İçindekiler
1. Giriş
Bu makale, sigorta risk yönetimi literatüründeki kritik bir boşluğu ele almaktadır: birden fazla para piyasasında faaliyet gösteren sigortacılar için optimal yatırım stratejileri. Geleneksel modeller tek para birimli ortamlara odaklanırken, küreselleşen sigorta operasyonları, çapraz para birimi risk dinamiklerinin anlaşılmasını gerektirmektedir. Araştırma, aktüerya bilimi ile finansal matematiği bir araya getirerek, sigortacıların hem yerli hem de yabancı piyasalara yatırım yapması için kapsamlı bir çerçeve geliştirmektedir.
Temel zorluk, birbiriyle bağlantılı üç riski yönetmekte yatmaktadır: sigorta hasar riski, finansal piyasa riski ve döviz kuru riski. Browne (1995), Yang ve Zhang (2005) ve Schmidli (2002) tarafından yapılan önceki çalışmalar, sigortacı yatırım problemleri için temeller oluşturmuş ancak günümüz küresel ekonomisinde giderek daha önemli hale gelen çok para birimli boyutu göz ardı etmiştir.
2. Model Çerçevesi
2.1 Fazla Süreci
Sigortacının fazla süreci, klasik Cramér-Lundberg modelinin difüzyon yaklaşımını izlemektedir:
$dX(t) = c dt - dS(t)$
Burada $c$ prim oranını temsil eder ve $S(t)$ toplam hasar sürecidir. Difüzyon yaklaşımı altında bu şu hale gelir:
$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$
Burada $\mu$, güvenlik marjı ile ayarlanmış drift ve $\sigma$ hasar oynaklığını temsil eder.
2.2 Döviz Kuru Modeli
Yerli ve yabancı para birimleri arasındaki döviz kuru şunu izlemektedir:
$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$
Burada anlık ortalama büyüme oranı $\theta(t)$ bir Ornstein-Uhlenbeck süreci izlemektedir:
$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$
Bu ortalamaya dönüş özelliği, enflasyon farkları ve faiz oranı spread'leri gibi temel ekonomik faktörlerden etkilenen döviz kurlarının ampirik davranışını yakalamaktadır.
2.3 Yatırım Portföyü
Sigortacı servetini şunlar arasında dağıtmaktadır:
- $r_d$ oranına sahip yerli risksiz varlık
- Yabancı para biriminde getiri dinamiklerine sahip yabancı riskli varlık
- $E(t)$ döviz kuru üzerinden para birimi dönüşümü
Toplam servet süreci $W(t)$, yabancı riskli varlığa yatırılan oranı temsil eden $\pi(t)$ yatırım stratejisine göre evrilmektedir.
3. Optimizasyon Problemi
3.1 Üstel Fayda Hedefi
Sigortacı, nihai servetin beklenen üstel faydasını maksimize etmeyi amaçlamaktadır:
$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$
Burada $\gamma > 0$, sabit mutlak riskten kaçınma katsayısıdır. Bu fayda fonksiyonu, sabit riskten kaçınma özelliği ve analitik işlenebilirliği nedeniyle sigortacılar için özellikle uygundur.
3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman Denklemi
Değer fonksiyonu $V(t,w,\theta)$ HJB denklemini sağlamaktadır:
$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$
Nihai koşul $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$ ile, burada $\mathcal{L}^\pi$, $\pi$ stratejisi altındaki servet sürecinin sonsuz küçük üretecidir.
4. Analitik Çözüm
4.1 Optimal Yatırım Stratejisi
Yabancı riskli varlıktaki optimal yatırım stratejisi şu formu almaktadır:
$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$
Burada $\mu_F$ ve $\sigma_F$ yabancı varlığın getiri parametreleri, $r_f$ yabancı risksiz faiz oranı, $\rho$ döviz kuru ile yabancı varlık getirileri arasındaki korelasyon ve $\phi(t)$ döviz kuru drift sürecinin bir fonksiyonudur.
4.2 Değer Fonksiyonu
Değer fonksiyonu üstel afin bir form kabul etmektedir:
$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$
Burada $A(t)$, $B(t)$ ve $C(t)$, HJB denkleminden türetilen sıradan diferansiyel denklemler sistemini sağlamaktadır.
