Pelaburan Optimum untuk Penanggung Insurans dalam Dua Pasaran Mata Wang: Analisis Kawalan Stokastik

Kandungan

1. Pengenalan

Kertas kerja ini membahas jurang kritikal dalam literatur pengurusan risiko insurans: strategi pelaburan optimum untuk penanggung insurans yang beroperasi dalam pelbagai pasaran mata wang. Walaupun model tradisional memberi tumpuan kepada persekitaran mata wang tunggal, operasi insurans global memerlukan pemahaman tentang dinamik risiko silang mata wang. Penyelidikan ini menggabungkan sains aktuari dengan matematik kewangan untuk membangunkan kerangka komprehensif bagi penanggung insurans yang melabur dalam pasaran domestik dan asing.

Cabaran asas terletak pada pengurusan tiga risiko yang saling berkaitan: risiko tuntutan insurans, risiko pasaran kewangan, dan risiko pertukaran asing. Karya terdahulu oleh Browne (1995), Yang dan Zhang (2005), dan Schmidli (2002) meletakkan asas bagi masalah pelaburan penanggung insurans tetapi mengabaikan dimensi pelbagai mata wang yang semakin relevan dalam ekonomi global hari ini.

2. Kerangka Model

2.1 Proses Lebihan

Proses lebihan penanggung insurans mengikuti penghampiran resapan model Cramér-Lundberg klasik:

$dX(t) = c dt - dS(t)$

di mana $c$ mewakili kadar premium dan $S(t)$ ialah proses tuntutan agregat. Di bawah penghampiran resapan, ini menjadi:

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

di mana $\mu$ ialah hanyutan pelarasan muatan keselamatan dan $\sigma$ mewakili turun naik tuntutan.

2.2 Model Kadar Pertukaran Asing

Kadar pertukaran antara mata wang domestik dan asing mengikut:

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

di mana kadar pertumbuhan min serta-merta $\theta(t)$ mengikut proses Ornstein-Uhlenbeck:

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

Spesifikasi pemulihan min ini menangkap tingkah laku empirikal kadar pertukaran yang dipengaruhi oleh faktor ekonomi asas seperti perbezaan inflasi dan spread kadar faedah.

2.3 Portfolio Pelaburan

Penanggung insurans memperuntukkan kekayaan merentasi:

• Aset bebas risiko domestik dengan kadar $r_d$
• Aset berisiko asing dengan dinamik pulangan dalam mata wang asing
• Penukaran mata wang melalui kadar pertukaran $E(t)$

Proses jumlah kekayaan $W(t)$ berkembang mengikut strategi pelaburan $\pi(t)$, yang mewakili perkadaran yang dilaburkan dalam aset berisiko asing.

3. Masalah Pengoptimuman

3.1 Objektif Utiliti Eksponen

Penanggung insurans bertujuan untuk memaksimumkan utiliti eksponen jangkaan bagi kekayaan terminal:

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

di mana $\gamma > 0$ ialah pekali keengganan risiko mutlak malar. Fungsi utiliti ini amat sesuai untuk penanggung insurans kerana sifat keengganan risiko malar dan kebolehkendalian analitikalnya.

3.2 Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman

Fungsi nilai $V(t,w,\theta)$ memenuhi persamaan HJB:

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

dengan syarat terminal $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$, di mana $\mathcal{L}^\pi$ ialah penjana infinitesimal bagi proses kekayaan di bawah strategi $\pi$.

4. Penyelesaian Analitikal

4.1 Strategi Pelaburan Optimum

Strategi pelaburan optimum dalam aset berisiko asing mengambil bentuk:

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

di mana $\mu_F$ dan $\sigma_F$ ialah parameter pulangan aset asing, $r_f$ ialah kadar bebas risiko asing, $\rho$ ialah korelasi antara kadar pertukaran dan pulangan aset asing, dan $\phi(t)$ ialah fungsi proses hanyutan kadar pertukaran.

