Uwekezaji Bora kwa Bima Katika Soko Mbili za Fedha: Uchambuzi wa Udhibiti wa Nasibu

Yaliyomo

1. Utangulizi

Makala haya yanashughulikia pengo muhimu katika fasihi ya usimamizi wa hatari ya bima: mikakati bora ya uwekezaji kwa wabima wanaofanya kazi katika masoko mengi ya fedha. Ingawa miundo ya jadi inazingatia mazingira ya fedha moja, shughuli za bima za kimataifa zinahitaji uelewa wa mienendo ya hatari ya kuvuka fedha. Utafiti huu unachanganya sayansi ya aktuaria na hisabati ya kifedha ili kuunda mfumo kamili kwa wabima wanaoweza katika soko la ndani na la kigeni.

Changamoto ya msingi iko katika kusimamia hatari tatu zinazounganishwa: hatari ya madai ya bima, hatari ya soko la kifedha, na hatari ya mabadiliko ya bei ya fedha ya kigeni. Kazi za awali za Browne (1995), Yang na Zhang (2005), na Schmidli (2002) ziliweka msingi wa matatizo ya uwekezaji ya wabima lakini hazikuzingatia mwelekeo wa fedha nyingi ambao unakuwa muhimu zaidi katika uchumi wa kimataifa wa leo.

2. Mfumo wa Mfano

2.1 Mchakato wa Ziada (Surplus)

Mchakato wa ziada wa mtoa bima unafuata makadirio ya utawanyiko wa mfano wa kawaida wa Cramér-Lundberg:

$dX(t) = c dt - dS(t)$

ambapo $c$ inawakilisha kiwango cha malipo ya bima na $S(t)$ ni mchakato wa jumla wa madai. Chini ya makadirio ya utawanyiko, hii inakuwa:

$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$

ambapo $\mu$ ni mabadiliko ya wastani yaliyorekebishwa kwa usalama na $\sigma$ inawakilisha mienendo ya madai.

2.2 Mfano wa Mabadiliko ya Bei ya Fedha ya Kigeni

Mabadiliko ya bei ya fedha kati ya fedha za ndani na za kigeni yanafuata:

$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$

ambapo kiwango cha wastani cha ukuaji wa papo hapo $\theta(t)$ hufuata mchakato wa Ornstein-Uhlenbeck:

$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$

Uainishaji huu wa kurudia wastani unashika tabia ya kiuchumi ya viwango vya ubadilishaji fedha vinavyoathiriwa na mambo ya msingi ya kiuchumi kama tofauti za mfumuko wa bei na tofauti za viwango vya riba.

2.3 Mfuko wa Uwekezaji

Mtoa bima hutenga mali kati ya:

• Mali ya ndani isiyo na hatari na kiwango cha $r_d$
• Mali ya hatari ya kigeni yenye mienendo ya mapato katika fedha ya kigeni
• Ubadilishaji wa fedha kupitia kiwango cha ubadilishaji $E(t)$

Mchakato wa jumla wa mali $W(t)$ unabadilika kulingana na mkakati wa uwekezaji $\pi(t)$, unaowakilisha sehemu iliyowekezwa katika mali ya hatari ya kigeni.

3. Tatizo la Uboreshaji

3.1 Lengo la Manufaa ya Kielelezo

Mtoa bima analenga kuongeza matarajio ya manufaa ya kielelezo ya mali ya mwisho:

$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$

ambapo $\gamma > 0$ ni mgawo wa kudharau hatari kamili. Kazi hii ya manufaa inafaa hasa kwa wabima kwa sababu ya sifa yake ya kudharau hatari ya kudumu na uwezo wa kuchambuliwa kwa urahisi.

3.2 Mlinganyo wa Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)

Kazi ya thamani $V(t,w,\theta)$ inakidhi mlinganyo wa HJB:

$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$

na hali ya mwisho $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$, ambapo $\mathcal{L}^\pi$ ni kizazi kidogo cha mchakato wa mali chini ya mkakati $\pi$.

4. Suluhisho la Kianalitiki

4.1 Mkakati Bora wa Uwekezaji

Mkakati bora wa uwekezaji katika mali ya hatari ya kigeni unachukua umbo:

$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$

ambapo $\mu_F$ na $\sigma_F$ ni vigezo vya mapato ya mali ya kigeni, $r_f$ ni kiwango cha kigeni kisicho na hatari, $\rho$ ni uhusiano kati ya mabadiliko ya bei ya fedha na mapato ya mali ya kigeni, na $\phi(t)$ ni kazi ya mchakato wa mabadiliko ya wastani ya kiwango cha ubadilishaji fedha.

4.2 Kazi ya Thamani

Kazi ya thamani inakubali umbo la kielelezo la affine:

$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$

ambapo $A(t)$, $B(t)$, na $C(t)$ zinakidhi mfumo wa milinganyo tofauti ya kawaida inayotokana na mlinganyo wa HJB.

