approches à devise unique de 8 à 12 % en termes de richesse équivalente certaine, et ce, pour diverses configurations de paramètres, en particulier pendant les périodes de persistance des tendances du taux de change.

6. Idée centrale et analyse

Idée centrale : Cet article apporte une avancée cruciale mais étroitement ciblée : il étend avec succès la théorie de l'investissement des assureurs à deux devises, mais le fait dans le cadre d'hypothèses restrictives qui limitent son application pratique immédiate. La valeur réelle ne réside pas dans la solution spécifique, mais dans la démonstration que le cadre HJB peut gérer cette complexité, ouvrant ainsi la voie à des extensions plus réalistes.

Enchaînement logique : Les auteurs suivent un modèle classique de contrôle stochastique : 1) Mise en place du modèle avec approximations par diffusion, 2) Formulation HJB, 3) Solution par conjecture et vérification avec forme exponentielle affine, 4) Vérification numérique. Cette approche est mathématiquement rigoureuse mais pédagogiquement prévisible. L'inclusion d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck pour la dérive du taux de change ajoute de la sophistication, rappelant les modèles de type Vasicek en taux d'intérêt, mais le traitement reste théoriquement élégant plutôt qu'empiriquement fondé.

Points forts et faiblesses : Le principal point fort est l'exhaustivité technique – la solution est élégante et la technique de séparation des variables est appliquée avec expertise. Cependant, trois faiblesses critiques nuisent à la pertinence pratique. Premièrement, l'approximation par diffusion des sinistres d'assurance efface le risque de saut, qui est fondamental en assurance (comme souligné dans le travail fondateur de Schmidli (2002, "On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance")). Deuxièmement, le modèle suppose des échanges continus et des marchés parfaits et sans friction, ignorant les contraintes de liquidité qui affectent les marchés des changes pendant les crises. Troisièmement, l'analyse numérique semble être une réflexion après coup – elle vérifie plutôt qu'elle n'explore, manquant des tests de robustesse comme ceux observés dans les articles contemporains de finance computationnelle, comme ceux du Journal of Computational Finance.

Perspectives exploitables : Pour les praticiens, cet article offre un point de référence, pas un plan directeur. Les gestionnaires de risques devraient extraire l'idée qualitative – que la prévisibilité de la dérive du taux de change (via le processus OU) crée une demande de couverture – mais devraient l'implémenter en utilisant des techniques d'estimation plus robustes pour les paramètres OU. Pour les chercheurs, les prochaines étapes évidentes sont : 1) Incorporer des sinistres avec sauts-diffusion suivant l'approche de Kou (2002, "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing"), 2) Ajouter une volatilité stochastique au processus de taux de change, reconnaissant le regroupement de volatilité bien documenté sur les marchés des changes, et 3) Introduire des coûts de transaction, éventuellement en utilisant des méthodes de contrôle par impulsions. Le domaine n'a pas besoin de plus de variations sur ce modèle exact ; il a besoin de l'élégance de ce modèle combinée au réalisme empirique que l'on trouve dans les meilleurs travaux de Jarrow (2018, "A Practitioner's Guide to Stochastic Finance").

7. Détails techniques

L'innovation mathématique clé consiste à résoudre un système d'équations différentielles ordinaires de type Riccati :

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

avec les conditions terminales $C(T)=B(T)=0$. Ces équations régissent la dépendance de la fonction de valeur par rapport à la dérive stochastique du taux de change $\theta(t)$.

La stratégie optimale se décompose en trois composantes :

1. Demande myope : $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – terme standard de moyenne-variance.
2. Couverture du taux de change : $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – couvre les changements dans l'ensemble des opportunités d'investissement.
3. Ajustement de la dérive : $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – tient compte de la prévisibilité de la dérive du taux de change.

8. Exemple de cadre d'analyse

Étude de cas : Un assureur IARD mondial

Considérons un assureur de dommages (IARD) avec des engagements à la fois en USD et en EUR. En utilisant le cadre de l'article :

1. Estimation des paramètres :
   • Estimer les paramètres OU pour la dérive EUR/USD en utilisant une régression glissante sur 10 ans.
   • Calibrer les paramètres du processus de sinistres à partir des données historiques de pertes.
   • Estimer l'aversion au risque γ à partir des schémas d'investissement historiques de l'entreprise.
2. Mise en œuvre de la stratégie :
   • Calculer quotidiennement la proportion optimale d'investissement libellé en EUR.
   • Surveiller le ratio de couverture $\frac{V_\theta}{V_w}$ pour les signaux de rééquilibrage.
   • Implémenter avec des bandes de tolérance de 5 % pour réduire les coûts de transaction.
3. Attribution de la performance :
   • Séparer les rendements en : (a) composante myope, (b) couverture de change, (c) timing de la dérive.
   • Comparer à une allocation fixe naïve 60/40 domestique/étranger.

Ce cadre, bien que simplifié, fournit une approche structurée de l'allocation d'actifs multi-devises pour les assureurs, plus rigoureuse que les méthodes ad hoc typiques.

9. Applications futures et orientations

Applications immédiates :

• Programmes dynamiques de couverture de change (Currency Overlay) : Les assureurs peuvent implémenter la stratégie comme une couverture de change dynamique, ajustant les ratios de couverture en fonction des prévisions de dérive du taux de change.
• Optimisation Solvabilité II : Intégrer le cadre dans les processus ORSA (Own Risk and Solvency Assessment) pour les assureurs européens.
• Trésorerie des entreprises multinationales : Étendre à la gestion des risques d'entreprise au-delà de l'assurance.

Orientations de recherche :

1. Extensions avec changement de régime : Remplacer le processus OU par un modèle à changement de régime de Markov pour capturer les ruptures structurelles dans le comportement du taux de change.
2. Intégration de l'apprentissage automatique : Utiliser des réseaux LSTM pour estimer le processus de dérive du taux de change θ(t) plutôt que de supposer une dynamique OU paramétrique.
3. Applications en finance décentralisée (DeFi) : Adapter le cadre pour les produits d'assurance-crypto avec des expositions à plusieurs cryptomonnaies.
4. Intégration du risque climatique : Incorporer le risque de transition climatique dans la dynamique des taux de change pour les investissements à long terme des assureurs.

10. Références

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
8. European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.