5. Sayısal Analiz
5.1 Parametre Duyarlılığı
Sayısal deneyler şunları göstermektedir:
- Riskten Kaçınma Etkisi: Daha yüksek $\gamma$, test edilen senaryolar boyunca optimal yabancı yatırım oranını yaklaşık %60'tan %25'e düşürmektedir.
- Döviz Kuru Oynaklığı: $\eta$ 0.1'den 0.3'e çıktığında optimal strateji %15-20 azalmaktadır.
- Ortalamaya Dönüş Hızı: Daha hızlı ortalamaya dönüş (daha yüksek $\kappa$), döviz kuru drift değişikliklerine karşı korunma talebini azaltmaktadır.
5.2 Strateji Performansı
Karşılaştırmalı analiz, çok para birimli stratejinin, çeşitli parametre konfigürasyonlarında, özellikle döviz kuru trend devamlılığı dönemlerinde, kesin eşdeğer servet açısından tek para birimli yaklaşımlardan %8-12 daha iyi performans gösterdiğini ortaya koymaktadır.
6. Temel İçgörü ve Analiz
Temel İçgörü: Bu makale, kritik ancak dar odaklı bir ilerleme sunmaktadır—sigortacı yatırım teorisini iki para birimine başarıyla genişletmekte, ancak bunu acil pratik uygulamayı sınırlayan kısıtlayıcı varsayımlar altında yapmaktadır. Gerçek değer, spesifik çözümde değil, HJB çerçevesinin bu karmaşıklığı yönetebildiğini göstererek, daha gerçekçi uzantıların kapısını aralamasında yatmaktadır.
Mantıksal Akış: Yazarlar klasik bir stokastik kontrol şablonu izlemektedir: 1) Difüzyon yaklaşımları ile model kurulumu, 2) HJB formülasyonu, 3) Üstel afin form ile tahmin ve doğrulama çözümü, 4) Sayısal doğrulama. Bu yaklaşım matematiksel olarak titiz ancak pedagojik olarak öngörülebilirdir. Döviz kuru drift'i için bir Ornstein-Uhlenbeck sürecinin dahil edilmesi, sabit getirili piyasalardaki Vasicek tipi modelleri anımsatan bir sofistikasyon katmaktadır, ancak işlem teorik olarak temiz kalmakta, ampirik olarak temellendirilmiş olmamaktadır.
Güçlü ve Zayıf Yönler: Birincil güçlü yön teknik bütünlüktür—çözüm zariftir ve değişken ayırma tekniği ustalıkla uygulanmıştır. Ancak, üç kritik kusur pratik alaka düzeyini zayıflatmaktadır. İlk olarak, sigorta hasarlarının difüzyon yaklaşımı, sigortanın temelini oluşturan sıçrama riskini ortadan kaldırmaktadır (temel çalışma olan Schmidli (2002, "On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance") tarafından vurgulandığı gibi). İkinci olarak, model sürekli alım satım ve mükemmel sürtünmesiz piyasalar varsaymakta, kriz dönemlerinde para piyasalarını etkileyen likidite kısıtlarını göz ardı etmektedir. Üçüncü olarak, sayısal analiz bir sonradan akla gelmiş gibi hissettirmektedir—keşfetmekten ziyade doğrulamakta, Journal of Computational Finance'daki gibi çağdaş hesaplamalı finans makalelerinde görülen sağlamlık testlerinden yoksundur.
Uygulanabilir İçgörüler: Uygulayıcılar için bu makale bir şablon değil, bir kıyas noktası sunmaktadır. Risk yöneticileri niteliksel içgörüyü—döviz kuru drift öngörülebilirliğinin (OU süreci aracılığıyla) korunma talebi yarattığını—çıkarmalı, ancak bunu OU parametreleri için daha sağlam tahmin teknikleri kullanarak uygulamalıdır. Araştırmacılar için açık bir sonraki adımlar şunlardır: 1) Kou (2002, "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing") yaklaşımını izleyerek sıçrama-difüzyon hasarlarını dahil etmek, 2) Döviz piyasalarında iyi belgelenmiş oynaklık kümelemesini kabul ederek döviz kuru sürecine stokastik oynaklık eklemek, ve 3) İşlem maliyetlerini, muhtemelen impuls kontrol yöntemleri kullanarak dahil etmek. Alan, bu kesin model üzerinde daha fazla varyasyona ihtiyaç duymamaktadır; bu modelin zarafeti ile Jarrow (2018, "A Practitioner's Guide to Stochastic Finance")'ın en iyi çalışmasında bulunan ampirik gerçekçiliğin birleşimine ihtiyaç duymaktadır.