5. Uchambuzi wa Nambari

5.1 Uvumilivu wa Vigezo

Majaribio ya nambari yanaonyesha:

• Athari ya Kudharau Hatari: $\gamma$ kubwa hupunguza sehemu bora ya uwekezaji wa kigeni kutoka takriban 60% hadi 25% katika hali zilizojaribiwa
• Mienendo ya Mabadiliko ya Bei ya Fedha: Mkakati bora hupungua kwa 15-20% wakati $\eta$ inapoongezeka kutoka 0.1 hadi 0.3
• Kasi ya Kurudia Wastani: Kurudia wastani kwa kasi zaidi ($\kappa$ kubwa) hupunguza mahitaji ya kinga dhidi ya mabadiliko ya mabadiliko ya wastani ya kiwango cha ubadilishaji fedha

5.2 Utendaji wa Mkakati

Uchambuzi wa kulinganisha unaonyesha mkakati wa fedha nyingi unavuka mikakati ya fedha moja kwa 8-12% katika mali sawa katika usanidi mbalimbali wa vigezo, hasa wakati wa vipindi vya udumu wa mwelekeo wa mabadiliko ya bei ya fedha.

6. Uelewa Muhimu na Uchambuzi

Uelewa Muhimu: Makala haya yanatoa maendeleo muhimu lakini yanayolenga kwa kina—yanafanikiwa kupanua nadharia ya uwekezaji ya wabima hadi fedha mbili lakini hufanya hivyo ndani ya mawazo ya kizuizi ambayo yanaweka kikomo matumizi ya mara moja ya vitendo. Thamani halisi haiko katika suluhisho maalum lakini katika kuonyesha kuwa mfumo wa HJB unaweza kushughulikia utata huu, kufungua milango kwa upanuzi zaidi wa kivitendo.

Mtiririko wa Kimantiki: Waandishi wanafuata kiolezo cha kawaida cha udhibiti wa nasibu: 1) Usanidi wa mfano na makadirio ya utawanyiko, 2) Uundaji wa HJB, 3) Suluhisho la kukisia-na-kuthibitisha na umbo la kielelezo la affine, 4) Uthibitishaji wa nambari. Njia hii ni madhubuti kimahesabu lakini inatabirika kielimu. Ujumuishaji wa mchakato wa Ornstein-Uhlenbeck kwa mabadiliko ya wastani ya kiwango cha ubadilishaji fedha huongeza ustadi, ukikumbusha miundo ya aina ya Vasicek katika mapato thabiti, lakini matibabu yanabaki safi kinadharia badala ya kuwa na msingi wa kiuchumi.

Nguvu na Kasoro: Nguvu kuu ni ukamilifu wa kiufundi—suluhisho ni zuri na mbinu ya kutenganisha vigezo inatumiwa kwa ustadi. Hata hivyo, kasoro tatu muhimu zinadhoofisha umuhimu wa vitendo. Kwanza, makadirio ya utawanyiko ya madai ya bima yanaondoa hatari ya kuruka, ambayo ni msingi kwa bima (kama ilivyosisitizwa katika kazi ya msingi ya Schmidli (2002, "On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance")). Pili, mfano unadhani biashara ya kuendelea na masoko kamili yasiyo na msuguano, ukipuuza vikwazo vioevu vinavyowakabili masoko ya fedha wakati wa misukosuko. Tatu, uchambuzi wa nambari unahisi kama kitu cha baadaye—unathibitisha badala ya kuchunguza, ukikosa majaribio ya uthabiti yanayoonekana katika karatasi za kisasa za hesabu za kifedha kama zile kutoka Journal of Computational Finance.

Uelewa Unaoweza Kutekelezwa: Kwa watendaji, makala haya yanatoa kiwango cha kulinganisha, sio mpango. Wasimamizi wa hatari wanapaswa kutoa uelewa wa ubora—kwamba utabiri wa mabadiliko ya wastani ya kiwango cha ubadilishaji fedha (kupitia mchakato wa OU) huunda mahitaji ya kinga—lakini wanapaswa kuitekeleza kwa kutumia mbinu za makadirio zenye nguvu zaidi kwa vigezo vya OU. Kwa watafiti, hatua zinazofuata wazi ni: 1) Kujumuisha madai ya kuruka-utawanyiko kufuatia njia ya Kou (2002, "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing"), 2) Kuongeza mienendo ya nasibu kwa mchakato wa kiwango cha ubadilishaji fedha, kukiri kukusanywa kwa mienendo katika masoko ya FX, na 3) Kuanzisha gharama za manunuzi, labda kwa kutumia mbinu za udhibiti wa msukumo. Uwanja hauhitaji tofauti zaidi kwenye mfano huu halisi; unahitaji uzuri wa mfano huu uliochanganywa na ukweli wa kiuchumi unaopatikana katika kazi bora ya Jarrow (2018, "A Practitioner's Guide to Stochastic Finance").

