두 통화 시장에서 보험사의 최적 투자: 확률적 제어 분석

목차

1. 서론

본 논문은 다중 통화 시장에서 운영되는 보험사의 최적 투자 전략이라는 보험 리스크 관리 문헌의 중요한 공백을 다룹니다. 기존 모형들이 단일 통화 환경에 초점을 맞추는 반면, 글로벌화된 보험 운영은 교차 통화 리스크 역학에 대한 이해를 필요로 합니다. 본 연구는 보험수리학과 금융 수학을 결합하여 국내 및 해외 시장에 투자하는 보험사를 위한 포괄적인 프레임워크를 개발합니다.

근본적인 과제는 상호 연결된 세 가지 리스크, 즉 보험 청구 리스크, 금융 시장 리스크, 외환 리스크를 관리하는 데 있습니다. Browne (1995), Yang과 Zhang (2005), Schmidli (2002)의 선행 연구들은 보험사 투자 문제의 기초를 마련했으나, 오늘날 글로벌 경제에서 점점 더 중요해지는 다중 통화 차원을 간과했습니다.

2. 모형 프레임워크

2.1 잉여금 과정

보험사의 잉여금 과정은 고전적인 크라머-룬드베르크 모형의 확산 근사를 따릅니다:

$dX(t) = c dt - dS(t)$

여기서 $c$는 보험료율을 나타내고 $S(t)$는 총 청구 과정입니다. 확산 근사 하에서 이는 다음과 같이 됩니다:

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

여기서 $\mu$는 안전 부하 조정된 드리프트이고 $\sigma$는 청구 변동성을 나타냅니다.

2.2 외환 환율 모형

국내 통화와 외국 통화 간의 환율은 다음을 따릅니다:

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

여기서 순간 평균 성장률 $\theta(t)$는 오른슈타인-울렌벡 과정을 따릅니다:

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

이 평균 회귀 명세는 인플레이션 차이와 이자율 스프레드와 같은 근본적인 경제 요인에 영향을 받는 환율의 경험적 행태를 포착합니다.

2.3 투자 포트폴리오

보험사는 자산을 다음과 같이 배분합니다:

• 국내 무위험 자산 (이자율 $r_d$)
• 외국 위험 자산 (외국 통화 기준 수익률 동역학)
• 환율 $E(t)$를 통한 통화 전환

총 자산 과정 $W(t)$는 외국 위험 자산에 투자된 비율을 나타내는 투자 전략 $\pi(t)$에 따라 변화합니다.

3. 최적화 문제

3.1 지수 효용 목적함수

보험사는 기말 자산의 기대 지수 효용을 극대화하는 것을 목표로 합니다:

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

여기서 $\gamma > 0$는 상대적 위험 회피 계수입니다. 이 효용 함수는 일정한 위험 회피 특성과 해석적 용이성으로 인해 보험사에 특히 적합합니다.

3.2 해밀턴-야코비-벨만 방정식

가치 함수 $V(t,w,\theta)$는 HJB 방정식을 만족합니다:

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

기말 조건은 $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$이며, 여기서 $\mathcal{L}^\pi$는 전략 $\pi$ 하의 자산 과정의 무한소 생성자입니다.

4. 해석적 해

4.1 최적 투자 전략

외국 위험 자산에 대한 최적 투자 전략은 다음과 같은 형태를 가집니다:

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

여기서 $\mu_F$와 $\sigma_F$는 외국 자산의 수익률 매개변수, $r_f$는 외국 무위험 이자율, $\rho$는 환율과 외국 자산 수익률 간의 상관관계, $\phi(t)$는 환율 드리프트 과정의 함수입니다.

4.2 가치 함수

가치 함수는 지수 아핀 형태를 허용합니다:

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

여기서 $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$는 HJB 방정식에서 유도된 상미분 방정식 시스템을 만족합니다.

5. 수치 분석

5.1 매개변수 민감도

수치 실험은 다음을 보여줍니다:

• 위험 회피도 영향: 더 높은 $\gamma$는 테스트된 시나리오 전반에 걸쳐 최적 외국 투자 비율을 약 60%에서 25%로 감소시킵니다.
• 환율 변동성: $\eta$가 0.1에서 0.3으로 증가할 때 최적 전략이 15-20% 감소합니다.
• 평균 회귀 속도: 더 빠른 평균 회귀(더 높은 $\kappa$)는 환율 드리프트 변화에 대한 헤지 수요를 감소시킵니다.

5.2 전략 성과

비교 분석은 다중 통화 전략이 다양한 매개변수 구성에서 확정 등가 자산 기준으로 단일 통화 접근법보다 8-12% 우수한 성과를 보이며, 특히 환율 추세 지속 기간 동안 두드러진다고 나타냅니다.

6. 핵심 통찰 및 분석

핵심 통찰: 본 논문은 중요하지만 매우 제한된 범위의 진전을 제공합니다. 즉, 보험사 투자 이론을 두 통화로 성공적으로 확장했지만, 즉각적인 실무 적용을 제한하는 제한적인 가정 하에서 이루어졌습니다. 진정한 가치는 특정 해법 자체가 아니라 HJB 프레임워크가 이러한 복잡성을 다룰 수 있다는 점을 보여줌으로써 더 현실적인 확장의 문을 열었다는 데 있습니다.