4.2 Fungsi Nilai

Fungsi nilai menerima bentuk eksponen afin:

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

di mana $A(t)$, $B(t)$, dan $C(t)$ memenuhi sistem persamaan pembezaan biasa yang terbit daripada persamaan HJB.

5. Analisis Berangka

5.1 Sensitiviti Parameter

Eksperimen berangka menunjukkan:

• Kesan Keengganan Risiko: $\gamma$ yang lebih tinggi mengurangkan perkadaran pelaburan asing optimum daripada kira-kira 60% kepada 25% merentasi senario yang diuji
• Turun Naik Kadar Pertukaran: Strategi optimum berkurangan sebanyak 15-20% apabila $\eta$ meningkat daripada 0.1 kepada 0.3
• Kelajuan Pemulihan Min: Pemulihan min yang lebih pantas ($\kappa$ lebih tinggi) mengurangkan permintaan lindung nilai terhadap perubahan hanyutan kadar pertukaran

5.2 Prestasi Strategi

Analisis perbandingan menunjukkan strategi pelbagai mata wang mengatasi pendekatan mata wang tunggal sebanyak 8-12% dalam kekayaan setara kepastian merentasi pelbagai konfigurasi parameter, terutamanya semasa tempoh ketekalan trend kadar pertukaran.

6. Inti Pati & Analisis

Inti Pati: Kertas kerja ini menyampaikan kemajuan kritikal tetapi berfokus sempit—ia berjaya memperluaskan teori pelaburan penanggung insurans kepada dua mata wang tetapi melakukannya dalam andaian terhad yang mengehadkan aplikasi praktikal serta-merta. Nilai sebenar terletak bukan pada penyelesaian khusus tetapi dalam menunjukkan bahawa kerangka HJB boleh mengendalikan kerumitan ini, membuka pintu untuk lanjutan yang lebih realistik.

Aliran Logik: Penulis mengikuti templat kawalan stokastik klasik: 1) Persediaan model dengan penghampiran resapan, 2) Formulasi HJB, 3) Penyelesaian teka-dan-sahkan dengan bentuk eksponen afin, 4) Pengesahan berangka. Pendekatan ini adalah ketat secara matematik tetapi boleh diramal secara pedagogi. Kemasukan proses Ornstein-Uhlenbeck untuk hanyutan kadar pertukaran menambah kecanggihan, mengingatkan model jenis Vasicek dalam pendapatan tetap, tetapi rawatan kekal kemas secara teori berbanding berasaskan empirikal.

Kekuatan & Kelemahan: Kekuatan utama ialah kesempurnaan teknikal—penyelesaiannya elegan dan teknik pemisahan pemboleh ubah digunakan dengan mahir. Walau bagaimanapun, tiga kelemahan kritikal melemahkan relevan praktikal. Pertama, penghampiran resapan tuntutan insurans menghapuskan risiko lonjakan, yang asas kepada insurans (seperti yang ditekankan dalam karya penting Schmidli (2002, "On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance")). Kedua, model mengandaikan perdagangan berterusan dan pasaran tanpa geseran sempurna, mengabaikan kekangan kecairan yang membelenggu pasaran mata wang semasa krisis. Ketiga, analisis berangka terasa seperti pemikiran kemudian—ia mengesahkan berbanding meneroka, kekurangan ujian ketegasan yang dilihat dalam kertas kewangan pengiraan kontemporari seperti dari Journal of Computational Finance.

Wawasan Boleh Tindak: Bagi pengamal, kertas ini menawarkan penanda aras, bukan cetak biru. Pengurus risiko harus mengekstrak wawasan kualitatif—bahawa kebolehramalan hanyutan kadar pertukaran (melalui proses OU) mencipta permintaan lindung nilai—tetapi harus melaksanakannya menggunakan teknik anggaran yang lebih teguh untuk parameter OU. Bagi penyelidik, langkah seterusnya yang jelas ialah: 1) Masukkan tuntutan lonjakan-resapan mengikut pendekatan Kou (2002, "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing"), 2) Tambah turun naik stokastik kepada proses kadar pertukaran, mengakui pengelompokan turun naik yang didokumenkan dengan baik dalam pasaran FX, dan 3) Perkenalkan kos transaksi, mungkin menggunakan kaedah kawalan impuls. Bidang ini tidak memerlukan lebih banyak variasi pada model tepat ini; ia memerlukan keanggunan model ini digabungkan dengan realisme empirikal yang ditemui dalam karya terbaik Jarrow (2018, "A Practitioner's Guide to Stochastic Finance").

