Содержание
1. Введение
В данной статье рассматривается важный пробел в литературе по управлению рисками в страховании: оптимальные инвестиционные стратегии для страховых компаний, работающих на нескольких валютных рынках. В то время как традиционные модели сосредоточены на одновалютной среде, глобализация страховых операций требует понимания динамики кросс-валютных рисков. Исследование сочетает актуарную науку с финансовой математикой для разработки комплексной модели инвестирования страховщиков как на внутреннем, так и на внешнем рынках.
Основная сложность заключается в управлении тремя взаимосвязанными рисками: риском страховых выплат, риском финансового рынка и валютным риском. Предыдущие работы Брауна (1995), Янга и Чжана (2005) и Шмидли (2002) заложили основы для решения инвестиционных задач страховщиков, но упустили многовалютное измерение, которое становится всё более актуальным в современной глобальной экономике.
2. Структура модели
2.1 Процесс излишка
Процесс излишка (профицита) страховщика следует диффузионной аппроксимации классической модели Крамера-Лундберга:
$dX(t) = c dt - dS(t)$
где $c$ представляет собой ставку премии, а $S(t)$ — совокупный процесс страховых выплат. При диффузионной аппроксимации это преобразуется в:
$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$
где $\mu$ — дрейф, скорректированный на нагрузку безопасности, а $\sigma$ представляет волатильность выплат.
2.2 Модель обменного курса
Обменный курс между внутренней и иностранной валютами описывается уравнением:
$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$
где мгновенная средняя скорость роста $\theta(t)$ следует процессу Орнштейна-Уленбека:
$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$
Эта спецификация со средним возвратом отражает эмпирическое поведение обменных курсов, на которое влияют фундаментальные экономические факторы, такие как разница в инфляции и спреды процентных ставок.
2.3 Инвестиционный портфель
Страховщик распределяет капитал между:
- Внутренним безрисковым активом со ставкой $r_d$
- Иностранным рисковым активом с динамикой доходности в иностранной валюте
- Конвертацией валюты через обменный курс $E(t)$
Общий процесс изменения капитала $W(t)$ эволюционирует в соответствии с инвестиционной стратегией $\pi(t)$, которая представляет долю, инвестированную в иностранный рисковый актив.
3. Оптимизационная задача
3.1 Целевая функция экспоненциальной полезности
Страховщик стремится максимизировать ожидаемую экспоненциальную полезность от конечного капитала:
$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$
где $\gamma > 0$ — коэффициент постоянной абсолютной неприятия риска. Эта функция полезности особенно подходит для страховщиков благодаря свойству постоянного неприятия риска и аналитической управляемости.
3.2 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана
Функция ценности $V(t,w,\theta)$ удовлетворяет уравнению ГЯБ:
$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$
с конечным условием $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$, где $\mathcal{L}^\pi$ — инфинитезимальный генератор процесса капитала при стратегии $\pi$.
4. Аналитическое решение
4.1 Оптимальная инвестиционная стратегия
Оптимальная инвестиционная стратегия в иностранный рисковый актив имеет вид:
$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$
где $\mu_F$ и $\sigma_F$ — параметры доходности иностранного актива, $r_f$ — иностранная безрисковая ставка, $\rho$ — корреляция между обменным курсом и доходностью иностранного актива, а $\phi(t)$ — функция процесса дрейфа обменного курса.
4.2 Функция ценности
Функция ценности допускает экспоненциальную аффинную форму:
$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$
где $A(t)$, $B(t)$ и $C(t)$ удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений, выведенных из уравнения ГЯБ.
5. Численный анализ
5.1 Чувствительность к параметрам
Численные эксперименты демонстрируют:
- Влияние неприятия риска: Более высокий $\gamma$ снижает оптимальную долю иностранных инвестиций примерно с 60% до 25% в тестируемых сценариях.
- Волатильность обменного курса: Оптимальная стратегия снижается на 15-20%, когда $\eta$ увеличивается с 0.1 до 0.3.
- Скорость среднего возврата: Более быстрый средний возврат (высокий $\kappa$) снижает спрос на хеджирование от изменений дрейфа обменного курса.
5.2 Эффективность стратегии
Сравнительный анализ показывает, что многовалютная стратегия превосходит одновалютные подходы на 8-12% по эквиваленту достоверного капитала при различных конфигурациях параметров, особенно в периоды устойчивых трендов обменного курса.
6. Ключевая идея и анализ
Ключевая идея: Данная статья представляет важный, но узконаправленный прогресс — она успешно расширяет теорию инвестирования страховщиков на две валюты, но делает это в рамках ограничительных допущений, которые сужают возможности немедленного практического применения. Реальная ценность заключается не в конкретном решении, а в демонстрации того, что аппарат уравнений ГЯБ может справиться с этой сложностью, открывая двери для более реалистичных расширений.