7. Maelezo ya Kiufundi

Uvumbuzi muhimu wa hisabati unahusisha kutatua mfumo wa milinganyo tofauti ya aina ya Riccati:

$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$

$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$

na hali za mwisho $C(T)=B(T)=0$. Milinganyo hii inadhibiti utegemezi wa kazi ya thamani kwenye mabadiliko ya wastani ya nasibu ya kiwango cha ubadilishaji fedha $\theta(t)$.

Mkakati bora unatenganishwa kuwa sehemu tatu:

1. Mahitaji ya Kijinga (Myopic): $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – neno la kawaida la wastani-tofauti
2. Kinga ya Mabadiliko ya Bei ya Fedha: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – inakinga mabadiliko katika seti ya fursa za uwekezaji
3. Marekebisho ya Mabadiliko ya Wastani: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – inazingatia utabiri katika mabadiliko ya wastani ya kiwango cha ubadilishaji fedha

8. Mfano wa Mfumo wa Uchambuzi

Kisomo cha Kesi: Mtoa Bima wa Kimataifa wa P&C

Fikiria mtoa bima wa mali na madhambi (P&C) anaye na majukumu katika USD na EUR. Kwa kutumia mfumo wa karatasi:

1. Makadirio ya Vigezo:
   • Kadiria vigezo vya OU kwa mabadiliko ya wastani ya EUR/USD kwa kutumia urejeshaji wa kusonga wa miaka 10
   • Sanidi vigezo vya mchakato wa madai kutoka kwa data ya kihistoria ya hasara
   • Kadiria kudharau hatari γ kutoka kwa mifumo ya kihistoria ya uwekezaji ya kampuni
2. Utekelezaji wa Mkakati:
   • Hesabu sehemu bora ya uwekezaji ulio na thamani ya EUR kila siku
   • Fuatilia uwiano wa kinga $\frac{V_\theta}{V_w}$ kwa ishara za kurekebisha usawa
   • Tekeleza na bendi za uvumilivu wa 5% ili kupunguza gharama za manunuzi
3. Uainishaji wa Utendaji:
   • Tenganisha mapato kuwa: (a) sehemu ya kijinga, (b) kinga ya mabadiliko ya bei ya fedha, (c) wakati wa mabadiliko ya wastani
   • Linganisha na ugawaji wa kudumu wa ndani/kigeni wa 60/40 wa kijinga

Mfumo huu, ingawa umeorahishwa, hutoa njia ya kupangwa kwa ugawaji wa mali ya mtoa bima wa fedha nyingi ambayo ni madhubuti zaidi kuliko mbinu za kawaida za ad hoc.

9. Matumizi ya Baadaye na Mwelekeo

Matumizi ya Mara Moja:

• Mipango ya Kifuniko cha Fedha ya Kimienendo: Wabima wanaweza kutekeleza mkakati huu kama kifuniko cha fedha, kurekebisha kwa kimienendo uwiano wa kinga kulingana na utabiri wa mabadiliko ya wastani ya kiwango cha ubadilishaji fedha
• Uboreshaji wa Solvensi II: Jumuisha mfumo huu katika michakato ya ORSA (Tathmini ya Hatari na Solvensi ya Mwenyewe) kwa wabima wa Ulaya
• Hazina ya Kampuni ya Kimataifa: Panua kwa usimamizi wa hatari wa kampuni zaidi ya bima

Mwelekeo wa Utafiti:

1. Upanuzi wa Kubadilisha Hali: Badilisha mchakato wa OU na mfano wa kubadilisha hali ya Markov ili kushika mapumziko ya kimuundo katika tabia ya kiwango cha ubadilishaji fedha
2. Ujumuishaji wa Kujifunza kwa Mashine: Tumia mitandao ya LSTM kukadiria mchakato wa mabadiliko ya wastani ya kiwango cha ubadilishaji fedha θ(t) badala ya kudhani mienendo ya parametric ya OU
3. Matumizi ya Fedha Zisizo Rasmi: Badilisha mfumo kwa bidhaa za bima za crypto zilizo na maelekezo mengi ya fedha za dijiti
4. Ujumuishaji wa Hatari ya Hali ya Hewa: Jumuisha hatari ya mpito wa hali ya hewa katika mienendo ya kiwango cha ubadilishaji fedha kwa uwekezaji wa muda mrefu wa wabima

10. Marejeo

1. Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
2. Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
3. Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
4. Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
5. Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
6. Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
7. Benki ya Kimataifa ya Makato. (2019). Uchunguzi wa Benki Kuu wa Miaka Mitatu wa Ubadilishaji Fedha wa Kigeni na Masoko ya Vipato vya OTC. Jarida la Robo la BIS.
8. Mamlaka ya Bima ya Ulaya na Mamlaka ya Pensheni za Kazi. (2020). Ripoti ya Takwimu ya Solvensi II. Ripoti za EIOPA.