7. Butiran Teknikal

Inovasi matematik utama melibatkan penyelesaian sistem ODE jenis Riccati:

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

dengan syarat terminal $C(T)=B(T)=0$. Persamaan ini mengawal kebergantungan fungsi nilai pada hanyutan kadar pertukaran stokastik $\theta(t)$.

Strategi optimum terurai kepada tiga komponen:

1. Permintaan Miopik: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – istilah min-varians piawai
2. Lindung Nilai Kadar Pertukaran: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – melindung nilai perubahan dalam set peluang pelaburan
3. Pelarasan Hanyutan: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – mengambil kira kebolehramalan dalam hanyutan kadar pertukaran

8. Contoh Kerangka Analisis

Kajian Kes: Penanggung Insurans Harta & Liabiliti Global

Pertimbangkan penanggung insurans harta & liabiliti dengan liabiliti dalam kedua-dua USD dan EUR. Menggunakan kerangka kertas kerja ini:

1. Anggaran Parameter:
   • Anggar parameter OU untuk hanyutan EUR/USD menggunakan regresi bergolek 10 tahun
   • Tentukan parameter proses tuntutan daripada data kerugian sejarah
   • Anggar keengganan risiko γ daripada corak pelaburan sejarah syarikat
2. Pelaksanaan Strategi:
   • Kira perkadaran pelaburan optimum denominasi EUR setiap hari
   • Pantau nisbah lindung nilai $\frac{V_\theta}{V_w}$ untuk isyarat penyelarasan semula
   • Laksanakan dengan jalur toleransi 5% untuk mengurangkan kos transaksi
3. Atribusi Prestasi:
   • Pisahkan pulangan kepada: (a) komponen miopik, (b) lindung nilai kadar pertukaran, (c) pemasaan hanyutan
   • Bandingkan dengan peruntukan tetap domestik/asing 60/40 naif

Kerangka ini, walaupun dipermudahkan, menyediakan pendekatan berstruktur kepada peruntukan aset penanggung insurans pelbagai mata wang yang lebih ketat berbanding kaedah ad hoc tipikal.

9. Aplikasi & Hala Tuju Masa Depan

Aplikasi Serta-merta:

• Program Overlay Mata Wang Dinamik: Penanggung insurans boleh melaksanakan strategi sebagai overlay mata wang, melaraskan nisbah lindung nilai secara dinamik berdasarkan ramalan hanyutan kadar pertukaran
• Pengoptimuman Solvensi II: Masukkan kerangka ke dalam proses ORSA (Penilaian Risiko dan Solvensi Sendiri) untuk penanggung insurans Eropah
• Perbendaharaan Korporat Pelbagai Negara: Luaskan kepada pengurusan risiko korporat di luar insurans

Hala Tuju Penyelidikan:

1. Lanjutan Pertukaran Rejim: Gantikan proses OU dengan model pertukaran rejim Markov untuk menangkap putusan struktur dalam tingkah laku kadar pertukaran
2. Integrasi Pembelajaran Mesin: Gunakan rangkaian LSTM untuk menganggarkan proses hanyutan kadar pertukaran θ(t) berbanding mengandaikan dinamik OU parametrik
3. Aplikasi Kewangan Terpencar: Sesuaikan kerangka untuk produk kripto-insurans dengan pendedahan pelbagai kriptomata wang
4. Integrasi Risiko Iklim: Masukkan risiko peralihan iklim ke dalam dinamik kadar pertukaran untuk pelaburan penanggung insurans jangka panjang

10. Rujukan

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
8. European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.