दो मुद्रा बाजारों में एक बीमाकर्ता के लिए इष्टतम निवेश: एक स्टोकेस्टिक नियंत्रण विश्लेषण

विषय सूची

1. परिचय

यह शोध पत्र बीमा जोखिम प्रबंधन साहित्य में एक महत्वपूर्ण अंतर को संबोधित करता है: एकाधिक मुद्रा बाजारों में कार्यरत बीमाकर्ताओं के लिए इष्टतम निवेश रणनीतियाँ। जबकि पारंपरिक मॉडल एकल-मुद्रा वातावरण पर केंद्रित हैं, वैश्वीकृत बीमा संचालन के लिए क्रॉस-मुद्रा जोखिम गतिशीलता को समझना आवश्यक है। यह शोध बीमांकिकी को वित्तीय गणित के साथ जोड़ता है ताकि घरेलू और विदेशी दोनों बाजारों में निवेश करने वाले बीमाकर्ताओं के लिए एक व्यापक रूपरेखा विकसित की जा सके।

मूलभूत चुनौती तीन परस्पर जुड़े जोखिमों के प्रबंधन में निहित है: बीमा दावा जोखिम, वित्तीय बाजार जोखिम और विदेशी मुद्रा विनिमय दर जोखिम। ब्राउन (1995), यांग और झांग (2005), और श्मिडली (2002) के पूर्व कार्यों ने बीमाकर्ता निवेश समस्याओं की नींव रखी, लेकिन बहु-मुद्रा आयाम की उपेक्षा की, जो आज की वैश्विक अर्थव्यवस्था में तेजी से प्रासंगिक होता जा रहा है।

2. मॉडल रूपरेखा

2.1 अधिशेष प्रक्रिया

बीमाकर्ता की अधिशेष प्रक्रिया शास्त्रीय क्रैमर-लुंडबर्ग मॉडल के विसरण सन्निकटन का अनुसरण करती है:

$dX(t) = c dt - dS(t)$

जहाँ $c$ प्रीमियम दर का प्रतिनिधित्व करता है और $S(t)$ कुल दावा प्रक्रिया है। विसरण सन्निकटन के तहत, यह बन जाता है:

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

जहाँ $\mu$ सुरक्षा लोडिंग समायोजित प्रवाह है और $\sigma$ दावा अस्थिरता का प्रतिनिधित्व करता है।

2.2 विदेशी मुद्रा विनिमय दर मॉडल

घरेलू और विदेशी मुद्राओं के बीच विनिमय दर इस प्रकार है:

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

जहाँ तात्कालिक माध्य वृद्धि दर $\theta(t)$ एक ओर्नस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया का अनुसरण करती है:

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

यह माध्य-प्रत्यावर्ती विनिर्देश मुद्रा विनिमय दरों के अनुभवजन्य व्यवहार को दर्शाता है जो मुद्रास्फीति अंतर और ब्याज दर प्रसार जैसे मौलिक आर्थिक कारकों से प्रभावित होता है।

2.3 निवेश पोर्टफोलियो

बीमाकर्ता धन का आवंटन निम्नलिखित में करता है:

• दर $r_d$ वाली घरेलू जोखिम-मुक्त संपत्ति
• विदेशी मुद्रा में रिटर्न गतिशीलता वाली विदेशी जोखिमपूर्ण संपत्ति
• विनिमय दर $E(t)$ के माध्यम से मुद्रा रूपांतरण

कुल धन प्रक्रिया $W(t)$ निवेश रणनीति $\pi(t)$ के अनुसार विकसित होती है, जो विदेशी जोखिमपूर्ण संपत्ति में निवेशित अनुपात का प्रतिनिधित्व करती है।

3. अनुकूलन समस्या

3.1 घातीय उपयोगिता उद्देश्य

बीमाकर्ता का उद्देश्य अंतिम धन की अपेक्षित घातीय उपयोगिता को अधिकतम करना है:

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

जहाँ $\gamma > 0$ निरंतर निरपेक्ष जोखिम विमुखता गुणांक है। यह उपयोगिता फलन अपनी निरंतर जोखिम विमुखता संपत्ति और विश्लेषणात्मक सुगमता के कारण बीमाकर्ताओं के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है।

3.2 हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण

मूल्य फलन $V(t,w,\theta)$ एचजेबी समीकरण को संतुष्ट करता है:

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

अंतिम शर्त $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$ के साथ, जहाँ $\mathcal{L}^\pi$ रणनीति $\pi$ के तहत धन प्रक्रिया का अतिसूक्ष्म जनरेटर है।

4. विश्लेषणात्मक समाधान

4.1 इष्टतम निवेश रणनीति

विदेशी जोखिमपूर्ण संपत्ति में इष्टतम निवेश रणनीति इस रूप में है:

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

जहाँ $\mu_F$ और $\sigma_F$ विदेशी संपत्ति के रिटर्न पैरामीटर हैं, $r_f$ विदेशी जोखिम-मुक्त दर है, $\rho$ विनिमय दर और विदेशी संपत्ति रिटर्न के बीच सहसंबंध है, और $\phi(t)$ विनिमय दर प्रवाह प्रक्रिया का एक फलन है।

4.2 मूल्य फलन

मूल्य फलन एक घातीय एफाइन रूप स्वीकार करता है:

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

जहाँ $A(t)$, $B(t)$, और $C(t)$ एचजेबी समीकरण से प्राप्त साधारण अवकल समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करते हैं।

5. संख्यात्मक विश्लेषण

5.1 पैरामीटर संवेदनशीलता

संख्यात्मक प्रयोग प्रदर्शित करते हैं:

• जोखिम विमुखता प्रभाव: उच्च $\gamma$ परीक्षण किए गए परिदृश्यों में इष्टतम विदेशी निवेश अनुपात को लगभग 60% से घटाकर 25% कर देता है
• विनिमय दर अस्थिरता: जब $\eta$ 0.1 से बढ़कर 0.3 हो जाती है, तो इष्टतम रणनीति 15-20% कम हो जाती है
• माध्य प्रत्यावर्तन गति: तेज माध्य प्रत्यावर्तन (उच्च $\kappa$) विनिमय दर प्रवाह परिवर्तनों के विरुद्ध हेजिंग मांग को कम करता है

5.2 रणनीति प्रदर्शन

तुलनात्मक विश्लेषण से पता चलता है कि बहु-मुद्रा रणनीति विभिन्न पैरामीटर विन्यासों में निश्चितता समतुल्य धन में एकल-मुद्रा दृष्टिकोणों से 8-12% बेहतर प्रदर्शन करती है, विशेष रूप से विनिमय दर प्रवृत्ति निरंतरता की अवधि के दौरान।

6. मूल अंतर्दृष्टि और विश्लेषण

मूल अंतर्दृष्टि: यह शोध पत्र एक महत्वपूर्ण लेकिन संकीर्ण रूप से केंद्रित प्रगति प्रदान करता है—यह बीमाकर्ता निवेश सिद्धांत को सफलतापूर्वक दो मुद्राओं तक विस्तारित करता है, लेकिन प्रतिबंधात्मक मान्यताओं के भीतर ऐसा करता है जो तत्काल व्यावहारिक अनुप्रयोग को सीमित करती हैं। वास्तविक मूल्य विशिष्ट समाधान में नहीं, बल्कि यह प्रदर्शित करने में निहित है कि एचजेबी रूपरेखा इस जटिलता को संभाल सकती है, अधिक यथार्थवादी विस्तारों के लिए द्वार खोलती है।