Логика изложения: Авторы следуют классическому шаблону стохастического управления: 1) Построение модели с диффузионными аппроксимациями, 2) Формулировка уравнения ГЯБ, 3) Решение методом «угадай и проверь» с экспоненциальной аффинной формой, 4) Численная проверка. Этот подход математически строгий, но педагогически предсказуемый. Включение процесса Орнштейна-Уленбека для дрейфа обменного курса добавляет сложности, напоминая модели типа Васичека в сфере фиксированного дохода, но трактовка остаётся теоретически аккуратной, а не эмпирически обоснованной.
Сильные стороны и недостатки: Основная сила — техническая завершённость — решение элегантно, а техника разделения переменных применена мастерски. Однако три критических недостатка подрывают практическую значимость. Во-первых, диффузионная аппроксимация страховых выплат устраняет риск скачков, который является фундаментальным для страхования (как подчёркивается в основополагающей работе Шмидли (2002, «Об уменьшении вероятности разорения с помощью инвестиций и перестрахования»)). Во-вторых, модель предполагает непрерывную торговлю и идеальные рынки без трения, игнорируя ограничения ликвидности, которые поражают валютные рынки во время кризисов. В-третьих, численный анализ выглядит как запоздалая мысль — он скорее проверяет, чем исследует, и ему не хватает тестов на устойчивость, которые можно увидеть в современных работах по вычислительным финансам, например, в Journal of Computational Finance.
Практические выводы: Для практиков эта статья предлагает ориентир, а не готовый план. Управляющие рисками должны извлечь качественный вывод — что предсказуемость дрейфа обменного курса (через процесс ОУ) создаёт спрос на хеджирование — но должны внедрять его, используя более надёжные методы оценки параметров ОУ. Для исследователей очевидны следующие шаги: 1) Включить скачкообразно-диффузионные выплаты, следуя подходу Коу (2002, «Модель скачкообразной диффузии для оценки опционов»), 2) Добавить стохастическую волатильность в процесс обменного курса, признавая хорошо задокументированную кластеризацию волатильности на валютных рынках, и 3) Ввести транзакционные издержки, возможно, используя методы импульсного управления. Поле не нуждается в новых вариациях этой точной модели; ему нужна элегантность этой модели в сочетании с эмпирическим реализмом, который можно найти в лучших работах Джэрроу (2018, «Практическое руководство по стохастическим финансам»).
7. Технические детали
Ключевое математическое нововведение включает решение системы ОДУ типа Риккати:
$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$
$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$
с конечными условиями $C(T)=B(T)=0$. Эти уравнения определяют зависимость функции ценности от стохастического дрейфа обменного курса $\theta(t)$.
Оптимальная стратегия раскладывается на три компонента:
- Миопический спрос: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ — стандартное среднее-дисперсионное слагаемое.
- Хеджирование обменного курса: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ — хеджирует изменения в наборе инвестиционных возможностей.
- Корректировка дрейфа: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ — учитывает предсказуемость дрейфа обменного курса.
8. Пример аналитического подхода
Пример: Глобальная страховая компания по страхованию имущества и ответственности
Рассмотрим страховщика имущества и ответственности с обязательствами как в USD, так и в EUR. Используя модель из статьи:
- Оценка параметров:
- Оценить параметры ОУ для дрейфа EUR/USD с использованием 10-летней скользящей регрессии.
- Калибровать параметры процесса выплат на основе исторических данных об убытках.
- Оценить неприятие риска γ на основе исторических инвестиционных паттернов компании.
- Реализация стратегии:
- Ежедневно рассчитывать оптимальную долю инвестиций, номинированных в EUR.
- Отслеживать коэффициент хеджирования $\frac{V_\theta}{V_w}$ для сигналов ребалансировки.
- Внедрять с допусками в 5% для снижения транзакционных издержек.
- Анализ эффективности:
- Разделить доходность на: (a) миопическую компоненту, (b) хеджирование обменного курса, (c) тайминг дрейфа.
- Сравнить с наивным фиксированным распределением 60/40 между внутренними и иностранными активами.
Эта модель, хотя и упрощённая, предоставляет структурированный подход к многовалютному распределению активов страховщика, который является более строгим, чем типичные методы ad hoc.
9. Будущие применения и направления
Непосредственные применения:
- Динамические программы валютного оверлея: Страховщики могут реализовать стратегию как валютный оверлей, динамически корректируя коэффициенты хеджирования на основе прогнозов дрейфа обменного курса.
- Оптимизация Solvency II: Включить модель в процессы ORSA (Оценка собственного риска и платежеспособности) для европейских страховщиков.
- Казначейство многонациональных корпораций: Расширить применение на корпоративное управление рисками за пределами страхования.
Направления исследований:
- Расширения с переключением режимов: Заменить процесс ОУ моделью с марковским переключением режимов для учета структурных разрывов в поведении обменного курса.
- Интеграция машинного обучения: Использовать сети LSTM для оценки процесса дрейфа обменного курса θ(t), а не предполагать параметрическую динамику ОУ.
- Приложения в децентрализованных финансах: Адаптировать модель для крипто-страховых продуктов с экспозицией к нескольким криптовалютам.
- Интеграция климатического риска: Включить риск климатического перехода в динамику обменных курсов для долгосрочных инвестиций страховщиков.
10. Список литературы
- Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
- Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
- Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
- Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
- Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
- Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
- Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
- European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.