目錄
1. 緒論
本文旨在填補保險風險管理文獻中的一個關鍵缺口：在多重貨幣市場中營運的保險公司之最適投資策略。傳統模型多聚焦於單一貨幣環境，然而全球化的保險業務需要理解跨貨幣風險動態。本研究結合精算科學與金融數學，為保險公司在國內外市場投資建立一個全面的分析框架。
根本的挑戰在於管理三個相互關聯的風險：保險理賠風險、金融市場風險以及外匯風險。Browne (1995)、Yang 與 Zhang (2005) 以及 Schmidli (2002) 等人的先前研究為保險公司投資問題奠定了基礎，但忽略了在當今全球經濟中日益重要的多貨幣維度。
2. 模型架構
2.1 盈餘過程
保險公司的盈餘過程遵循經典 Cramér-Lundberg 模型的擴散近似：
$dX(t) = c dt - dS(t)$
其中 $c$ 代表保費率，$S(t)$ 是總合理賠過程。在擴散近似下，此式變為：
$dX(t) = \mu dt + \sigma dW_1(t)$
其中 $\mu$ 是經安全附加費調整後的漂移項，$\sigma$ 代表理賠波動度。
2.2 外匯匯率模型
本國與外國貨幣間的匯率遵循：
$dE(t) = E(t)[\theta(t)dt + \eta dW_2(t)]$
其中瞬時平均成長率 $\theta(t)$ 遵循一個 Ornstein-Uhlenbeck 過程：
$d\theta(t) = \kappa(\bar{\theta} - \theta(t))dt + \zeta dW_3(t)$
此均值回歸設定捕捉了受通膨差異、利差等基本經濟因素影響的匯率實證行為。
2.3 投資組合
保險公司將財富配置於：
- 本國無風險資產，利率為 $r_d$
- 以外幣計價的外國風險性資產
- 透過匯率 $E(t)$ 進行貨幣轉換
總財富過程 $W(t)$ 根據投資策略 $\pi(t)$ 演變，$\pi(t)$ 代表投資於外國風險性資產的比例。
3. 最佳化問題
3.1 指數效用目標
保險公司旨在最大化終期財富的期望指數效用：
$\sup_{\pi} \mathbb{E}[U(W(T))] = \sup_{\pi} \mathbb{E}[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma W(T)}]$
其中 $\gamma > 0$ 是常數絕對風險厭惡係數。此效用函數因其恆定的風險厭惡特性與解析上的易處理性，特別適合保險公司使用。
3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程
價值函數 $V(t,w,\theta)$ 滿足 HJB 方程：
$\sup_{\pi} \{V_t + \mathcal{L}^\pi V\} = 0$
終端條件為 $V(T,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma w}$，其中 $\mathcal{L}^\pi$ 是在策略 $\pi$ 下財富過程的無窮小生成元。
4. 解析解
4.1 最適投資策略
投資於外國風險性資產的最適策略形式如下：
$\pi^*(t) = \frac{\mu_F - r_f + \eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2} + \frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$
其中 $\mu_F$ 和 $\sigma_F$ 是外國資產的報酬參數，$r_f$ 是外國無風險利率，$\rho$ 是匯率與外國資產報酬間的相關係數，$\phi(t)$ 是匯率漂移過程的一個函數。
4.2 價值函數
價值函數具有指數仿射形式：
$V(t,w,\theta) = -\frac{1}{\gamma}\exp\{-\gamma w e^{r_d(T-t)} + A(t) + B(t)\theta + \frac{1}{2}C(t)\theta^2\}$
其中 $A(t)$、$B(t)$ 和 $C(t)$ 滿足從 HJB 方程推導出的一組常微分方程。
5. 數值分析
5.1 參數敏感度
數值實驗顯示：
- 風險厭惡影響：較高的 $\gamma$ 會降低最適外國投資比例，在測試情境中從約 60% 降至 25%
- 匯率波動度：當 $\eta$ 從 0.1 增加至 0.3 時，最適策略減少 15-20%
- 均值回歸速度：較快的均值回歸（較高的 $\kappa$）會降低對匯率漂移變化的避險需求
5.2 策略績效
比較分析顯示，在各種參數配置下，多貨幣策略的確定性等值財富表現優於單一貨幣方法 8-12%，特別是在匯率趨勢持續期間。
6. 核心洞察與分析
核心洞察： 本文提供了一個關鍵但範圍狹窄的進展——它成功將保險公司投資理論延伸至雙貨幣情境，但這是在限制性假設下完成的，限制了其立即的實際應用。真正的價值不在於特定的解，而在於證明了 HJB 框架能夠處理這種複雜性，為更貼近現實的延伸開啟了大門。
邏輯流程： 作者遵循經典的隨機控制範本：1) 使用擴散近似的模型設定，2) HJB 公式化，3) 帶有指數仿射形式的猜測與驗證解法，4) 數值驗證。此方法在數學上嚴謹，但在教學上可預測。將匯率漂移設定為 Ornstein-Uhlenbeck 過程增加了複雜度，讓人聯想到固定收益中的 Vasicek 型模型，但其處理方式仍保持理論上的簡潔，而非實證基礎。
優點與缺陷： 主要優點是技術上的完整性——解法優雅，且變數分離技術應用得當。然而，三個關鍵缺陷削弱了其實際相關性。首先，保險理賠的擴散近似消除了跳躍風險，而跳躍風險是保險的根本（正如Schmidli (2002, "On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance")的開創性工作中所強調的）。其次，模型假設連續交易與完美的無摩擦市場，忽略了危機期間困擾貨幣市場的流動性限制。第三，數值分析感覺像是事後補充——它僅是驗證而非探索，缺乏當代計算金融文獻（如Journal of Computational Finance中的論文）所見的穩健性測試。