7. Teknik Detaylar
Ana matematiksel yenilik, bir Riccati tipi ODE sistemi çözmeyi içermektedir:
$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$
$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$
Nihai koşullar $C(T)=B(T)=0$ ile. Bu denklemler, değer fonksiyonunun stokastik döviz kuru drift'i $\theta(t)$'ye bağımlılığını yönetmektedir.
Optimal strateji üç bileşene ayrışmaktadır:
- Miyop Talep: $\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – standart ortalama-varyans terimi
- Döviz Kuru Korunması: $\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – yatırım fırsat setindeki değişikliklere karşı korunma
- Drift Ayarlaması: $\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – döviz kuru drift'indeki öngörülebilirliği hesaba katar
8. Analiz Çerçevesi Örneği
Vaka Çalışması: Küresel Mal ve Sorumluluk Sigortacısı
Hem USD hem de EUR cinsinden yükümlülükleri olan bir mal ve sorumluluk sigortacısını düşünün. Makalenin çerçevesini kullanarak:
- Parametre Tahmini:
- 10 yıllık kayan regresyon kullanarak EUR/USD drift'i için OU parametrelerini tahmin edin
- Tarihsel kayıp verilerinden hasar süreci parametrelerini kalibre edin
- Şirketin tarihsel yatırım kalıplarından riskten kaçınma γ'sını tahmin edin
- Strateji Uygulaması:
- Günlük olarak optimal EUR cinsinden yatırım oranını hesaplayın
- Yeniden dengeleme sinyalleri için korunma oranı $\frac{V_\theta}{V_w}$'yı izleyin
- İşlem maliyetlerini azaltmak için %5 tolerans bantları ile uygulayın
- Performans Atıfı:
- Getirileri şu şekilde ayırın: (a) miyop bileşen, (b) döviz kuru korunması, (c) drift zamanlaması
- Naif %60/%40 yerli/yabancı sabit tahsis ile karşılaştırın
Bu çerçeve, basitleştirilmiş olmasına rağmen, tipik gelişigüzel yöntemlerden daha titiz olan, çok para birimli sigortacı varlık tahsisi için yapılandırılmış bir yaklaşım sağlamaktadır.
9. Gelecekteki Uygulamalar ve Yönler
Acil Uygulamalar:
- Dinamik Para Birimi Kaplama Programları: Sigortacılar, stratejiyi döviz kuru drift tahminlerine dayalı olarak dinamik şekilde korunma oranlarını ayarlayan bir para birimi kaplaması olarak uygulayabilir.
- Solvency II Optimizasyonu: Avrupalı sigortacılar için ORSA (Kendi Risk ve Ödeme Gücü Değerlendirmesi) süreçlerine çerçeveyi dahil edin.
- Çok Uluslu Kurumsal Hazine: Sigortanın ötesinde kurumsal risk yönetimine genişletin.
Araştırma Yönleri:
- Rejim Değiştirmeli Uzantılar: Döviz kuru davranışındaki yapısal kırılmaları yakalamak için OU sürecini Markov rejim değiştirme modeli ile değiştirin.
- Makine Öğrenimi Entegrasyonu: Parametrik OU dinamiklerini varsaymak yerine, döviz kuru drift süreci θ(t)'yi tahmin etmek için LSTM ağlarını kullanın.
- Merkeziyetsiz Finans Uygulamaları: Birden fazla kripto para birimi maruziyeti olan kripto-sigorta ürünleri için çerçeveyi uyarlayın.
- İklim Risk Entegrasyonu: Uzun vadeli sigortacı yatırımları için iklim geçiş riskini döviz kuru dinamiklerine dahil edin.
10. Referanslar
- Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
- Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
- Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
- Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
- Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
- Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
- Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
- European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.