논리적 흐름: 저자들은 고전적인 확률적 제어 템플릿을 따릅니다: 1) 확산 근사를 포함한 모형 설정, 2) HJB 공식화, 3) 지수 아핀 형태를 이용한 추측-검증 해법, 4) 수치 검증. 이 접근법은 수학적으로 엄격하지만 교육적으로 예측 가능합니다. 환율 드리프트에 오른슈타인-울렌벡 과정을 포함시킨 것은 고정 수입 분야의 바시체크형 모형을 연상시키는 정교함을 더하지만, 그 처리 방식은 경험적으로 근거를 둔 것보다는 이론적으로 깔끔하게 남아 있습니다.

강점과 결점: 주요 강점은 기술적 완결성입니다. 해법은 우아하고 변수 분리 기법이 전문적으로 적용되었습니다. 그러나 세 가지 중요한 결점이 실무적 관련성을 약화시킵니다. 첫째, 보험 청구의 확산 근사는 보험의 근본적인 점프 리스크를 제거합니다(이것은 Schmidli (2002, "On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance")의 선구적 연구에서 강조된 바 있습니다). 둘째, 모형은 연속 거래와 완벽한 마찰 없는 시장을 가정하여 위기 시 외환 시장을 괴롭히는 유동성 제약을 무시합니다. 셋째, 수치 분석은 사후 고안처럼 느껴집니다. 탐구하기보다는 검증에 그치며, Journal of Computational Finance와 같은 현대 계산 금융 논문에서 보이는 강건성 테스트가 부족합니다.

실행 가능한 통찰: 실무자들에게 이 논문은 청사진이 아닌 벤치마크를 제공합니다. 리스크 관리자들은 질적 통찰—환율 드리프트 예측 가능성(OU 과정을 통해)이 헤지 수요를 창출한다는 점—을 추출해야 하지만, OU 매개변수에 대해 더 강건한 추정 기법을 사용하여 이를 구현해야 합니다. 연구자들에게 명확한 다음 단계는 다음과 같습니다: 1) Kou (2002, "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing")의 접근법을 따라 점프-확산 청구를 포함, 2) 외환 시장에서 잘 문서화된 변동성 군집 현상을 인정하며 환율 과정에 확률적 변동성 추가, 3) 충격 제어 방법을 사용하여 거래 비용 도입. 이 분야는 이 정확한 모형의 더 많은 변형이 아니라, Jarrow (2018, "A Practitioner's Guide to Stochastic Finance")의 최고 연구에서 발견되는 경험적 현실성과 결합된 이 모형의 우아함이 필요합니다.

7. 기술적 세부사항

핵심 수학적 혁신은 리카티형 상미분 방정식 시스템을 푸는 것을 포함합니다:

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

기말 조건은 $C(T)=B(T)=0$입니다. 이 방정식들은 가치 함수가 확률적 환율 드리프트 $\theta(t)$에 의존하는 방식을 지배합니다.

최적 전략은 세 가지 구성 요소로 분해됩니다:

1. 근시 수요: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – 표준 평균-분산 항
2. 환율 헤지: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – 투자 기회 집합의 변화를 헤지
3. 드리프트 조정: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – 환율 드리프트의 예측 가능성을 고려

8. 분석 프레임워크 예시

사례 연구: 글로벌 손해보험사

USD와 EUR 모두로 부채가 있는 손해보험사를 고려합니다. 본 논문의 프레임워크를 사용하여:

1. 매개변수 추정:
   • 10년 롤링 회귀를 사용하여 EUR/USD 드리프트에 대한 OU 매개변수 추정
   • 역사적 손실 데이터로부터 청구 과정 매개변수 보정
   • 회사의 역사적 투자 패턴으로부터 위험 회피도 γ 추정
2. 전략 구현:
   • 일별 최적 EUR 표시 투자 비율 계산
   • 재조정 신호를 위한 헤지 비율 $\frac{V_\theta}{V_w}$ 모니터링
   • 거래 비용 감소를 위해 5% 허용 범위로 구현
3. 성과 귀인:
   • 수익률을 (a) 근시적 구성 요소, (b) 환율 헤지, (c) 드리프트 타이밍으로 분리
   • 단순한 60/40 국내/해외 고정 배분과 비교

이 프레임워크는 단순화되었지만, 일반적인 임시 방법보다 더 엄격한 다중 통화 보험사 자산 배분에 대한 구조화된 접근법을 제공합니다.

9. 향후 적용 및 방향

즉각적인 적용 분야:

• 동적 통화 오버레이 프로그램: 보험사들은 환율 드리프트 예측에 기반하여 헤지 비율을 동적으로 조정하는 통화 오버레이로 전략을 구현할 수 있습니다.
• 솔벤시 II 최적화: 유럽 보험사들을 위한 ORSA(자체 위험 및 지급능력 평가) 프로세스에 프레임워크 통합
• 다국적 기업 재무 관리: 보험을 넘어 기업 리스크 관리로 확장

연구 방향:

1. 체제 전환 확장: 환율 행태의 구조적 단절을 포착하기 위해 OU 과정을 마르코프 체제 전환 모형으로 대체
2. 머신러닝 통합: 매개변수적 OU 동역학을 가정하기보다는 LSTM 네트워크를 사용하여 환율 드리프트 과정 θ(t) 추정
3. 분산 금융 응용: 다중 암호화폐 노출을 가진 암호화폐 보험 상품에 프레임워크 적용
4. 기후 리스크 통합: 장기 보험사 투자를 위해 기후 전환 리스크를 환율 동역학에 통합

10. 참고문헌

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
8. European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.