可行洞察： 對實務工作者而言，本文提供的是基準，而非藍圖。風險管理者應提取定性洞察——匯率漂移的可預測性（透過 OU 過程）創造了避險需求——但應使用更穩健的 OU 參數估計技術來實施。對研究者而言，明確的下一步是：1) 遵循Kou (2002, "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing")的方法，納入跳躍擴散理賠模型，2) 在匯率過程中加入隨機波動度，承認外匯市場中廣為記載的波動度聚集現象，3) 引入交易成本，可能使用脈衝控制方法。該領域不需要此確切模型的更多變體；它需要的是此模型的優雅性，結合Jarrow (2018, "A Practitioner's Guide to Stochastic Finance")最佳作品中所見的實證現實主義。
7. 技術細節
關鍵的數學創新涉及求解一組 Riccati 型常微分方程：
$\frac{dC}{dt} = 2\kappa C - \frac{(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)^2}{\sigma_F^2} + \gamma\eta^2 C^2 e^{2r_d(T-t)}$
$\frac{dB}{dt} = \kappa\bar{\theta} C + (\kappa - \gamma\eta^2 e^{2r_d(T-t)} C) B - \frac{(\mu_F - r_f)(\eta\rho\zeta C + \zeta^2 B)}{\sigma_F^2}$
終端條件為 $C(T)=B(T)=0$。這些方程決定了價值函數對隨機匯率漂移 $\theta(t)$ 的依賴性。
最適策略可分解為三個部分：
- 短視需求：$\frac{\mu_F - r_f}{\gamma\sigma_F^2}$ – 標準的均值-變異項
- 匯率避險：$\frac{\eta\rho}{\sigma_F}\frac{V_\theta}{V_w}$ – 對沖投資機會集的變化
- 漂移調整：$\frac{\eta\rho\zeta\phi(t)}{\gamma\sigma_F^2}$ – 考量匯率漂移的可預測性
8. 分析框架範例
個案研究：全球產險公司
考慮一家在美元與歐元皆有負債的產物與意外保險公司。使用本文的框架：
- 參數估計：
- 使用 10 年滾動迴歸估計歐元/美元漂移的 OU 參數
- 從歷史損失數據校準理賠過程參數
- 從公司歷史投資模式估計風險厭惡係數 γ
- 策略實施：
- 每日計算以歐元計價的最適投資比例
- 監控避險比率 $\frac{V_\theta}{V_w}$ 以獲取再平衡訊號
- 以 5% 的容忍區間實施，以降低交易成本
- 績效歸因：
- 將報酬分為：(a) 短視成分，(b) 匯率避險，(c) 漂移擇時
- 與天真的 60/40 國內/國外固定配置進行比較
此框架雖然簡化，但提供了一個結構化的方法來處理多貨幣保險公司資產配置，比典型的臨時方法更為嚴謹。
9. 未來應用與方向
立即應用：
- 動態貨幣覆蓋計畫：保險公司可將此策略作為貨幣覆蓋計畫實施，根據匯率漂移預測動態調整避險比率
- Solvency II 最佳化：將此框架納入歐洲保險公司的 ORSA（自有風險與清償能力評估）流程中
- 跨國企業財務管理：將應用延伸至保險以外的企業風險管理
研究方向：
- 狀態轉換延伸：以馬可夫狀態轉換模型取代 OU 過程，以捕捉匯率行為的結構性斷裂
- 機器學習整合：使用 LSTM 網路來估計匯率漂移過程 θ(t)，而非假設參數化的 OU 動態
- 去中心化金融應用：調整框架以適用於暴露於多重加密貨幣的加密保險產品
- 氣候風險整合：將氣候轉型風險納入匯率動態，以用於保險公司的長期投資
10. 參考文獻
- Browne, S. (1995). Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process: Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin. Mathematics of Operations Research, 20(4), 937-958.
- Schmidli, H. (2002). On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance. The Annals of Applied Probability, 12(3), 890-907.
- Yang, H., & Zhang, L. (2005). Optimal Investment for Insurer with Jump-Diffusion Risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 37(3), 615-634.
- Kou, S. G. (2002). A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 48(8), 1086-1101.
- Jarrow, R. A. (2018). A Practitioner's Guide to Stochastic Finance. Annual Review of Financial Economics, 10, 1-20.
- Zhou, Q., & Guo, J. (2020). Optimal Control of Investment for an Insurer in Two Currency Markets. arXiv:2006.02857.
- Bank for International Settlements. (2019). Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and OTC Derivatives Markets. BIS Quarterly Review.
- European Insurance and Occupational Pensions Authority. (2020). Solvency II Statistical Report. EIOPA Reports.