तार्किक प्रवाह: लेखक एक शास्त्रीय स्टोकेस्टिक नियंत्रण टेम्पलेट का अनुसरण करते हैं: 1) विसरण सन्निकटन के साथ मॉडल सेटअप, 2) एचजेबी निरूपण, 3) घातीय एफाइन रूप के साथ अनुमान-सत्यापन समाधान, 4) संख्यात्मक सत्यापन। यह दृष्टिकोण गणितीय रूप से कठोर है लेकिन शैक्षणिक रूप से पूर्वानुमेय है। विनिमय दर प्रवाह के लिए एक ओर्नस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया का समावेश परिष्कार जोड़ता है, जो निश्चित आय में वासिसेक-प्रकार के मॉडल की याद दिलाता है, लेकिन उपचार सैद्धांतिक रूप से साफ-सुथरा बना रहता है न कि अनुभवजन्य रूप से आधारित।

शक्तियाँ और दोष: प्राथमिक शक्ति तकनीकी पूर्णता है—समाधान सुंदर है और चरों के पृथक्करण तकनीक का विशेषज्ञता से अनुप्रयोग किया गया है। हालाँकि, तीन महत्वपूर्ण दोष व्यावहारिक प्रासंगिकता को कमजोर करते हैं। पहला, बीमा दावों का विसरण सन्निकटन जंप जोखिम को धो देता है, जो बीमा के लिए मौलिक है (जैसा कि श्मिडली (2002, "On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance") के मौलिक कार्य में जोर दिया गया है)। दूसरा, मॉडल निरंतर व्यापार और पूर्ण घर्षण-रहित बाजारों को मानता है, संकट के दौरान मुद्रा बाजारों को प्रभावित करने वाली तरलता बाधाओं की उपेक्षा करता है। तीसरा, संख्यात्मक विश्लेषण एक बाद के विचार की तरह लगता है—यह खोज के बजाय सत्यापन करता है, जिसमें Journal of Computational Finance जैसे समकालीन कम्प्यूटेशनल फाइनेंस पत्रों में देखे गए मजबूती परीक्षणों का अभाव है।

कार्रवाई योग्य अंतर्दृष्टि: व्यवसायियों के लिए, यह शोध पत्र एक बेंचमार्क प्रदान करता है, न कि एक खाका। जोखिम प्रबंधकों को गुणात्मक अंतर्दृष्टि निकालनी चाहिए—कि विनिमय दर प्रवाह पूर्वानुमेयता (ओयू प्रक्रिया के माध्यम से) हेजिंग मांग पैदा करती है—लेकिन इसे ओयू पैरामीटरों के लिए अधिक मजबूत अनुमान तकनीकों का उपयोग करके लागू करना चाहिए। शोधकर्ताओं के लिए, स्पष्ट अगले चरण हैं: 1) कौ (2002, "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing") के दृष्टिकोण का अनुसरण करते हुए जंप-डिफ्यूजन दावों को शामिल करना, 2) एफएक्स बाजारों में अच्छी तरह से प्रलेखित अस्थिरता क्लस्टरिंग को स्वीकार करते हुए विनिमय दर प्रक्रिया में स्टोकेस्टिक अस्थिरता जोड़ना, और 3) लेनदेन लागतों को पेश करना, संभवतः आवेग नियंत्रण विधियों का उपयोग करके। क्षेत्र को इस सटीक मॉडल पर अधिक भिन्नताओं की आवश्यकता नहीं है; इसे इस मॉडल की सुंदरता को जैरो (2018, "A Practitioner's Guide to Stochastic Finance") के सर्वोत्तम कार्य में पाए जाने वाले अनुभवजन्य यथार्थवाद के साथ संयोजित करने की आवश्यकता है।

7. तकनीकी विवरण

मुख्य गणितीय नवाचार में रिकाटी-प्रकार के ओडीई की एक प्रणाली को हल करना शामिल है:

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

अंतिम शर्तों $C(T)=B(T)=0$ के साथ। ये समीकरण स्टोकेस्टिक विनिमय दर प्रवाह $\theta(t)$ पर मूल्य फलन की निर्भरता को नियंत्रित करते हैं।

इष्टतम रणनीति तीन घटकों में विघटित होती है:

1. निकटदृष्टि मांग: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – मानक माध्य-विचरण पद
2. विनिमय दर हेज: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – निवेश अवसर सेट में परिवर्तनों को हेज करता है
3. प्रवाह समायोजन: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – विनिमय दर प्रवाह में पूर्वानुमेयता को ध्यान में रखता है

8. विश्लेषण रूपरेखा उदाहरण

केस स्टडी: वैश्विक पी एंड सी बीमाकर्ता

एक संपत्ति और दुर्घटना बीमाकर्ता पर विचार करें जिसकी देनदारियाँ यूएसडी और यूरो दोनों में हैं। शोध पत्र की रूपरेखा का उपयोग करते हुए:

1. पैरामीटर अनुमान:
   • 10-वर्षीय रोलिंग रिग्रेशन का उपयोग करके EUR/USD प्रवाह के लिए OU पैरामीटर का अनुमान लगाएं
   • ऐतिहासिक हानि डेटा से दावा प्रक्रिया पैरामीटर कैलिब्रेट करें
   • कंपनी के ऐतिहासिक निवेश पैटर्न से जोखिम विमुखता γ का अनुमान लगाएं
2. रणनीति कार्यान्वयन:
   • दैनिक इष्टतम EUR-मूल्यवर्गित निवेश अनुपात की गणना करें
   • पुनर्संतुलन संकेतों के लिए हेज अनुपात $\frac{V_\theta}{V_w}$ की निगरानी करें
   • लेनदेन लागतों को कम करने के लिए 5% सहनशीलता बैंड के साथ लागू करें
3. प्रदर्शन आरोपण:
   • रिटर्न को अलग करें: (क) निकटदृष्टि घटक, (ख) विनिमय दर हेज, (ग) प्रवाह समयनिर्धारण
   • निष्क्रिय 60/40 घरेलू/विदेशी निश्चित आवंटन से तुलना करें

यह रूपरेखा, हालांकि सरलीकृत, बहु-मुद्रा बीमाकर्ता परिसंपत्ति आवंटन के लिए एक संरचित दृष्टिकोण प्रदान करती है जो विशिष्ट तदर्थ विधियों की तुलना में अधिक कठोर है।

9. भविष्य के अनुप्रयोग और दिशाएँ

तत्काल अनुप्रयोग:

• गतिशील मुद्रा ओवरले कार्यक्रम: बीमाकर्ता इस रणनीति को एक मुद्रा ओवरले के रूप में लागू कर सकते हैं, विनिमय दर प्रवाह पूर्वानुमानों के आधार पर हेज अनुपातों को गतिशील रूप से समायोजित करते हुए
• सॉल्वेंसी II अनुकूलन: यूरोपीय बीमाकर्ताओं के लिए ORSA (स्वयं का जोखिम और शोधनक्षमता मूल्यांकन) प्रक्रियाओं में रूपरेखा को शामिल करें
• बहुराष्ट्रीय कॉर्पोरेट ट्रेजरी: बीमा से परे कॉर्पोरेट जोखिम प्रबंधन तक विस्तारित करें

अनुसंधान दिशाएँ:

1. शासन-परिवर्तन विस्तार: विनिमय दर व्यवहार में संरचनात्मक विरामों को पकड़ने के लिए OU प्रक्रिया को मार्कोव शासन-परिवर्तन मॉडल से बदलें
2. मशीन लर्निंग एकीकरण: पैरामीट्रिक OU गतिशीलता मानने के बजाय विनिमय दर प्रवाह प्रक्रिया θ(t) का अनुमान लगाने के लिए LSTM नेटवर्क का उपयोग करें
3. विकेंद्रीकृत वित्त अनुप्रयोग: एकाधिक क्रिप्टोकरेंसी एक्सपोजर वाले क्रिप्टो-बीमा उत्पादों के लिए रूपरेखा को अनुकूलित करें
4. जलवायु जोखिम एकीकरण: दीर्घकालिक बीमाकर्ता निवेशों के लिए विनिमय दर गतिशीलता में जलवायु संक्रमण जोखिम को शामिल करें

10. संदर्भ

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
8. European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.